函数的奇偶性[上学期]

课件21张PPT。对称现象蝴蝶雪花晶体 函数的奇偶性引 例：1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?f(-2)=f(2)
f(-1)=f(1)
f(-x)=f(x)f(-2)= - f(2)
f(-1)= - f(1)
f(-x)= - f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)1.函数奇偶性的概念: 偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 （2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。练习1. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x -1 __________② f(x)=x ________奇函数⑤f(x)=x -2 __________偶函数③ f(x)=x5 __________⑥f(x)=x -3 _______________ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。例1. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即 f(-x)= - f(x)∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即 f(-x)= f(x)-1≦x ≦1且x ≠0∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]即f(-x)= - f(x)∴ f(x) 为奇函数.☆ 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。练习2. 判断下列函数的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1∴f(x)为偶函数解：定义域为﹛x|x≠0﹜解：定义域为R即 f(-x)= - f(x)即 f(-x)= f(x)(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解: (3) f(x)的定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=5
∴f(x)为偶函数解: (4)定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0
∴f(x)为既奇又偶函数说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。
有且只有这一个函数是既奇又偶函数 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]解: （6）∵定义域不关于原点
对 称
∴f(x)为非奇非偶函数解: (8) 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数解: (7) 定义域为R
∵
∴f(x)为奇函数奇函数的图象(如y=x3 )偶函数的图象(如y=x2)oaP/(-a ,f(-a))p(a ,f(a))-a2.奇偶函数图象的性质: ⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反之, 如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那 么这个函数是偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：
①.简化函数图象的画法。
②.判断函数的奇偶性。oyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。解：画法如图本课小结:1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。思考题:1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0）上是增函数，则
y=f(x)在(0,∞)上是 （ ）
A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.单调性不确定
2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)B1、判断下列函数奇偶性2、设， 满足
判断函数f(x)奇偶性.3、 定义域为R， ，若是偶函数，
， ，求 时函数的解析式。