2022-2023学年人教版数学九年级下册27.2 相似三角形课堂练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版数学九年级下册27.2 相似三角形课堂练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 398.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-20 21:38:43 | ||
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文档简介
人教版初中数学九年级下册第二十七章 相似 27.2 课堂练习
一、单选题
1．若2x＝5y，则的值是( )
A． B． C． D．
2．下列一定相似的两个图形是( )
A．有一个角是45°的等腰三角形 B．有一个角是60°的三角形
C．等腰三角形 D．有一个角是120°的等腰三角形
3．若，相似比为1：2，则与的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
4．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
5．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
6．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知四边形两条对角线相交于点，，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．16
10．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（ ）
A．1cm B．cm C．2cm D．cm
二、填空题
11．已知线段，，线段是线段，的比例中项，则 .
12．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为 .（结果保留根号）
13．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
14．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点，
（1）若点B（0，2），则k＝ ；
（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则k＝ ．
三、计算题
15．若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．
16．22.若 ＝ ＝ ≠0，求 的值.
17．已知 ，且x+y-z=2，求x、y、z的值.
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
四、作图题
19．如图， 的顶点都在方格线的交点（格点）上，按下列要求作答.
（1）以原点O为位似中心，将 放大为原来的 倍，得到 ，请在所给的坐标系中作出一个满足条件的图形；
（2）写出你所画图形中 ， ， 点的坐标.
五、解答题
20．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，求该古城墙CD的高度是多少m？
21．如图，在矩形中，，在边 上是否存在一点 E，使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
22．已知：、是的边、上的点，，，，，求证：.
六、综合题
23．如图，顶点为M的抛物线y＝a（x﹣）2﹣1经过原点O，与x轴正半轴交于点A，对称轴交x轴于点N．
（1）求a的值．
（2）B是第二象限抛物线上一点，BE∥x轴，交y轴于点C，交对称轴于点D，交抛物线于点E．连结BM交x轴于点F，交y轴于点G．若MF＝FG，求CD：DE的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵2x=5y，
∴.
故答案为：B
【分析】利用比例的基本性质，可将等积式转化为比例式.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、有一个角是45°的等腰三角形，不一定是相似三角形，故A不符合题意；
B、有一个角是60°的三角形，这两个图形不一定是相似三角形，故B不符合题意；
C、两个等腰三角形不一定是相似三角形，故C不符合题意；
D、有一个角是120°的等腰三角形，这两个三角形是相似三角形，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定，有一个角是45°的等腰三角形，这里的45°可能是顶角也可能是底角，可对A作出判断；只有一组角对应相等的两个三角形不相似，可对B作出判断；所有的等腰三角形不一定相似，可对C作出判断；有一个角是120°的两个等腰三角形，一定是相似三角形，可对D作出判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，相似比为1：2，
∴与的面积的比为1：4.
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质得出结论.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由四条线段a，b，c，d成比例，可得，据此即可求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：且相似比为
故答案为：C
【分析】利用相似三角形的性质求解即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴ ，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据比例性质，两内项之积等于两外项之积得出等积式，进而再将等积式改写成比例式即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，
，
.，，，
设AP的长为x，则BP长为8-x.
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得或.
满足条件的点的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE＋CE＝3＋1＝4，EF＝AE＋AF＝3＋4＝7，
∵∠CBD=∠F，∠DEF=∠BEC，
∴△BEC∽△FED，
∴
∴BE DE＝CE EF＝1×7＝7，
故答案为：B.
【分析】易得点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，根据圆周角定理得∠CBD=∠F，然后判断出△BEC∽△FED，由相似三角形对应边成比例可得BE DE＝CE EF，从而即可求出答案．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CD：AC，
∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，
∴CD=4，AC=6，
∴DE：3=4：6，
∴DE＝2cm，
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：C．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.
11．【答案】8
【解析】【解答】解：∵线段，，线段是线段，的比例中项，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为：8.
【分析】由线段c是线段a，b的比例中项，根据成比例线段的性质可得成=ab，进而代入求解即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为，
∴它的宽（）.
故答案为：.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，其中较短线段与较长线段的比就叫黄金比，据此可得书的长与宽的比等于，据此就不难求出书的宽了.
13．【答案】(0，1)
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
∴即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OC的长，从而即可得出点C的坐标.
14．【答案】（1）2
（2）8
【解析】【解答】解：（1）如图所示，设直线y=x与y=交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C，
∴∠BOD=∠COD=45°，
∵双曲线绕原点逆时针旋转45°与y轴交于点B，点（0，2），
∴OD=OB=2，
∴OC=CD=，
∴D（，），
∴k=×=2.
故答案为：2；
（2）∵双曲线绕原点逆时针旋转45°后得到曲线AB，
∴将点A绕原点顺时针旋转45°后得点A'，且A'在双曲线上，
如图，连接OA，过点A作AE⊥y轴，过点G作GK⊥x轴于点K，交AE于点F，过点A'作A'H⊥x轴于点H，
∴∠AOA’=45°，AG⊥OA，
∴∠OAG=90°，OA=AG，
∴∠OAE=90°-∠FAG=∠AGF，
∵∠OEA=∠AFG=90°，
∴△OAE≌△AGF（AAS），
∴OE=AF=5，AE=FG=3，
∴EF=AE+AF=8=OK，GK=FK-FG=OE-FG=2，
∴OG===2，
∵GK⊥x轴，A'H⊥x轴，
∴GK∥GK，
∴△OA'H∽△OGK，
∴，
又∵A（3，5），
∴OA'=OA==，
∴，
∴OH=4，A'H=，
∴A'（4，），
∴k=4×=8.
故答案为：8.
【分析】将点A绕原点顺时针旋转45°后得点A'，且A'在双曲线上，再连接OA，过点A作AE⊥y轴，过点G作GK⊥x轴于点K，交AE于点F，过点A'作A'H⊥x轴于点H，利用“AAS”定理证得△OAE≌△AGF，从而得OE=AF=5，AE=FG=3，进而得EF=AE+AF=8=OK，GK=FK-FG=OE-FG=2，再利用勾股定理求得OG=2，再由GK∥GK，易证△OA'H∽△OGK，再求出OA'=OA=，由相似三角形对应比成比例求得OH=4，A'H=，可得A'（4，），即可求出k值.
15．【答案】解：∵a：b=1：2，
∴b=2a，
∴（a+b）：a=（a+2a）：a=3．
【解析】【分析】根据已知条件可得 b=2a ，再代入式子求解即可。
16．【答案】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，
∴
＝
＝ .
【解析】【分析】根据比例的基本性质，设出参数，得 a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0， 直接代入可求解.
17．【答案】解：设 ，则x=2k，y=3k，z=4k，且x+y-z=2，2k+3k-4k=2，k=2，则x=4，y=6，z=8.
【解析】【分析】可设比值为为k，把比例中出现的字母统一用k表示，再代入等式中，求出k即可.
18．【答案】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ =
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理直接求解。
19．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：点 ，点 ，点 或点 ，点 ，点
【解析】【分析】（1）以原点O为位似中心， 相似比为k，那么原图上点（x，y）在位似图形上对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），根据放大2倍即k=2，代入可得对应点的坐标，描点并顺次连接即可；
（2）由（1）可直接写出.
20．【答案】解：∵光线从点A出发经平面镜反射到点C，
∴∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，即，
解得：CD＝8．
答：该古城墙CD的高度为8m．
【解析】【分析】由光线入射原理可以得到∠APB＝∠CPD，再结合∠ABP＝∠CDP＝90°，证明△ABP∽△CDP，根据相似三角形性质可得，再代入数据进行计算即可求得CD的值．
21．【答案】解：假设在边 上存在一点 E，使 ，设 ，
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴在 上不存在点 E，使．
【解析】【分析】设 ，先证明可得，将数据代入可得，再求解即可。
22．【答案】证明：在 和 中，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ .
【解析】【分析】利用已知边的长，可知，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AED.
23．【答案】（1）解：把（0，0）代入y＝a（x- ）2-1得，
a-1＝0，
解得a＝.
（2）解：抛物线y＝（x- ）2-1顶点为M（，-1），对称轴为直线x＝，
∵OG∥MN，
∴△FMN∽△FGO，
∴，
∵MF＝FG，
∴MN＝OG＝1，
∴G（0，1），
由M（，-1），G（0，1）得直线MG的解析式为y＝- x+1，
联立方程组得：，
解得：或，
∴B（-，3），
由抛物线对称轴为直线x＝ 可知E（，3），
∴C（0，3），D（，3），
∴CD＝，DE＝3，
∴CD：DE＝1：2．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即把（0，0）代入y＝a（x- ）2-1，得a-1＝0，解之即可得a的值；
（2）由OG∥MN，易得△FMN∽△FGO，利用相似三角形对应边成比例及MF=FG，推出MN＝OG＝1，求出G的坐标，从而可得直线MG的解析式，与抛物线解析式联立方程组，可求得B，C，D，E的坐标，进而求得CD和DE的值，即可得到答案．
一、单选题
1．若2x＝5y，则的值是( )
A． B． C． D．
2．下列一定相似的两个图形是( )
A．有一个角是45°的等腰三角形 B．有一个角是60°的三角形
C．等腰三角形 D．有一个角是120°的等腰三角形
3．若，相似比为1：2，则与的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
4．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
5．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
6．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知四边形两条对角线相交于点，，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．16
10．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（ ）
A．1cm B．cm C．2cm D．cm
二、填空题
11．已知线段，，线段是线段，的比例中项，则 .
12．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为 .（结果保留根号）
13．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
14．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点，
（1）若点B（0，2），则k＝ ；
（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则k＝ ．
三、计算题
15．若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．
16．22.若 ＝ ＝ ≠0，求 的值.
17．已知 ，且x+y-z=2，求x、y、z的值.
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
四、作图题
19．如图， 的顶点都在方格线的交点（格点）上，按下列要求作答.
（1）以原点O为位似中心，将 放大为原来的 倍，得到 ，请在所给的坐标系中作出一个满足条件的图形；
（2）写出你所画图形中 ， ， 点的坐标.
五、解答题
20．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，求该古城墙CD的高度是多少m？
21．如图，在矩形中，，在边 上是否存在一点 E，使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
22．已知：、是的边、上的点，，，，，求证：.
六、综合题
23．如图，顶点为M的抛物线y＝a（x﹣）2﹣1经过原点O，与x轴正半轴交于点A，对称轴交x轴于点N．
（1）求a的值．
（2）B是第二象限抛物线上一点，BE∥x轴，交y轴于点C，交对称轴于点D，交抛物线于点E．连结BM交x轴于点F，交y轴于点G．若MF＝FG，求CD：DE的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵2x=5y，
∴.
故答案为：B
【分析】利用比例的基本性质，可将等积式转化为比例式.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、有一个角是45°的等腰三角形，不一定是相似三角形，故A不符合题意；
B、有一个角是60°的三角形，这两个图形不一定是相似三角形，故B不符合题意；
C、两个等腰三角形不一定是相似三角形，故C不符合题意；
D、有一个角是120°的等腰三角形，这两个三角形是相似三角形，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定，有一个角是45°的等腰三角形，这里的45°可能是顶角也可能是底角，可对A作出判断；只有一组角对应相等的两个三角形不相似，可对B作出判断；所有的等腰三角形不一定相似，可对C作出判断；有一个角是120°的两个等腰三角形，一定是相似三角形，可对D作出判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，相似比为1：2，
∴与的面积的比为1：4.
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质得出结论.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由四条线段a，b，c，d成比例，可得，据此即可求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：且相似比为
故答案为：C
【分析】利用相似三角形的性质求解即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴ ，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据比例性质，两内项之积等于两外项之积得出等积式，进而再将等积式改写成比例式即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，
，
.，，，
设AP的长为x，则BP长为8-x.
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得或.
满足条件的点的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE＋CE＝3＋1＝4，EF＝AE＋AF＝3＋4＝7，
∵∠CBD=∠F，∠DEF=∠BEC，
∴△BEC∽△FED，
∴
∴BE DE＝CE EF＝1×7＝7，
故答案为：B.
【分析】易得点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，根据圆周角定理得∠CBD=∠F，然后判断出△BEC∽△FED，由相似三角形对应边成比例可得BE DE＝CE EF，从而即可求出答案．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CD：AC，
∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，
∴CD=4，AC=6，
∴DE：3=4：6，
∴DE＝2cm，
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：C．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.
11．【答案】8
【解析】【解答】解：∵线段，，线段是线段，的比例中项，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为：8.
【分析】由线段c是线段a，b的比例中项，根据成比例线段的性质可得成=ab，进而代入求解即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为，
∴它的宽（）.
故答案为：.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，其中较短线段与较长线段的比就叫黄金比，据此可得书的长与宽的比等于，据此就不难求出书的宽了.
13．【答案】(0，1)
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
∴即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OC的长，从而即可得出点C的坐标.
14．【答案】（1）2
（2）8
【解析】【解答】解：（1）如图所示，设直线y=x与y=交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C，
∴∠BOD=∠COD=45°，
∵双曲线绕原点逆时针旋转45°与y轴交于点B，点（0，2），
∴OD=OB=2，
∴OC=CD=，
∴D（，），
∴k=×=2.
故答案为：2；
（2）∵双曲线绕原点逆时针旋转45°后得到曲线AB，
∴将点A绕原点顺时针旋转45°后得点A'，且A'在双曲线上，
如图，连接OA，过点A作AE⊥y轴，过点G作GK⊥x轴于点K，交AE于点F，过点A'作A'H⊥x轴于点H，
∴∠AOA’=45°，AG⊥OA，
∴∠OAG=90°，OA=AG，
∴∠OAE=90°-∠FAG=∠AGF，
∵∠OEA=∠AFG=90°，
∴△OAE≌△AGF（AAS），
∴OE=AF=5，AE=FG=3，
∴EF=AE+AF=8=OK，GK=FK-FG=OE-FG=2，
∴OG===2，
∵GK⊥x轴，A'H⊥x轴，
∴GK∥GK，
∴△OA'H∽△OGK，
∴，
又∵A（3，5），
∴OA'=OA==，
∴，
∴OH=4，A'H=，
∴A'（4，），
∴k=4×=8.
故答案为：8.
【分析】将点A绕原点顺时针旋转45°后得点A'，且A'在双曲线上，再连接OA，过点A作AE⊥y轴，过点G作GK⊥x轴于点K，交AE于点F，过点A'作A'H⊥x轴于点H，利用“AAS”定理证得△OAE≌△AGF，从而得OE=AF=5，AE=FG=3，进而得EF=AE+AF=8=OK，GK=FK-FG=OE-FG=2，再利用勾股定理求得OG=2，再由GK∥GK，易证△OA'H∽△OGK，再求出OA'=OA=，由相似三角形对应比成比例求得OH=4，A'H=，可得A'（4，），即可求出k值.
15．【答案】解：∵a：b=1：2，
∴b=2a，
∴（a+b）：a=（a+2a）：a=3．
【解析】【分析】根据已知条件可得 b=2a ，再代入式子求解即可。
16．【答案】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，
∴
＝
＝ .
【解析】【分析】根据比例的基本性质，设出参数，得 a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0， 直接代入可求解.
17．【答案】解：设 ，则x=2k，y=3k，z=4k，且x+y-z=2，2k+3k-4k=2，k=2，则x=4，y=6，z=8.
【解析】【分析】可设比值为为k，把比例中出现的字母统一用k表示，再代入等式中，求出k即可.
18．【答案】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ =
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理直接求解。
19．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：点 ，点 ，点 或点 ，点 ，点
【解析】【分析】（1）以原点O为位似中心， 相似比为k，那么原图上点（x，y）在位似图形上对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），根据放大2倍即k=2，代入可得对应点的坐标，描点并顺次连接即可；
（2）由（1）可直接写出.
20．【答案】解：∵光线从点A出发经平面镜反射到点C，
∴∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，即，
解得：CD＝8．
答：该古城墙CD的高度为8m．
【解析】【分析】由光线入射原理可以得到∠APB＝∠CPD，再结合∠ABP＝∠CDP＝90°，证明△ABP∽△CDP，根据相似三角形性质可得，再代入数据进行计算即可求得CD的值．
21．【答案】解：假设在边 上存在一点 E，使 ，设 ，
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴在 上不存在点 E，使．
【解析】【分析】设 ，先证明可得，将数据代入可得，再求解即可。
22．【答案】证明：在 和 中，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ .
【解析】【分析】利用已知边的长，可知，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AED.
23．【答案】（1）解：把（0，0）代入y＝a（x- ）2-1得，
a-1＝0，
解得a＝.
（2）解：抛物线y＝（x- ）2-1顶点为M（，-1），对称轴为直线x＝，
∵OG∥MN，
∴△FMN∽△FGO，
∴，
∵MF＝FG，
∴MN＝OG＝1，
∴G（0，1），
由M（，-1），G（0，1）得直线MG的解析式为y＝- x+1，
联立方程组得：，
解得：或，
∴B（-，3），
由抛物线对称轴为直线x＝ 可知E（，3），
∴C（0，3），D（，3），
∴CD＝，DE＝3，
∴CD：DE＝1：2．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即把（0，0）代入y＝a（x- ）2-1，得a-1＝0，解之即可得a的值；
（2）由OG∥MN，易得△FMN∽△FGO，利用相似三角形对应边成比例及MF=FG，推出MN＝OG＝1，求出G的坐标，从而可得直线MG的解析式，与抛物线解析式联立方程组，可求得B，C，D，E的坐标，进而求得CD和DE的值，即可得到答案．