2022—2023学年人教版数学九年级下册第二十七章 相似 单元自测题 （含解析）

人教版初中数学九年级下册 第二十七章 相似 单元自测题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，若AD＝6，BD＝3，AE＝8，则EC的长是（　　）
A．4 B．2 C．5 D．
2．若2a＝3b，则 （　　）
A． B． C． D．
3．若 且相似比为1：4，则 与 的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
4．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(　　)
A． B．
C． D．
6．如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（　　）
A．（ +1）a B．（ ﹣1）a C．（3﹣ ）a D．（ ﹣2）a
7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么 的值等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形.其中BC∶B1C1=1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　）
A．1∶4 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶3
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
10．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（　　）
A．
B．3
C．
D．
二、填空题
11．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是　 　.
12．若 ＝ ，则 的值为　 　.
13．下列命题：①函数中，函数y随x的增大而减小，②有一个角相等的两个等腰三角形相似，③两个等边三角形相似，④平分弦的直径垂直于弦，⑤相等的圆周角所对的弧相等，⑥关于x的函数的图象是抛物线.其中正确的结论有　 　(填序号).
14．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是弧BC上任意一点，线段AF与弦CD交于点G，连结FD和AD.
（1）若 ，则AD=　 　
（2）在(1)的条件下，若CD= ,则 O的直径为　 　.
三、作图题
15．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段.
（1） 在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直.
（2） 在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5.（保留作图痕迹）
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，.
（1）请作出绕O点逆时针旋转90°的，并求出线段AB扫过的面积.
（2）以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，在y轴的左侧.
四、解答题
17．如图，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
18．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
19．如图，已知中，，求BD的长.
20．如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．
21．如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
五、综合题
22．如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G.
（1）证明：AFBD；
（2）若，.求BD的长.
23．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm。点M在边AB上，以2cm/s的速度由点B出发沿BA向点A匀速运动：同时点N在边AC上，以1cm/s的速度由点A出发沿AC向点C匀速运动。点M到达点A时，点M，N同时停止运动，连接MN，设点N运动的时间为ts：
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△AMN的面积为△ABC的面积？
（3）是否存在t值，使得以A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
解得，
故答案为：A
【分析】由平行线分线段成比例可得，据此即可求解.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵2a＝3b，
∴ .
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质：若a：b=c：d，则bc=ad，据此可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故答案为：C.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得x= y，然后代入 中化简即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：C.
【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE＝ AB＝ 2a＝（ ﹣1）a.
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的定义：即把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是（-1）：2，根据定义列式求解即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AG＝2，GD＝1，DF＝5，
∴AD＝AG+GD＝3，GF＝GD+DF＝6，
∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断得出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，BC∶B1C1=1∶2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长之比=BC∶B1C1=1∶2.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的周长比等于相似比进行解答.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD=∠B
又∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴=
∵AD＝2，BD＝3
∴AB= AD+BD=2+3=5
∴AC＝.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ACB＝2∠ACD，结合已知条件可得∠ACD=∠B，又∠A=∠A，利用有两组角相等的两个三角形相似证明△ACD∽△ABC，接下来根据相似三角形的性质进行计算.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB交AD于点H，
∵AB=10，
∴AO=BO=CO=5，
∵BE=2，
∴OE=3，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
在Rt△OEC中，CE= =4，
∴CD=2CE=8，
∵OH∥CD，
∴，即，
∴解得OF=.
故答案为：C.
【分析】过点O作OH⊥AB交AD于点H，利用AB=10及BE=2求得OE=3；再根据垂径定理得CE=DE，在Rt△OEC中，利用勾股定理求得CE=4，进而求得CD；再由平行线分线段成比例得 ，代入数据即可求得OF的长度.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，
∴它们的周长之比为3，
故答案为：3.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由 ＝ ，
设a＝5k，b＝2k，
把a＝5k，b＝2k代入得 ，
故答案为： .
【分析】由 ＝ ，可设a=5k，则b=2k，将它们代入，就是即可求出其值.
13．【答案】③
【解析】【解答】解：①函数中，在每个象限内，函数y随x的增大而减小，故原说法错误；
②当一个等腰三角形的顶角与另一个三角形的底角相等时，两个三角形不相似，故原说法错误；
③因等边三角形的三个角都等于60°，所以两个等边三角形相似，故原说法正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
⑥关于x的函数（a≠0）的图象是抛物线，故原说法错误.
故答案为：③.
【分析】根据反比例函数的性质可判断①；根据相似三角形的判定定理可判断②③；根据垂径定理可判断④；根据弧、圆周角的关系可判断⑤；根据二次函数的图象可判断⑥.
14．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）连接FB、DB，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，∠ADB=90°，
∴∠AFB=∠AEG=90°，
∵∠EAG=∠FAB，
∴△AEG∽△AFB，
∴,
∴AE×AB=AF×AF=15，
∵∠AEB=∠ADB，∠DAE=∠BAD，
∴△AEB∽△ADB，
∴，
∴AD2=AE×AB=15，
∴AD= ,
故答案为： ；
（2）∵CD⊥AB ,
∴ED=EC=，
∴AE=,
∵AD2=AE×AB,
∴AB==，
故答案为：.
【分析】（1）连接FB、DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠AFB=90°，∠ADB=90°，则可证明△AEG∽△AFB，△AEG∽△AFB，利用相似三角形的性质推得AD2=AE×AB=15，即可求出AD的长；
（2）先根据勾股定理求出AE的长，然后代入AD2=AE×AB即可求出AB.
15．【答案】（1）解：如图1中，线段PQ即为所求；
（2）解：如图2中，线段MN即为所求.
【解析】【分析】（1）用三角尺一边与FG重合，另一个三角尺直角边与O重合，再AD和BC上找到P、Q两个格点，用直线连接PQ即可；
（2）取格点J、K，并连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N，再连接MN即可.
16．【答案】（1）解：∵的三个顶点坐标分别是，，
∴绕O点逆时针旋转90°，得，，
如图所示：
即为所求
∵，
∴，
线段AB扫过的面积；
（2）解：∵的三个顶点坐标分别是，，
∴，，
如图所示，
即为所求.
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，顺次连接可得△A1B1C1，易得线段AB扫过的面积为：圆心角为90°，半径分别为OB、OA的扇形的面积之差，据此计算；
（2）分别给点A、B、C的横纵坐标乘以-2，可得点A2、B2、C2的坐标，找出对应的位置，然后顺次连接即可.
17．【答案】添加条件：AB∥CD．
证明：∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA
∴△ABC∽△CAD．
【解析】【分析】本题的已知条件中已经有 AD⊥CD，AC⊥BC，即∠ADC=∠ACB=90° ，要想使 △ABC∽△CAD， 只需再找一组对应角相等，或夹角两边对应成比例，添加 AB∥CD，利用两直线平行内错角相等，即为∠CAB=∠DCA .
18．【答案】解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段
【解析】【分析】他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段，则x：1.70=0.618，然后解方程即可．
19．【答案】解：∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，
又∵BD=AE，AD=8，AC=6，
∴AB=8+BD，
∴8：(8+BD)=BD：6即BD2+8BD-48=0.
解得：BD=4或BD=-12（不合题意，舍去）
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得AD：AB=AE：AC， 据此即可求解.
20．【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FC∥BC，
∵FG∥AD，
∴ ，
∴
∴FG=FC
【解析】【分析】由菱形的性质可知对边平行，四条边相等，然后利用平行线分线段成比例，列出比例式，等量代换即可.
21．【答案】解：如图，设EF=x，则GF=2x．∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，
∴ = ．
∵AH=6，BC=12，
∴ = ．解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18．
【解析】【分析】由已知EF∶GF=1∶2，可设EF=x，GF=2x，由题意易证△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出GF的长，由此可得到矩形DEFG的周长。
22．【答案】（1）解：∵点F是点E关于AD的对称点，
∴∠EAD＝∠FAD，AE＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴AFBD；
（2）解：∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴O是AC的中点，
∴ AO＝CO＝AC
∵AFBD，
∴∠COG＝∠CAF，∠CGO＝∠ F
∴△COG∽△CAF
∴＝
∴CG＝CF
∴G为CF的中点，
∴OG是△CAF的中位线，
∴AF＝2OG＝2×1＝2，
∴AE＝2，
∵OE＝2，
∴OA＝AE＋OE＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴BD＝AC＝8.
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质可证得∠EAD＝∠FAD，AE＝AF，利用矩形的性质可得到OA＝OD；再利用等腰三角形的性质去证明∠FAD＝∠ODA；然后利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）利用矩形的性质可知AO＝CO＝AC，利用平行线的性质可证得∠COG＝∠CAF，∠CGO＝∠ F，由此可推出△COG∽△CAF，利用相似三角形的对应边成比例可得到G为CF的中点；再利用三角形的中位线的性质可求出AF及AE的长；然后求出OA的长，即可求出BD的长.
23．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，
∴
（2）解：如图：作MH⊥AC于H，则MH∥BC，
由题意得，BM=2t，AN=t，则AM=13-2t，
∵MH∥BC
△AMH∽△ABC
∴，即
解得 ， ，
由题意得 ， ，
解得 ，
（3）解：∵∠A=∠A
∴当 时，
∴
解得，
当 日寸， ， ，
∴，
解得， ，
答 ： 当 或 时，以 A， M， N 为顶点的三角 形与 相似
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理即可得出AB的长；
（2）作MH⊥AC于H，得出MH∥BC，得出△AMH∽△ABC，从而得出 ，再根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：当 时，， 当 时，， 分别列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.