高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第二章综合检测卷（拔尖 C 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．若 a,b,c R ，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． B． ac bc
a b
b c b
C． a b c2 0 D．
a c a
2．已知 x R ，则“ x 1 2 ”是“ x 1 x 5 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1
3．已知正实数 a，b 满足 a 2，则 2ab b 的最小值是（ ）a
5 9
A． B．3 C． D．
2 2 2 12
1
4．若 x 0 ，则 x 2有（ ）
4x
A．最小值 1 B．最小值 3 C．最大值 1 D．最大值 3
5．关于 x 2的方程 x m 2 x 2m 1 0 恰有一根在区间 0,1 内，则实数 m 的取值范围是（ ）
1 , 3 1 , 2 1 ,2 1 , 2 A． B． C． D． 6 2 7 2 2 2 3 2 2 3
6 2．已知不等式 ：ax bx c 0 a 0 有实数解．结论（1）：设 x1，x2 是 的两个解，则对于任意的
x1，x
b c
2 ，不等式 x1 x2 和 x1 x2 恒成立；结论（2）：设 x a a 0
是 的一个解，若总存在 x0 ，使得
ax 20 bx0 c 0，则 c 0，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 a，
2 2 a b 2 a b
b，x，y>0 a b ，则 ，当且仅当 x y 时等号成立．根据权方和不等式，函数x y x y
f (x) 2 9 1 (0 x )的最小值为（ ）
x 1 2x 2
A．16 B．25 C．36 D．49
2 1
8．若 x 0， y 0，且 1x y ， x 2y m
2 7m恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 8 m 1 B．m 8或m 1
C．m 1或m 8 D． 1 m 8
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知 ABC 的三边长分别为 a，b ， c，则下列命题正确的是（ ）
A．以 a ， b ， c 为边长的三角形一定存在
B．以 a2 ，b2 ， c2 为边长的三角形一定存在
a b b c c a
C．以 ， ， 为边长的三角形一定存在
2 2 2
D．以 ab，bc， ca为边长的三角形一定存在
10．已知 x 0， y 0，且 x y xy 3 0，则（ ）
A．xy 的取值范围是 1,9 B． x y 的取值范围是 2,3
C． x 4y 的最小值是 3 D． x 2y 的最小值是 4 2 3
11．已知a 0,a2 ab 4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．5a b的最小值为 8
1 1
B． 1a a b 的最小值为
C． 2a 2 2ab b 2 的最小值为 4
D．3a2 b2 的最小值为 8
12．已知关于 x 的方程 x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有实数根的充要条件是 m∈{m|m<1 或 m>9}
B．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有一正一负根的充要条件是 m∈{m|m<0}
C．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有两正实数根的充要条件是 m∈{m|0D．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 无实数根的必要条件是 m∈{m|m>1}
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 f x ax2．已知函数 bx c （ a 0）的图象关于 y 轴对称，且与直线 y x 相切，写出满足上述条件的
一个函数 f x ______．
14．设 a,b R ，则 a2 b2 2 2a 2b 中等号成立的充要条件是_______．
15．已知 a 0，b 1，且 a b 1 4，则 a b 的最小值为_________.
16．某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为 3m，占地面积为6m2，墙体 ABFE
和 DCGH 的造价均为 80 元/m2，墙体 ADHE 和 BCGF 的造价均为 120 元/m2，地面和房顶的造价共 2000
元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若 f x ax2 (a 1)x 1， a R .
(1)若 f x 1 0 的解集为 ,1 4 ，求 a的值；
(2)当 a 0时，求关于 x 的不等式 f x 0 的解集.
18．设函数 f (x) mx2 mx 1．
(1)若对于一切实数 x ， f (x) 0恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于 x 1,3 ， f (x) m 5恒成立，求实数m 的取值范围.
19．如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，
且对角线 MN 过 C 点，已知 AB=3 米， AD=4 米．
(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 50 平方米，则 DN 的长应在什么范围？
(2)当 DN 的长为多少米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值．
20．已知关于 x 的一元二次不等式 x2 2mx m 2 0的解集为 R .
(1)求实数m 的取值范围；
3
(2)求函数 y m 的最小值；
m 2
(3) 2解关于 x 的不等式 x m 3 x 3m 0 .
21 2 2．已知当 4 x 1时，函数 f x ax 4ax a 1的最大值为 5，求实数 a的值.
22．求实数m 的范围，使关于 x 的方程 x2 2 m 1 x 2m 6 0.
(1)有两个实根，且一个比 2大，一个比 2小；
(2)有两个实根 ， ，且满足0 1 4；
(3)至少有一个正根.高中数学人教 A 版（2019）必修第一册第二章综合检测卷（拔尖 C 卷）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1．若 a,b,c R ，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． B． ac bc
a b
C a b c2 0 b c b． D．
a c a
【答案】C
a 2,b 1 1 1 1【详解】对于 A，若 ，则满足 a b，此时 1，所以 A 错误，
a 2 b
对于 B，若 a 2,b 1，则满足 a b，而当 c 1时，则 ac 2 bc 1，所以 B 错误，
对于 C，因为 a b，所以 a b 0，因为 c2 0，所以 a b c2 0，所以 C 正确，
对于 D，若 a 2,b 1
b c 2 b 1
，则满足 a b，而当 c 1时，则 2 ，所以 D 错误，
a c 1 a 2
故选：C
2．已知 x R ，则“ x 1 2 ”是“ x 1 x 5 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解不等式 x 1 2得， 1 x 3，记 A {x | 1 x 3}；
解不等式 x 1 x 5 0得， 1 x 5，记B {x | 1 x 5} .
因为 A B，所以“ x 1 2 ”是“ x 1 x 5 0 ”的充分不必要条件.
故选：A
1
3．已知正实数 a，b 满足 a 2，则 2ab
1
b 的最小值是（ ）a
5 9
A． B．3 C． D．
2 2 2 12
【答案】A
a 1【详解】因为 2
1
，所以 a 2 >0，所以0 b 2 b b ，
1 1 b
所以 2ab 2
2 b 2 2b 1 +
b
，
a b 2b 1 2b 1
令 2b 1 t ，则b
t+1
，且 1 t 3 ，
2
t+1 1 1 3 2
所以 2ab 1 2t+ 2 2t+ 1 + 1 2 2t 1 + 1 5 ，当且仅当 2t ，即 t ，b ,a 时，取等号，
a t 2t 2 2t 2 2 2t 2 4 3
所以 2ab
1 5
的最小值是 .
a 2
故选：A.
4．若 x 0 x
1
，则 2有（ ）
4x
A．最小值 1 B．最小值 3 C．最大值 1 D．最大值 3
【答案】D
x 0 x 1 2 x 1 2 2 x 1【详解】因为 ，所以 2 3，当且仅当 x
1
，即 x
1
4x 4x 4x 4x 2
1
时等号成立，故 x 2有最大值 3．
4x
故选：D.
5．关于 x 2的方程 x m 2 x 2m 1 0 恰有一根在区间 0,1 内，则实数 m 的取值范围是（ ）
1 , 3 1 , 2 1 1 2 A． B． C．2 2 2 3
, 2 D． ,2 2 3
6 2 7
【答案】D
2
【详解】方程 x2 (m 2)x 2m 1 0对应的二次函数设为： f x x (m 2)x 2m 1
因为方程 x2 (m 2)x 2m 1 0恰有一根属于( 0, 1)，则需要满足：
① f 0 f 1 0， 2m 1 3m 2 0 1 2，解得： m ；
2 3
②函数 f x 刚好经过点 0,0 或者 1,0 ，另一个零点属于( 0, 1)，
0,0 f x x2 (m 2)x 2m 1 m 1把点 代入 ，解得： ，
2
2 3 3 3
此时方程为 x x 0，两根为 0 ， ，而 0,1 ，不合题意，舍去
2 2 2
把点 1,0 2代入 f x x (m 2)x 2m 1 2，解得：m ，
3
1 1
此时方程为3x2 4x 1 0，两根为1， ，而 0,1 ，故符合题意；
3 3
③函数与 x 轴只有一个交点，横坐标属于( 0, 1)，
(m 2)2 4 2m 1 0，解得m 6 2 7 ，
当m 6 2 7 时，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0的根为 2 7 ，不合题意；
若m 6 2 7 ，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0的根为 7 2 ，符合题意
1 2
综上：实数 m 的取值范围为 , 2 3 6 2 7
故选：D
6．已知不等式 ：ax2 bx c 0 a 0 有实数解．结论（1）：设 x1，x2 是 的两个解，则对于任意的
x1，x
b c
2 ，不等式 x1 x2 和 x 1 x2 恒成立；结论（2）：设 x0 是 的一个解，若总存在 x0 ，使得a a
ax 20 bx0 c 0，则 c 0，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
【答案】B
【详解】当 a 0且 b2 4ac 0 时，
：ax2 bx c 0 a 0 b的解为全体实数，故对任意的 x1，x2 ， x1 x2 与 的关系不确定，例如：a
： x2 2x 2 0,取 x1=1
b
，x2 4,而 2 ，所以 x1 x
c
2 4 2，故结论①不成立.a a
当 a 0且 b2 4ac 0 时， ：ax2 bx c 0的解为 x x p或x q ，其中 p,q 是 ax2 bx c 0的两个
根.当 x0 p, x0 q 此时 ax
2
0 bx0 c 0 ，但 c 值不确定，比如： ：- x2 x 2 0，取 x0 3 ，则
- x 20 x0 2 0，但 c 0 ，故结论②不成立.
故选：B
7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 a，
2 2
b x y>0 a b
2 a b a b
， ， ，则 ，当且仅当 x y 时等号成立．根据权方和不等式，函数x y x y
f (x) 2 9 (0 1 x )的最小值为（ ）
x 1 2x 2
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
2 2 a b 2a b a b
【详解】因 a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 x y 时等号成立，x y x y
1
又0 x ，即1 2x 0，
2
2 2 2
于是得 f (x)
2 3 (2 3) 25 2 3 1 ，当且仅当 ，即 x 时取“=”，
2x 1 2x 2x (1 2x) 2x 1 2x 5
f (x) 2 9所以函数 (0 x
1
)的最小值为 25.
x 1 2x 2
故选：B
2 1
8．若 x 0， y 0，且 1x y ， x 2y m
2 7m恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 8 m 1 B．m 8或m 1
C．m 1或m 8 D． 1 m 8
【答案】A
2 1
【详解】因为 1x y ，
由基本不等得 x 2y
2 1
x 2y
4y x
4 2 4y x 4 8
x y x y x y
4y x
当且仅当 x 2yx y 时，等号成立，所以 的最小值为 8
2
由题可知，m 7m x 2y 8min 即m2 7m 8 0 ，解得 8 m 1，
故选：A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知 ABC 的三边长分别为 a，b ， c，则下列命题正确的是（ ）
A．以 a ， b ， c 为边长的三角形一定存在
B．以 a2 ，b2 ， c2 为边长的三角形一定存在
a b b c c a
C．以 ， ， 为边长的三角形一定存在
2 2 2
D．以 ab，bc， ca为边长的三角形一定存在
【答案】AC
2 2
【详解】不妨设 a b c 0，则b c a .对于A ， b c a b c a 2 bc 0，所以
b c a ，所以以 a ， b ， c 为边长的三角形一定存在，故A 正确；对于 B ，
b2 c2 a2 b c 2 2bc a2 0不一定成立，因此以 a2 ，b2 ， c2 为边长的三角形不一定存在，故 B 不正确；
C b c c a a b a b b c c a对于 ， c 0，因此以 ， ， 为边长的三角形一定存在，故C 正确；对
2 2 2 2 2 2
于D，取 a 5，b 4 ， c 2，满足b c a ，而 ac bc ab，因此以 ab，bc， ca为边长的三角形不一定
存在，故D不正确.
故选：AC.
10．已知 x 0， y 0，且 x y xy 3 0，则（ ）
A．xy 的取值范围是 1,9 B． x y 的取值范围是 2,3
C． x 4y 的最小值是 3 D． x 2y 的最小值是 4 2 3
【答案】BD
【详解】因为 x 0， y 0，所以 x y 2 xy ，所以3 xy≥ 2 xy ，
解得0 xy 1，即0 xy 1，则 A 错误.
x y 2 x y
2
因为 x 0， y 0，所以 xy ，所以3 x y ，2 2
即 x y 2 4 x y 12 0，解得 x y 2 ，当且 x y 1时等号成立，
又由 x y 3 xy 3，所以 x y 的取值范围是 2,3 ，则 B 正确.
y 3 4
因为 x y xy 3 0，所以 x 1 y ， 1 y 1
则 x 4y 1
4 4
4y 4 y 1 5 2 4 5 3
y 1 y 1 ，
4
当且仅当 4 y 1 即 y 0 时等号成立.因为 y 0y 1 .所以 x 4y 3，则 C 错误.
x 2y 4 1 2y 4 2 y 1 3 4 2 3
y ， 1 y 1
4
当且仅当 2 y 1 y 1 即 y 2 1时等号成立，则 D 正确.
故选：BD
11．已知a 0,a2 ab 4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．5a b的最小值为 8
1 1
B． a a b 的最小值为 1
C． 2a 2 2ab b 2 的最小值为 4
D．3a2 b2 的最小值为 8
【答案】ABD
2
【分析】对于 ABD，由a 0,a ab 4，可得 a(a b) 4， a b 0，然后利用基本不等式逐个分析判断，
对于 C，利用已知条件和平方的非负性判断即可
【详解】因为a 0,a2 ab 4，所以 a(a b) 4， a b 0，
对于 A，因为 a(a b) 4，所以 4a(a b) 16，因为 a b 0， a 0，
所以5a b 4a (a b) 2 4a(a b) 2 16 8，当且仅当 4a a b，即 a 1,b 3时取等号，所以 A 正确，
对于 B，因为 a b 0， a 0，
1 1 2a b a (a b) 2 a(a b)
所以 1 ，当且仅当 a a b，即 a 2,b 0时取等号，所以 B
a a b a(a b) 4 4
正确，
2
对于 C，因为a 0,a ab 4，所以 2a2 2ab 8，所以 2a2 2ab b2 8 b2 8，所以 C 错误，
4
对于 D，由 a 0， a2 ab 4，得b a ，a
4 2 163a2 b2 3a2 16 16所以 a
3a
2 2 8 a
2 4a2 22 8 2 4a 2 8 8， a a a a
4a2 16当且仅当 2 ，即 a 2,b 0时取等号，所以 D 正确，a
故选：ABD
12．已知关于 x 的方程 x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有实数根的充要条件是 m∈{m|m<1 或 m>9}
B．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有一正一负根的充要条件是 m∈{m|m<0}
C．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有两正实数根的充要条件是 m∈{m|0D．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 无实数根的必要条件是 m∈{m|m>1}
【答案】BCD
【详解】方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 2有实数根的充要条件是 m 3 4m 0，解得m ,1 9, ，A
错误；
2
m 3 4m 0
方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有一正一负根的充要条件是 ，解得m ,0 ，B 正确；
m 0
m 3 2 4m 0
方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 有两正实数根的充要条件是 m 0 ，解得m 0,1 ，C 正确；
3 m 0
方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 无实数根的充要条件是 m 3 2 4m 0，解得m 1,9 ，
1,9 1, ，故必要条件是 m∈{m|m>1}，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知函数 f x ax2 bx c （ a 0）的图象关于 y 轴对称，且与直线 y x 相切，写出满足上述条件的
一个函数 f x ______．
2 1
【答案】 x （答案不唯一）
4
2
【详解】已知 f x ax bx c a 0 ，
∵ f x 的图象关于 y 轴对称，
∴对称轴 x
b
0 ，∴ b 0，
2a
∴ f x ax2 c ，
y ax2 c
联立 ，整理得 ax2 c x ，即 ax2 x c 0 ，
y x
∵ f x 的图象与直线 y x 相切，
∴ 1 4ac 0 ac 1 ，∴ ，
4
1
当 a 1时， c .
4
2 1∴满足条件的二次函数可以为 f x x ．
4
x2 1故答案为： .
4
14．设 a,b R ，则 a2 b2 2 2a 2b 中等号成立的充要条件是_______．
【答案】 a 1且b 1.
【详解】由题设， a2 2a 1 b2 2b 1 (a 1)2 (b 1)2 0，
∴要使等号成立，则 a 1且b 1，
当 a 1且b 1时，有 a2 b2 2 4,2a 2b 4，即 a2 b2 2 2a 2b 成立.
综上， a 1且b 1是 a2 b2 2 2a 2b 中等号成立的充要条件.
故答案为： a 1且b 1.
15．已知 a 0，b 1，且 a b 1 4，则 a b 的最小值为_________.
【答案】5
【详解】解：因为 a 0,b 1且 a(b 1) 4 ， a
4
，
b 1
a b 4 b 4则 b 1 4 1 2 b 1 1 5，
b 1 b 1 b 1
4
当且仅当 b 1，即b 3， a 2时取等号；
b 1
所以 a b 的最小值为5 .
故答案为：5 .
【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为 3m，占地面积为6m2，墙体 ABFE
和 DCGH 的造价均为 80 元/m2，墙体 ADHE 和 BCGF 的造价均为 120 元/m2，地面和房顶的造价共 2000
元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．
【答案】4880
6
【详解】设 AB x ， x 0，则BC ，
x
6 4320
则这个简易工作房总造价为 2 3x 80 2 3 120 2000 480x 2000 ，
x x
4320 4320
因为 480x 2000 2 480x 4320 2000 4880，当且仅当 480x ，即 x 3时等号成立，
x x x
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为 4880 元.
故答案为：4880.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若 f x ax2 (a 1)x 1， a R .
f x 0 1 ,1 (1)若 的解集为 4 ，求 a的值；
(2)当 a 0时，求关于 x 的不等式 f x 0 的解集.
2
【详解】(1)因为关于 x 的不等式 ax a 1 1 x 1 0 的解集为 ,14 ，则 a 0，
1 1 a 1 1 2
所以， 、1是方程ax a 1 x 1 0的解， 4 a
4
a 4 .
1 1
，解得
4 a
(2) f x ax 1 x 1 0 1， a 0，由 f x 0得 x 或1.
a
1 1 1
当 0 a 1时，1 ，原不等式的解为1 x ，原不等式的解集为
a a
x 1 x ；
a
1 1 1
当 a 1时， 1，不等式的解为 x 1，原不等式的解集为 x x 1 ；
a a a
当 a 1时，原不等式为 x 1 2 0，不等式的解集为 .
1
综上：当 0 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x ；
a
1
当 a 1时，原不等式的解集为 x x 1 ；
a
当 a 1时，原不等式的解集为 .
18．设函数 f (x) mx2 mx 1．
(1)若对于一切实数 x ， f (x) 0恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于 x 1,3 ， f (x) m 5恒成立，求实数m 的取值范围.
【详解】(1)由已知，mx2 mx 1 0对于一切实数 x 恒成立，
当m 0时， 1 0恒成立,符合题意，
m 0
当m 0 时，只需 ，解得 4 m 0 ，
Δ m
2 4m 0
综上所述，m 的取值范围是 ( 4， 0]；
(2)由已知，mx2 mx 1 m 5对 x [1，3]恒成立，
即m(x2 x 1) 6对 x [1，3]恒成立，
x2 x 1 (x 1 )2 3 6 0， m 对 x [1，3]2 恒成立，2 4 x x 1
6
令 g(x) x2 x 1，则只需m 即可，
g(x) min
而 g(x)在 x [1，3]上是单调递增函数，
6 6
g(x) [1，7]， [ ,6]
6
， m g(x) 7 ，7
6
所以m 的取值范围是 ( , ) .
7
19．如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，
且对角线 MN 过 C 点，已知 AB=3 米， AD=4 米．
(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 50 平方米，则 DN 的长应在什么范围？
(2)当 DN 的长为多少米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值．
【详解】(1)设 DN 的长度为 x x 0 DN DC 3 x 4米，则 AN x 4米，因为 ，所以 AM ，则
AN AM x
3 x 4 2 2 S AM AN 50，又 x>0，得：3x 26x 48 0 x 0,
8
6, .AMPN x 3
8
即 DN 的长的取值范围是： 0, 6, .
3
3 x 4 2 3x2(2) AMPN y 24x 48 3x 48矩形花坛 的面积 24 2 3x 48 24 48，当且仅当
x x x x
3x 48 x 4时，矩形花坛 AMPN 的面积最小，最小值为 48 平方米.
x
20．已知关于 x 的一元二次不等式 x2 2mx m 2 0的解集为 R .
(1)求实数m 的取值范围；
(2)求函数 y m
3
的最小值；
m 2
(3)解关于 x 2的不等式 x m 3 x 3m 0 .
2
【详解】(1)一元二次不等式 x2 2mx m 2 0的解集为R ，则 4m 4 m 2 0，解得 1 m 2 .
(2) y m 3 m 3 3 2 2 2 m 2 2 2 3 2，
m 2 m 2 m 2
3
当m 2 ，即m 3 2时等号成立.m 2
(3) x2 m 3 x 3m x 3 x m 0， m 1 3，
故解集为 , m 3,
21 2 2．已知当 4 x 1时，函数 f x ax 4ax a 1的最大值为 5，求实数 a的值.
【详解】 f x ax2 4ax a2 1 a x 2 2 a2 4a 1，
其图象的对称轴方程为 x 2 ，顶点坐标为 2,a2 4a 1 ，
图象开口方向由 a决定.
若 a 0，函数图象开口向下，如图所示，
当 x 2 2时，函数取得最大值，即 f 2 a 4a 1 5 ，
解得 a 2 10 或 a 2 10 （舍去）.故 a 2 10 .
若 a 0，函数图象开口向上，如图所示，
∵ 4 x 1，∴当 x 1时，函数取得最大值，即 f 1 5a a2 1 5，
解得 a 1或 a 6 （舍去），故 a 1 .
综上， a 2 10 或 a 1 .
22 2．求实数m 的范围，使关于 x 的方程 x 2 m 1 x 2m 6 0.
(1)有两个实根，且一个比 2大，一个比 2小；
(2)有两个实根 ， ，且满足0 1 4；
(3)至少有一个正根.
【详解】(1)设 y f x x2 2 m 1 x 2m 6．
依题意有 f 2 0，即 4 4 m 1 2m 6 0，得m 1．
(2)设 y f x x2 2 m 1 x 2m 6．
f 0 2m 6 0
7 5
依题意有 f 1 4m 5 0 ，解得 m ．
f 4
5 4
10m 14 0
(3)设 y f x x2 2 m 1 x 2m 6．
方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ 0 m 1或m 5
①有两个正根，此时可得 f 0 0 ，即 m 3 . 3 m 1．
2 m 1 0 m 1
2
②有一个正根，一个负根，此时可得 f 0 0，得m 3．
6 2m 0
③有一个正根，另一根为 0 ，此时可得 ， m 3． 2 m 1 0
综上所述，得m 1．
