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第十六章二次根式 全章热门考点聚集
2个概念及应用
考点01 二次根式的概念及应用
下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦是二次根式的有_________。（只填序号）
若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________。
若二次根式无意义，化简可得_____________。
若，则=______________。
当是多少时，在实数范围内有意义？
考点02 最简二次根式的概念及运用
下列各式是最简二次根式的是（ ）。
A. B. C. D.
若二次根式是最简二次根式，则最小得正整数的值为___________。
是整数，则正整数的最小值是（ ）。
A.4 B.5 C.6 D.7
若与最简二次根式可以合并，则__________。
5个性质
考点03 二次根式的非负性
若，则=____________。
若，则=___________。
已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简。
已知：满足。
求的值
以为边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由。
考点04
若，则化简的结果为（ ）。
A. B. C. D.
计算的结果是__________。
考点05
如果，那么的取值范围是（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
已知，当分别取1，2，3，...，2022时，所对应值的总和是___________。
考点06 积的算术平方根的性质
若，，则可以表示为（ ）。
A. B. C. D.
能使成立的所有整数的和是____________。
当时，化简为（ ）。
A. B. C. D.
考点07 商的算术平方根的性质
已知，则的取值范围是（ ）。
A. B. C. D.
划去下列根号内的分母，正确的是（ ）
A. B.=
C. D.
已知，且为偶数，则的值_____________。
2类运算
考点08 二次根式的加减乘除混合运算
24、（1）； （2）。
（3） （4）
25、把下列各式化成最简二次根式 （1） （2） （3）
26、计算（1） （2）
考点09 二次根式的化简求值
已知，。求（1）；（2）
28、 已知，，求下列代数式的值：
（1） （2）
1个应用
考点10 二次根式在实际问题中的综合应用
29、如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.2
C. D.6
30、电流通过导线时会产生热量，设电流是（安培），导线电阻为（欧姆），1秒产生的热量为（焦），根据物理公式，如果导线的电阻为5欧姆，1秒产生的热量为30焦，求电流的值。
31、教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一张面积为，另一张面积为。他想如果金彩带镶边会更加漂亮，他现在有1.2米长的彩带，请你帮他算一算，它的金彩带够用嘛？如果不够用，还需要买长的金彩带？（，结果保留整数）
1个技巧
考点11 二次根式比较大小的技巧
32、比较下列两个根式的大小
（1）与 （2）与
课堂笔记
二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。
注意：二次根式的两个必要条件：
①含二次根号“”；②被开方数是非负数。二者缺一不可。
课堂笔记
最简二次根式必须满足下列两个条件
（1）被开方数不含分母。
（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
课堂笔记
表示非负数的算术平方根，所以也是一个非负数，即：
（1）被开方数具有非负性，即，
（2）非负数的算术平方根也具有非负性，即.
课堂笔记：这里要注意的是公式成立的条件是。
课堂笔记：二次根式的实质是一个数的平方的算术平方根，所以=
课堂笔记
语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算数平方根的积。
课堂笔记
语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
课堂笔记
1、乘法法则：=（0，0）.
2、除法法则：=（0，>0）.
3、二次根式相加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。合并被开方数相同的二次根式，是将二次根式前面的数或式子相加减，根指数和被开方数都不变。
4、二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一致，运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或者先去括号）。
课堂笔记
二次根式化简求值时常用公式
平方差公式的字母表达式是。
完全平方公式的字母表达式是。
课堂笔记
比较二次根式大小的方法很多，主要有作差比较法、求商比较法、平方比较法、倒数比较法、分母有理化比较法等，比较时需要根据给出的式子的结构特征多角度地探索思考，灵活选用不同的比较方法。
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第十六章二次根式 全章热门考点聚集
2个概念及应用
考点01 二次根式的概念及应用
下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦是二次根式的有_________。（只填序号）
答案：①②⑦
若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________。
答案：2x-6>0，则x>3
若二次根式无意义，化简可得_____________。
答案：x<3，原式=4-x-7+x=-3
若，则=______________。
答案：-1002≥0，≥1002，则1001-<0。则原式为：-1001+=，化简得=1001，
则-1002=10012，所以-10012=1002。
当是多少时，在实数范围内有意义？
答案：由题意可得：解得，所以。
考点02 最简二次根式的概念及运用
下列各式是最简二次根式的是（ ）。
A. B. C. D.
答案：B
若二次根式是最简二次根式，则最小得正整数的值为___________。
答案：从“1”开始尝试，当x=2时原式=，是最简二次根式。所以的值为2。
是整数，则正整数的最小值是（ ）。
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：C；，所以当。
若与最简二次根式可以合并，则__________。
答案：可以和合并，所以3=+1，则=2。
5个性质
考点03 二次根式的非负性
若，则=____________。
答案：x=1，y=0；则2x+y=2
若，则=___________。
答案：由题意可知：解得。可知。
已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简。
答案：由三边关系定理，得，即。
===。
已知：满足。
求的值
以为边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由。
答案：解（1）根据题意，得，，，
∴， 解得.
（2）以为边长能否构成三角形。（可知）
因为，所以能够成三角形，所以该三角形得周长为。
考点04
若，则化简的结果为（ ）。
A. B. C. D.
答案：A
计算的结果是__________。
答案：-1
考点05
如果，那么的取值范围是（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
答案：D
已知，当分别取1，2，3，...，2022时，所对应值的总和是___________。
答案：（分类讨论思想）
当时，原式=。 ；
当时，原式=。
所以当分别取1，2，3，...，2022时，所对应值的总和是：。
考点06 积的算术平方根的性质
若，，则可以表示为（ ）。
A. B. C. D.
答案：C
能使成立的所有整数的和是____________。
答案：5
当时，化简为（ ）。
A. B. C. D.
答案：D
考点07 商的算术平方根的性质
已知，则的取值范围是（ ）。
A. B. C. D.
答案：C
划去下列根号内的分母，正确的是（ ）
A. B.=
C. D.
答案：C
已知，且为偶数，则的值_____________。答案：6
2类运算
考点08 二次根式的加减乘除混合运算
24、（1）；
答案：原式=
（2）。
答案：原式=
=
（3）
答案：原式=
（4）
答案：原式=
25、把下列各式化成最简二次根式 （1） （2） （3）
答案：（1） （2） （3）
26、计算（1） （2）
答案：（1） （2）
考点09 二次根式的化简求值
已知，。求（1）；（2）
答案：，
（1）原式=；
（2）原式=。
28、 已知，，求下列代数式的值：
（1） （2）
答案：由题意可知：,，
原式==4+2=6
原式==
1个应用
考点10 二次根式在实际问题中的综合应用
29、如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.2
C. D.6 答案：B
30、电流通过导线时会产生热量，设电流是（安培），导线电阻为（欧姆），1秒产生的热量为（焦），根据物理公式，如果导线的电阻为5欧姆，1秒产生的热量为30焦，求电流的值。
答案：由公式可知：(安培)
答：电流的值为5安培。
31、教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一张面积为，另一张面积为。他想如果金彩带镶边会更加漂亮，他现在有1.2米长的彩带，请你帮他算一算，它的金彩带够用嘛？如果不够用，还需要买长的金彩带？（，结果保留整数）
答案：镶壁画所需金彩带总长为
=
因为，所以小明的金彩带不够用。
.
答：小明还需要买的金彩带。
1个技巧
考点11 二次根式比较大小的技巧
32、比较下列两个根式的大小
（1）与 （2）与
答案：（1）> （2）>
课堂笔记
二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。
注意：二次根式的两个必要条件：
①含二次根号“”；②被开方数是非负数。二者缺一不可。
课堂笔记
最简二次根式必须满足下列两个条件
（1）被开方数不含分母。
（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
课堂笔记
表示非负数的算术平方根，所以也是一个非负数，即：
（1）被开方数具有非负性，即，
（2）非负数的算术平方根也具有非负性，即.
课堂笔记：这里要注意的是公式成立的条件是。
课堂笔记：二次根式的实质是一个数的平方的算术平方根，所以=
课堂笔记
语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算数平方根的积。
课堂笔记
语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
课堂笔记
1、乘法法则：=（0，0）.
2、除法法则：=（0，>0）.
3、二次根式相加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。合并被开方数相同的二次根式，是将二次根式前面的数或式子相加减，根指数和被开方数都不变。
4、二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一致，运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或者先去括号）。
课堂笔记
二次根式化简求值时常用公式
平方差公式的字母表达式是。
完全平方公式的字母表达式是。
课堂笔记
比较二次根式大小的方法很多，主要有作差比较法、求商比较法、平方比较法、倒数比较法、分母有理化比较法等，比较时需要根据给出的式子的结构特征多角度地探索思考，灵活选用不同的比较方法。
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