章末复习
【考点目录】
考点一、不等式性质的应用
考点二、解不等式
考点三、基本不等式的应用
考点四、不等式在实际问题中的应用
考点一、不等式性质的应用
1．如果 a b 0，那么下列不等式成立的是（
1 1
A． B． ab b2
1 1
C．
a b ab a
2 D．
a b
2．设 a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
1
A．a＋ ≥2 B．a2＋b2≥2ab
a
1 1 1 2
C．a＋b＋ ≥2 D. ＋ ≥2＋
a＋b a b a＋b
考点二、解不等式
1．解以下一元二次不等式
(1) 2x2 3x 1 0
(2) x2 5x 6 0
(3) 4x2 4x 1 0
(4) x2 6x 9 0
2．解下列不等式：
1 x 0 x 1 x 1 x 1（1） ； （2） 2 ； （3） 2； （4） 2
x 3 x 3 x 2 x
a x
3．解关于 x 的不等式 0 a R .
x 1
4 2．解不等式 x a 2 x a 1 0（ a R ）．
5．已知不等式 ax2 3x b 4的解集为 ,1 2,
(1)求 a，b 的值；
(2) 2解不等式 ax ac 2 x 2c 0 .
考点三、基本不等式的应用
1．若实数 x 3，求 x
1
的最小值，并求此时 x 的值；
x 3
y 8 x 22．函数 (x 0)的最大值是（ ）
2 x
A．6 B．8 C．10 D．18
1
3．已知0 x ，则函数 y x(1 2x) 的最大值是（ ）
2
1 1 1 1A． 2 B． C． D．4 8 9
4 1
4．已知正实数 a,b满足 1，则a 2b的最小值为（ ）
a b b 1
A．6 B．8 C．10 D．12
5．若 a 0，b 0，且 a b ab ，则 2a b 的最小值为（ ）
A．3 2 2 B． 2 2 2 C．6 D．3 2 2
6．（多选）已知 a 0，b 0，且 a 2b 1，则下列说法正确的是（ ）
2 1 1A． a b2 的最小值为 B． ab的最大值为
5 8
1 4
C 1 1． 的最大值为 D． 的最小值为
a b 3 a b 4 2
2
7 f x x 8．函数 (x 1)的最小值为___．
x 1
8．设 x，y 为实数，若 x2 y2 xy 1，则 x y 的最大值为________ x2； y2的最小值为_________.
9．已知 x 0， y 0，且 x 4y 4 ．
(1)求 xy 的最大值；
1 2
(2)求 x y 的最小值．
考点四、不等式在实际问题中的应用
1．某单位在对一个长 800 m、宽 600 m 的草坪进行绿化时，是这样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，
如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少 当花坛宽度为多少时，
绿草坪面积最小
2．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初用 192
万元购进一批小型货车，公司每年需要付保险费共计 12 万元，除保险费外，从第一年到第 n 年所需维修费等各种
费用总额为3n n 1 万元，且该批小型货车每年给公司带来 69 万元的收入．
(1)该批小型货车购买后第几年开始盈利？
(2)求该批小型货车购买后年平均利润的最大值．
1．已知 a b ， c 0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． ac bc B． a2c b2c C． a2 c b2 c D． ac2 bc2
2．求下列不等式的解集：
(1) x2 4x 5 0；
4x2 18x 81(2) 0；
4
1
(3) x2 3x 5 0；
2
3．解下列不等式：
x 1 0 5x 1 2x 6（1） ；（2） 3；（3） 1
x-3 x 1 3x 5
4．对任意实数 a,b,c,d ，命题：
①若 a b,c 0 ，则 ac bc ；
②若 a b，则 ac2 bc2 ；
③若 ac2 bc2 ，则 a b .
④若 a3 b3
1 1
,ab 0，则 ，
a b
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．解关于 x 的不等式6x2 ax a2 0 .
a
6．解关于 x 的不等式 1 .
x 1
7 2．解关于 x 的不等式： ax 4a 1 x 4 0(a R)
8．已知 x 2，则 x
4
的最小值为（ ）
x 2
A．6 B．4 C．3 D．2
1
9．若 x 0 ，则 x 2有（ ）
4x
A．最小值 1 B．最小值 3 C．最大值 1 D．最大值 3
10．已知正数 x，y满足 x y 4 ，则 xy的最大值（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D．8
2
11 f x x x 1．函数 x 0 的最小值是（ ）
x
A． 2 B．3 C． 4 D．5
1 1
12．（多选）已知实数 a 0，b 0， 1，则 a 4b 的值可能是（ ）
a 1 b
A．7 B．8 C．9 D．10
2
13 2x x 1．求函数 y (x 1 )的值域.
2x 1 2
14．某种商品原来毎件售价为 25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高1元，销售量将相应减少 2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价
最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格
x 1 2到 元，公司拟投入 x 600 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量 a6
至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价．章末复习
【考点目录】
考点一、不等式性质的应用
考点二、解不等式
考点三、基本不等式的应用
考点四、不等式在实际问题中的应用
考点一、不等式性质的应用
1．如果 a b 0，那么下列不等式成立的是（
1 1 1 1
A． B． ab b2 C． ab a2 D． a b a b
【答案】D
1 1 1 1 1
【详解】由于 a b 0，不妨令 a 2 ，b 1，可得 , 1， ，故 A 不正确．
a 2 b a b
可得 ab 2，b2 1， ab b2 ，故 B 不正确．
可得 ab 2， a2 4 ， ab a2 ，故 C 不正确．
故选：D．
2．设 a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
1
A．a＋ ≥2 B．a2＋b2≥2ab
a
1 1 1 2
C．a＋b＋ ≥2 D. ＋ ≥2＋
a＋b a b a＋b
【答案】D
【详解】可采用排除法或特殊值法．(特殊值法)令 a＝b＝1，
1 1 2
则 ＋ ＝2,2＋ ＝3，故 D 不正确．
a b a＋b
考点二、解不等式
1．解以下一元二次不等式
(1) 2x2 3x 1 0
(2) x2 5x 6 0
(3) 4x2 4x 1 0
(4) x2 6x 9 0
1
【答案】(1) x x 1
1
；(2) x x 6 或 x 1 ；；(3)2 x x ；(4) x 3 2
【详解】(1)由 2x2 3x 1 0，得 (x 1)(2x 1)
1
0 1，解得 x 1，所以不等式的解集为 x x 1
2 2
(2)由 x2 5x 6 0，得 x2 5x 6 0，
则 (x 1)(x 6) 0，解得 x 6 或 x 1，
所以不等式的解集为 x x 6 或 x 1
1 1
(3)由 4x2 4x 1 0，得 (2x 1)2 0 ，解得 x 2 ，所以不等式的解集为
x x
2
(4)由 x2 6x 9 0 ，得 (x 3)2 0 ，得 x 3，所以不等式的解集为 x x 3 .
2．解下列不等式：
1 x x 1 x 1
（1） 0； （2） 2 ； （3） 2
x 1
； （4） 2
x 3 x 3 x 2 x
【答案】（1） x x 3或 x 1 ；（2） x x 7 或 x 3 .（3） x | x 2或 x 3 ;(4) x 0 x 1
1 x x 3 0 x 1 x 3 0
【详解】（1）原不等式可以转化为 ，即 ，解得 x 3或 x 1.
x 3 0 x 3 0
所以，原不等式的解集为 x x 3或 x 1 ；
x 1 x 7 x 7 x 3 0
（2）原不等式可以转化为 2 0，即 0，即 ，解得 x 7或 x 3 .x 3 x 3 x 3 0
所以原不等式的解集为 x x 7 或 x 3 .
x 1 2 x 1 x 1 2 x 2（3）由 可得 2 0 ，即 0
x 2 x 2 x 2
x 3 0 x 3所以 ，即 0，
x 2 x 2
所以 x 2 x 3 0，
可得： x 3或 x 2 ，
所以原不等式的解集为 x | x 2或 x 3 .
x 1 2 x 1(4)不等式 可变形为 0 ，
x x
即 x x 1 0 且 x 0，解得0 x 1，所以不等式的解集为 x 0 x 1 ．
a x
3．解关于 x 的不等式 0 a R .
x 1
x a
【详解】原不等式可化为 0，即 x 1 x a 0 .
x 1
①当 a 1时，原不等式可化为 x 1 2 0，该不等式无解；
②当 a 1时，解不等式 x 1 x a 0，可得 1 x a；
③当 a 1时，解不等式 x 1 x a 0，可得 a x 1 .
综上， a 1时，原不等式的解集为 ；
当 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x a ；
当 a 1时，原不等式的解集为 x a x 1 .
4 2．解不等式 x a 2 x a 1 0（ a R ）．
2
【详解】不等式 x a 2 x a 1 0可化为 x 1 x a 1 0 ，
不等式对应方程的两根为 1和 a 1，
当 a 0时， 1 a 1，不等式的解集为 x x 1 ；
当 a 0时， 1 a 1，不等式的解集为 x x a 1或 x 1 ；
当 a 0时， 1 a 1，不等式的解集为 x x 1或 x a 1 ．
5．已知不等式 ax2 3x b 4的解集为 ,1 2,
(1)求 a，b 的值；
(2) 2解不等式 ax ac 2 x 2c 0 .
【详解】(1)因为不等式 ax2 3x b 4的解集为 x | x 1或 x 2 ，
所以 x 1或 x 2是方程 ax2 3x b 4 0的根，
3
1 2 a
根据韦达定理 ，解得 a 1，b 6
b 4 1 2
a
(2) 1 x2由（ ）可知不等式化为 c 2 x 2c 0，
即 (x c)(x 2) 0
当 c 2时，不等式的解集为 x 2 x c ，
当 c 2时，不等式的解集为 ，
当 c 2时，不等式的解集为 x c x 2
考点三、基本不等式的应用
x 3 x 11．若实数 ，求 的最小值，并求此时 x 的值；
x 3
1 1
【详解】因实数 x 3，则 x =x-3+ +3 2 x 3 1 +3=5，x 3 x 3 x 3
当且仅当 x 3
1
时取“=”，
x 3
由 x 3且 x 3
1
解得：x=4，
x 3
1
所以 x 的最小值是 5，此时 x=4.
x 3
x 2
2．函数 y 8 (x 0)的最大值是（ ）
2 x
A．6 B．8 C．10 D．18
【答案】A
x 2
【详解】解：因为 x 0，所以 0, 0,
2 x
所以 y 8
x 2 x 2
8 x 2 8 2 6，2 x 2 x 2 x
x 2
当且仅当 即 x 1时，等号成立，
2 x
x 2
所以 y 8 (x 0)的最大值是 6，
2 x
故选：A
3．已知0
1
x ，则函数 y x(1 2x) 的最大值是（ ）
2
A 1
1 1 1
． 2 B． C． D．4 8 9
【答案】C
【详解】∵ 0
1
x ， 1 2x 0 ,
2
∴ x(1 2x)
1
2x(1 1 2x (1 2x) 1 2x) [ ]2 ，
2 2 2 8
当且仅当 2x 1 2x 时，即 x
1
时等号成立，
4
因此，函数 y x(1 2x) , (0
1 1
x )的最大值为 ,
2 8
故选：C．
4 1
4．已知正实数 a,b满足 1，则a 2b的最小值为（ ）
a b b 1
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
4 1
【详解】因为 1，且 a,b为正实数
a b b 1
a b b 1 (a b b 1)( 4 1 ) 4 a b 4(b 1)所以 1
a b b 1 b 1 a b
a b 4(b 1)
5 2 a b 4(b 1) 9，当且仅当 即 a b 2 时等号成立.
b 1 a b b 1 a b
所以 a 2b 1 9,a 2b 8 .
故选：B.
5．若 a 0，b 0，且 a b ab ，则 2a b 的最小值为（ ）
A．3 2 2 B． 2 2 2 C．6 D．3 2 2
【答案】A
1 1
【详解】因为 a 0，b 0，且 a b ab ，所以 1，
a b
2a 1 1 2a b 2a b所以 b 2a b 3 3 2 3 2 2 ，
a b b a b a
2a b
当且仅当 时，取等号，所以 2a b 的最小值为3 2 2 ，b a
故选：A.
6．（多选）已知 a 0，b 0，且 a 2b 1，则下列说法正确的是（ ）
1 1
A． a2 b2 的最小值为 B． ab的最大值为
5 8
1 4
C 1 1． 的最大值为 D． 的最小值为
a b 3 a b 4 2
【答案】AB
【详解】解：对于 A：由 a 0，b 0， a 2b 1，则a 1 2b ，
1 2b 0
所以 ，解得0 b
1
b 0 ， 2
2
所以 a2 b2 (1 2b)2 b2 5b2 4b 2 1 1 5 b
，
5 5
b 2所以当 时， a2 b2
1
有最小值 ，故 A 正确．
5 5
1 1 1
对于 B：由 a 0，b 0，1 a 2b 2 2ab ，即 ab ，当且仅当 a 2b，即 a ，b 时等号成立，8 2 4
1
所以 ab的最大值是 ，故 B 正确；
8
1 2b 0 1
对于 C：由 a 0，b 0， a 2b 1，则a 1 2b ，所以 0 b
b 0
，解得 ，
2
1 1 1 1 1
所以 ，因为0 b ，所以 1 b 1 ，
a b 1 2b b b 1 2 2
2 1 1 1所以 1，所以1 2，即1 2，故 C 错误；
b 1 b 1 a b
D 1 1 a 2b a 2b 2b a对于 ： 1 2 3 2 2b a 3 2 2 ，
a b a b a b a b
2b a
b 2 2当且仅当 ，即 ，a b a 2 1
时取等号，故 D 错误；
2
故选：AB
2
7．函数 f x x 8 (x 1)的最小值为___．
x 1
【答案】8
9
【分析】令 t x 1 0，则 x t 1，化简得到 f t t 2，集合基本不等式，即可求解.
t
【详解】因为 x 1，令 t x 1 0，则 x t 1，
2
f x x 8 (x 1) (t 1)
2 8 t 2 2t 9
又因为 ，可得 f t t 9 2 ，
x 1 t t t
9 9
因为 t 2 t 9 6，当且仅当 t 时，即 t 3，即 x 4时，等号成立，
t t t
所以 f t 8 f xmin ，即 的最小值为8 .
故答案为：8 .
8．设 x，y 为实数，若 x2 y2 xy 1，则 x y 的最大值为________ x2； y2的最小值为_________.
【答案】 2 3
2
3 3
2
【详解】 x2 y2 xy 1 x y 2 1 xy (x y) 3 x y 2 1 x y 2 3 3 当且仅4 x y 时等号成立，4 3 3
x y 2 3所以 的最大值为
3
2 2
x y 2 xy x2 y2 2xy又 x2 y2 xy 1则 xy 1 x2 y2 x y 2
3 x2 y2
1 x2 y2 2
2
当且仅当 x
3
y 2 2时等号成立故 x y 的最小值为
2 3 3 3
2 3 2
故答案为： ；
3 3
9．已知 x 0， y 0，且 x 4y 4 ．
(1)求 xy 的最大值；
1 2
(2)求 x y 的最小值．
9 4 2
【答案】(1)1；(2)
4
【详解】（1）因为 x 0， y 0，所以 4 x 4y 2 4xy 4 xy ，
当且仅当 x=4y 且 x 4y 4
1
即 x=2， y 时取等号，解得 xy 1，
2
故 xy 的最大值为 1．
（2）因为 x 0， y 0．且 x 4y 4 ,
1 2 1 1 2 x 4y 1 9 4y 2x 1
4y 2x 9 4 2
所以 9 2 ，x y 4 x y 4 x y 4 x y 4
当且仅当 x 2y且 x 4y 4
4 2 2 1 2 4 2, 即 x ， y 时取等号．
7 7
1 2
所以 9 4 2x y 的最小值为 ．4
考点四、不等式在实际问题中的应用
1．某单位在对一个长 800 m、宽 600 m 的草坪进行绿化时，是这样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，
如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少 当花坛宽度为多少时，
绿草坪面积最小
【详解】设花坛宽度为 xm ，则草坪的长为 800 2x m，宽为 600 2x m, 0 x 300 .
1
根据题意得 (800 2x)(600 2x) 800 600，
2
整理得 x2 700x 60000 0，解不等式得 x 600 (舍去)或 x 100，
因此0 x 100 .
故当花坛的宽度在0 x 100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
绿草坪的面积 S (800 2x)(600 2x) 4x2 2800x 480000 ，
2800
对称轴为 x 350，开口向上的抛物线，所以在 0,100 上单调递减，
2 4
所以当 x 100 时， Smin (800 2 100)(600 2 100) 600 400 240000，
所以当花坛宽度为100m时，绿草坪面积最小.
2．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初用 192
万元购进一批小型货车，公司每年需要付保险费共计 12 万元，除保险费外，从第一年到第 n 年所需维修费等各种
费用总额为3n n 1 万元，且该批小型货车每年给公司带来 69 万元的收入．
(1)该批小型货车购买后第几年开始盈利？
(2)求该批小型货车购买后年平均利润的最大值．
【答案】(1)第 5 年；(2)12 万元
【详解】（1）由题意，得69n 192 12n 3n n 1 0，
即 3n2 60n 192 0，
化简，得 n2 20n 64 0，解得： 4 n 16．
所以该批小型货车购买后第 5 年开始盈利．
（2）设该批小型货车购买 n 年后的年平均利润为 y，
y 3n
2 60n 192 64
则 3 n
60 3 2 64 60 12．n n
64
当且仅当 n ，即 n＝8 时取“＝”．
n
所以该批小型货车购买后的年平均利润最大值是 12 万元．
1．已知 a b ， c 0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． ac bc B． a2c b2c C． a2 c b2 c D． ac2 bc2
【答案】D
【详解】∵ a b ， c 0，∴ ac bc，则选项A 不正确；
1
当 a 1，b 时，即 a22 b
2 ，∴ a2c b2c和 a2 c b2 c成立，则选项B、C 不正确；
∵ c 0 ,∴ c2 0，∴ ac2 bc2，则选项D 正确；
故选：D .
2．求下列不等式的解集：
(1) x2 4x 5 0；
81
(2) 4x2 18x 0；
4
1
(3) x2 3x 5 0；
2
【答案】(1){x | 1 x 5}
9
；(2){ }；(3) .
4
【详解】(1) x2 4x 5 (x 5)(x 1) 0解得： 1 x 5
不等式解集为：{x | 1 x 5} .
(2) 4x2 18x
81
0，整理得：
4 16x
2 72x 81 0
9
即 (4x 9)2 0，解得： x
4
9
不等式解集为：{ } .
4
1
(3) x2 3x 5 0，整理得： x22 6x 10 0
( 6)2 4 10 4 0，故不等式再实数范围内无解
不等式解集为： .
3．解下列不等式：
x 1 0 5x 1 2x 6（1） ；（2） 3；（3） 1
x-3 x 1 3x 5
5
【答案】（1） - ，-1 3， ；（2） -1,1 ；（3） ( , ) [11, ) .
3
x 1 x-3 0
【详解】（1）原不等式可转化为 ，解不等式组可得 x≤－1 或 x>3.
x-3 0
即知原不等式的解集为 - ，-1 3， ．
2 x 12 （ ）移项并整理，可将原不等式可化为 0，即成 2(x－1)(x＋1)<0，解得－1x 1
所以，原不等式的解集为 -1,1 ．
（3）由题意，
2x 6 1 2x 6 1 0 x 11 0 ( x 11)(3x 5 5) 0 且 x
3x 5 3x 5 3x 5 3
由于二次函数 y ( x 11)(3x 5)
5
开口向下，两个零点为 x1 , x2 113
5
故不等式的解集为： ( , ) [11, ) ．
3
4．对任意实数 a,b,c,d ，命题：
①若 a b,c 0 ，则 ac bc ；
②若 a b，则 ac2 bc2 ；
③若 ac2 bc2 ，则 a b .
④若 a3 b3
1 1
,ab 0，则 ，
a b
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】对于①，若 a b， c 0，则 ac bc，①错；
对于②，若 c 0 ，则 ac2 bc2 ，②错；
对于③，若 ac2 bc2 ，则 c2 0，由不等式的基本性质可得 a b，③对；
1 1
对于④，若 a3 b3 ,ab 0，则 a 0 b ，则 0 ，④对
a b
故选：C
5．解关于 x 的不等式6x2 ax a2 0 .
2x a 3x a 0 x a a 【详解】原不等式可化为 ，即 x 0，
2 3
a a a a
①当 ，即 a 0时， x ；
2 3 2 3
a a
②当 ，即 a 0时，原不等式的解集为 ；
2 3
a a a a
③当 ，即 a 0时， x .
2 3 3 2
a a
综上知：当 a 0时，原不等式的解集为 x x ；当 a 0时，原不等式的解集为 ；当 a 0时原不等式的
2 3
a a
解集为 x x .
3 2
a
6．解关于 x 的不等式 1 .
x 1
a 1 a x a 1【详解】不等式 等价于 1 0 0，得 (x 1)[x (a 1)] 0，
x 1 x 1 x 1
当 a 1 1，即 a 0时，不等式的解集为 x |1 x a 1 ；
当 a 1 1，即 a 0时，不等式的解集为 ；
当 a 1 1，即 a 0时，不等式的解集为 x | a 1 x 1 .
7 2．解关于 x 的不等式： ax 4a 1 x 4 0(a R)
【详解】(1)由题意可知， ax2 (4a 1)x 4 0 可转化为： (ax 1)(x 4) 0 ，
（1）当 a 0时，不等式化为 x 4 0，解得 x 4，
1 1
（2）当 0 时，由 (x )(x 4) 0
1
，解得 x 4 ，
a a a
1 1 1
（3）当0 4时，不等式 (x )(x 4) 0 ，解得 x 或 x 4 ，
a a a
1
（4）当 4时，不等式化 (x 4)2 0 ，解得 x 4，
a
1 1 1
（5）当 4时，不等式 (x )(x 4) 0 解得 x 4或 x ，
a a a
1
综上所述， a 0时，不等式的解集为 ( , 4)，
a
a 0时，不等式的解集为 , 4 ，
1 1
0 a 时，不等式的解集为 ( , 4) ( , )，
4 a
1
a 时，不等式的解集为 , 4 4,
4
a 1 1 时，不等式的解集 ( , ) (4, ) ，
4 a
8．已知 x 2，则 x
4
的最小值为（ ）
x 2
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【详解】∵ x 2，∴ x 2 0，
∴ x
4 4
x 2 2≥ 2 x 2 4 2＝6，x 2 x 2 x 2
4 4
当且仅当 x 2 即 x 4时， x 取最小值 6，
x 2 x 2
故选：A．
1
9．若 x 0 ，则 x 2有（ ）
4x
A．最小值 1 B．最小值 3 C．最大值 1 D．最大值 3
【答案】D
x 0 x 1 2 1 x 2 2 x 1 1 1【详解】因为 ，所以 2 3，当且仅当 x ，即 x 4x 4x 4x 4x 2
1
时等号成立，故 x 2有最大值 3．
4x
故选：D.
10．已知正数 x，y满足 x y 4 ，则 xy的最大值（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D．8
【答案】B
【详解】因为正数 x，y满足 x y 4 ，
所以有 4 x y 2 xy xy 2 xy 4，当且仅当 x y 2时取等号，
故选：B
11 x
2 x 1
．函数 f x x 0 的最小值是（ ）
x
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【答案】B
2
【详解】当 x 0时， f x x x 1 1 1 x 1 2 x 1 3，
x x x
当且仅当 x 1时，等号成立，故 f x 的最小值为3 .
故选：B.
1 1
12．（多选）已知实数 a 0，b 0， 1，则 a 4b 的值可能是（ ）
a 1 b
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
1 1
【详解】因为 a 0，b 0， 1，
a 1 b
所以 a 4b a 1 4b 1 a
1 1 4b a 1
1 4b 1 1 4 1 a 1 b a 1 b
4b a 1 a 2
4 2 4b a 1
a 1 b
8 ，当且仅当
a 1 b 1 1
，即 3 时取等号，
1 b
a 1 b 2
所以 a 4b 8，可能为 8,9,10.
故选：BCD
2x213 y x 1(x 1．求函数 )的值域.
2x 1 2
[1【答案】 2, ) .
2
2
y 2x x 1 x(2x 1) 1 1【详解】 x x 1 1 1 ，
2x 1 2x 1 2x 1 2 2x 1 2
1 1
x 1 x 1 0 1因 ，即 ，则 x 2 1 2 (x
1
) 2 2 ，
2 2 2 x 2 x 1
2 2
1
x 1 2 1 2 1当且仅当 1 ，即 x 时等号成立，于是得 y 2 ，2 x 2 2
2
1
所以原函数的值域为[ 2, ) .
2
14．某种商品原来毎件售价为 25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高1元，销售量将相应减少 2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价
最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格
到 x
1 2
元，公司拟投入 x 600 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量 a6
至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价．
【详解】(1)设每件定价为 t 元，则 8 0.2 t 25 t 25 8，
整理得 t 2 65t 1000 0 ，解得 25≤t≤40．
要满足条件，每件定价最多为 40元；
(2)由题得当 x 25时： ax 25 8
1
x2 600 50 有解，6
即： a
150 1
x, x 25有解．
x 6
150 1
又 x 2 150 x 10，
x 6 x 6
当且仅当 x 30 25时取等号，
a 10
即改革后销售量至少达到10万件，才满足条件，此时定价为30元 /件.
