3.1.1
一、选择题
1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[答案] D
[解析] 自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( )
A．4＋4t0 B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t
[答案] C
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
5．函数y＝x＋在x＝1处的导数是( )
A．2 B.
C．1 D．0
[答案] D
[解析] Δy＝(Δx＋1)＋－1－1＝Δx＋，
＝1－，
＝ ＝1－1＝0，
∴函数y＝x＋在x＝1处的导数为0.
7．一个物体的运动方程是s＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A．3 B．4
C．5 D．7
[答案] B
[解析]
＝ ＝ (Δt＋4)＝4.
8．f(x)在x＝x0处可导，则 ( )
A．与x0，Δx有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
[答案] B
[解析] 式子 表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关．
二、填空题
12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．
[答案] 相等
[解析] v0＝ ＝
＝ ＝ ＝v.
3.1.2
一、选择题
1．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是( )
A．9 B．6
C．－3 D．－1
[答案] A
[解析] Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6Δx2＋Δx3，
＝9＋6Δx＋Δx2，
＝ (9＋6Δx＋Δx2)＝9，
由导数的几何意可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是9.
2．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
[答案] B
[解析] Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，
＝ (1－Δx＋Δx2)＝1，
∴曲线y＝x3－2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.
3．函数y＝－在点(，－2)处的切线方程是( )
A．y＝4x B．y＝4x－4
C．y＝4(x＋1) D．y＝2x＋4
[答案] B
[解析] Δy＝，＝， ＝4，
∴切线的斜率为4.∴切线方程为y＝4－2＝4x－4.
5．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
[答案] C
[解析] 由于对导数在某点处的概念及导数的几何意义理解不透彻，不能认真分析题中所给选项，事实上A、B是一样的．它们互为逆否命题，讨论的是“f′(x0)存在与否”与切线存在与否的关系，而在导数的几何意义中讨论的是“切线的斜率”与“f′(x0)”，得C是正确的，而A、B、D都是不正确的，可一一举例说明．
9．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标是( )
A．(0,1) B．(－1，－5)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(0,1)或(4,1)
[答案] C
[解析] k＝
＝
＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2＋1]
＝3x＋1＝4，
∴3x＝3，即x0＝±1，
∴点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
10．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
[答案] A
[解析] ∵y′|x＝1＝
＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
二、填空题
12．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
[答案] (2,4)
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，
y′|x＝x0＝
＝ ＝2x0－3＝1＝k，
故x0＝2，y0＝x＝4，故切点坐标为(2,4)．
13．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，x＝2所围成的三角形的面积为________．
[答案]
[解析] y′＝ ＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝××4＝.
三、解答题
16．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．
(1)求a的值；
(2)求切点的坐标．
[解析] 设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．
f′(x)＝
＝
＝3x2－2x.
由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.
于是切点的坐标为或(1,1)．
当切点为时，＝－＋a，a＝；
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
∴a的值为，切点坐标为(－，)．
[点评] 利用曲线在一点处的导数等于在这一点的切线的斜率，确定出切点．
3.2.1
一、选择题
2．若y＝cos，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D.
[答案] C
[解析] 常数函数的导数为0.
3．下列命题中正确的是( )
①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx
②若f′(x)＝0，则f(x)＝1
③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx
A．① B．②
C．③ D．①②③
[答案] C
[解析] 当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，
当f(x)＝2时，f′(x)＝0.
4．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )
A．1 B．0
C．2 D.
[答案] D
[解析] ∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
5．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.
7．y＝在点A(1,1)处的切线方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y－2＝0
[答案] A
[解析] ∵y′＝－，∴y′|x＝1＝－1.
∴y－1＝－1(x－1)，即x＋y－2＝0.
8．下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln2，则y′＝ ②y＝，则y′|x＝3＝－ ③y＝2x，则y′＝2xln2 ④y＝log2x，则y′＝
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错．
10．若y＝sinx，则y′|x＝＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] A
二、填空题
11．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是__________．
[答案] y＝x－1
[解析] ∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)
∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为：y＝x－1.
12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于____________．
[答案]
13．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
[答案] (2,1)
[解析] 设P(x0，y0)，
y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，
∴tan135°＝－1＝－8x.
∴x0＝2，y0＝1.
三、解答题
15．已知曲线C：y＝x3
(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程
(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其它公共点？
[解析] (1)∵y′＝3x2
∴切线斜率k＝3
∴切线方程y－1＝3(x－1)
即3x－y－2＝0
(2)由
∴(x－1)(x2＋x－2)＝0
∴x1＝1 x2＝－2
∴公共点为(1,1)及(－2，－8)
2.2.1
一、选择题
1．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
[答案] C
[解析] y′＝′＝
＝.
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] f′(x)＝3ax2＋6x，
∵f′(－1)＝3a－6，
∴3a－6＝4，∴a＝.
3．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为( )
A．4 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[解析] s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，
∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.
4．函数y＝(2＋x3)2的导数为( )
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x
[答案] A
[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.
5．下列函数在点x＝0处没有切线的是( )
A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx
C．y＝＋2x D．y＝
[答案] C
[解析] ∵函数y＝＋2x在x＝0处无定义，
∴函数y＝＋2x在点x＝0处没有切线．
6．函数y＝sin的导数为( )
A．－cos B．cos
C．－sin D．－sin
[答案] D
[解析] ∵y＝sincosx－cos·sinx
＝cosx－sinx，
∴y′＝(－sinx)－cosx＝－(sinx＋cosx)
＝－sin，故选D.
10．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
[答案] A
[解析] f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)＝x2＋x－2，
f′(x)＝2x＋1，f′(1)＝3.
二、填空题
11．若函数f(x)＝，则f′(π)________________．
[答案]
[解析] f′(x)＝
＝，
∴f′(π)＝＝.
12．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是____________．
[答案]
[解析] 由得交点为(1,1)，
y′＝′＝－，y′＝(x2)′＝2x，
∴曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为x＋y－2＝0，
曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为2x－y－1＝0，
两切线与x轴所围成的三角形的面积为.
13．设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，则f(x)＝________.
[答案] xsinx＋cosx
[解析] ∵f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.
为使f′(x)＝xcosx，应满足
解方程组，得
从而可知，f(x)＝xsinx＋cosx.
14．设f(x)＝lna2x(a>0且a≠1)，则f′(1)＝________.
[答案] 2lna
[解析] ∵f(x)＝lna2x＝2xlna，
∴f′(x)＝(2xlna)′＝2lna(x)′＝2lna，故f′(1)＝2lna.
3.3.1
一、选择题
2．函数f(x)＝2x2－lnx的单调递增区间是( )
A．(0，) B．(0，)
C．(，＋∞) D．(－，0)及(0，)
[答案] C
[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－，令f′(x)>0，得x>，
∴函数f(x)在上单调递增．
3．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 考查导数的简单应用．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
[答案] A
[解析] f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，即a≤0.
6．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] f′(x)＝－3x2＋a≤0，∴a≤3x2.
∴a≤3.
7．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)上单调递减的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
8．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则( )
A．b≤2 B．b＜2
C．b≥2 D．b＞2
[答案] A
[解析] 函数y＝x2－2bx＋6的对称轴为x＝b，要使函数在(2,8)内是增函数，应有b≤2成立．
9．(2009·湖南文，7)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
[答案] A
[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．
∵导函数f′(x)是增函数，
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，
故选A.
[点评] B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．
10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
[答案] D
[解析] 函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增，再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正，再负，再正，排除B，故选D.
二、填空题
11．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．
[答案] (－∞，－)，(1，＋∞)
[解析] ∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
∴由y′>0得，x>1或x<－.
12．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．
[答案] m≥
[解析] 因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上单调，所以f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f(x)在R上只能递增，∴Δ＝4－12m≤0.∴m≥.
14．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围________．
[答案] a>0
[解析] y′＝－4x2＋a，若y＝－x3＋ax有三个单调区间，则方程－4x2＋a＝0应有两个不等实根，故a>0.
三、解答题
15．讨论函数f(x)＝(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
[解析] ∵f(x)＝(－1
∴f′(x)＝
＝＝
∵－10，(x2－1)2>0，
①当b>0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递减．
②当b<0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
3.3.2
一、选择题
1．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
3．函数y＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值也有极小值
[答案] D
[解析] y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，
当x>0或x<－时，y′<0，
当－0，
∴当x＝－时取极小值，当x＝0时取极大值．
4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )
A．①④ B．②④
C．①② D．③④
[答案] B
7．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，
所以f(x)max＝f＝.
8．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值为0
[答案] A
[解析] 由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3③
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f′(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，f＝，f(1)＝0.
10．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( )
A．(a，b)
B．(a，c)
C．(b，c)
D．(a＋b，c)
[答案] A
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意，知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，1－1＝－，b＝0.
二、填空题
13．函数y＝x－x3(x∈[0,2])的最小值是________．
[答案] －6
[解析] y′＝1－3x2，令y′＝0，得x＝±，
f(0)＝0，f(2)＝－6，f＝－，
f＝－3＝－＝，
∴最小值为－6.
14．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．
[答案] 6
[解析] f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，
f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.
当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；
当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)
＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．
三、解答题
15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数的递减区间；
(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
1
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值f(－1)
减
极小值f(3)
增
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.
18．(2010·江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)－ax(a>0)．(提示：[ln(2－x)]′＝－)
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为，求a的值．
[分析] 所给函数的非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性．及函数定义域的确定．
[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a，
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
3.4
一、选择题
2．某箱子的容积与底面边长的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40
C．50 D．以上都不正确
[答案] B
3．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[解析] 设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(04．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R B．2R
C.R D.R
[答案] C
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，
∴V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R，
当00；当R因此当h＝R时，圆锥体积最大，故应选C.
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
[答案] D
6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )
A．h＝2R B．h＝R
C．h＝R D．h＝
[答案] A
7．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
[答案] C
[解析] 如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.
8．设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为( )
A. B.
C. D．2
[答案] D
[解析] 设底面圆半径为x，高为h，则V＝πr2h，
∴h＝.∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋.
∴S表′＝4πr－，∴V＝，
又当x∈(0，)时，S表′<0；当x∈(，V)时，S表′>0，∴当r＝时，表面积最小．
9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
[答案] C
[解析] 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f′(x)min＝－1.
10．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
[答案] A
[解析] 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·
＝4π·r·r＝2πr2.
二、填空题
11．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．
[答案] 15cm 15cm
[解析] 设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大．
12．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2?1及3?2的矩形，则面积之和的最小值为________．
[答案] l2
[解析] 设前者宽为x，面积之和为y，则
y＝2x·x＋(l－6x)·(l－6x)
＝x2－lx＋l2，
y′＝x－l，令y′＝0得，x＝l，
∴ymin＝l2.
13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．
[答案] 4
[解析] 设底面边长为x，则高为h＝，其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝＝4时S取得最小值．
14．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．
[答案] 3
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴当R＝3时，S表最小．
．
17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
[解析] 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)
则L(x)＝500x－2500－C(x)
＝500x－2500－
＝300x－x3－2500(x∈N)
令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)
又当0≤x<60时，L′(x)>0
x>60时，L′(x)<0
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)＝9500元．
3章末
1．已知函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋(3m＋6)x＋1，其中m<0.当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
[解析] f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋3m＋6.
由题意可知：当x∈[－1,1]时，f′(x)>3m恒成立．
所以mx2－2(m＋1)x＋2>0在x∈[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝mx2－2(m＋1)x＋2，则g(x)>0在x∈[－1,1]上恒成立．
又因m<0，故解得－即：m的取值范围是.
[点评] 本题通过导数与切线斜率的关系，将其转化为恒成立问题，通过构造函数转化为一元二次函数恒大于0.
2．a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，求a的取值范围．
[解析] f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判别式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2.
(1)若Δ＝12－8a2≤0，即a≤－或a≥，此时f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a≤－或a≥符合题意．
(2)若Δ＝12－8a2>0，即－解得1≤a<3，又因为－[点评] 利用导数与单调性的关系，将其转化为二次函数问题．
3．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
[解析] (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
4．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
[分析] 建立函数模型，用导数求最值的方法求解．
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，
∵x>0，∴当P′(x)＝0时，x＝12，
∴当00，
当x>12时，P′(x)<0，
∴x＝12时P(x)有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275
＝－30(x－1)2＋3305.
所以，当x≥1时，MP(x)单调递减．
所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少．
第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知二次函数y＝ax2＋(a2＋1)x在x＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] y′＝2ax＋a2＋1，∵y′|x＝1＝2a＋a2＋1＝1，
∴a2＋2a＝0，a＝0或a＝－2，
又∵a≠0，a＝－2，y＝－22＋，
∴函数的最大值为，故选B.
2．曲线y＝x3的切线中斜率等于1的直线( )
A．不存在
B．存在，有且仅有一条
C．存在，有且恰有两条
D．存在，但条数不确定
[答案] C
[解析] y′＝(x3)′＝3x2，令3x2＝1，得x＝±，
切点为或，故选C.
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
[答案] A
[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．
因为y′＝4x3，由y′＝4得x＝1.而x＝1时y＝1，故l方程为4x－y－3＝0.
4．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2)
D．[2，＋∞)
[答案] B
[解析] 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f′(x)<0，故单调递减．
5．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x的单调区间为( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(0，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[答案] A
[解析] f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)
＝3(x＋1)2≥0对x∈R恒成立，
所以f(x)＝x3＋3x2＋3x在R上为增函数，故选A.
6．若对于任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为( )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x4＋1
D．f(x)＝x4＋2
[答案] B
[解析] 把答案代入验证，排除A、C、D，故选B.
7．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为( )
A．20 B．9 C．－2 D．2
[答案] C
[解析] 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，
∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，
又点(2，－1)在抛物线上，
∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.
8．已知f(x－1)＝2x2－x，则f′(x)等于( )
A．4x＋3 B．4x－1 C．4x－5 D．4x－3
[答案] A
[解析] ∵f(x－1)＝2x2－x，令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝2(t＋1)2－(t＋1)＝2t2＋3t＋1，
∴f(x)＝2x2＋3x＋1，∴f′(x)＝4x＋3，故选A.
9．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4
B．－4C．2D．以上皆不正确
[答案] D
[解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，
由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，
∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)
＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28
＝4(m2－6m＋8)≤0，
∴2≤m≤4，故选D.
10．函数f(x)＝x2＋(2－a)x＋a－1是偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是( )
A．y＝2x
B．y＝－2x＋4
C．y＝－x
D．y＝－x＋2
[答案] A
[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f(x)为偶函数得a＝2，即f(x)＝x2＋1，从而f′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y＝2x.
11．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的( )
[答案] D
[解析] 由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.
12．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴，直线x＝π所围成的三角形的面积为( )
A. B．π2
C．2π2 D.(2＋π)2
[答案] A
[解析] y＝xsinx在处切线为y＝－x，所围成的三角形面积为.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
令f′(x)>0得x>a或x<－a，
令f′(x)<0得－a∴当x＝－a时，f(x)取极大值f(－a)＝2a3＋a，
∵a>0，∴2a3＋a>0，
当x＝a时，f(x)取极小值f(a)＝a－2a3，
由题意得a－2a3<0，
又a>0，∴1－2a2<0，∴a>.
14．若函数f(x)＝的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
[答案] a≥0
[解析] f′(x)＝′＝a＋，
由题意得，a＋≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0.
15．曲线y＝－x3－2在点处的切线的倾斜角为________．
[答案] 135°
[解析] y′|x＝－1＝－1，所以k＝－1，即倾斜角为135°.
16．函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－2,1)
[解析] 由于f′(x)＝－x2＋1.易知(－∞，－1)上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减．故若函数在(a,10－a2)上存在最大值条件为所以－2≤a<1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知曲线y＝上两点P(2，－1)、Q(－1，)．
求：(1)曲线在点P处，点Q处的切线斜率；
(2)曲线在点P、Q处的切线方程．
[解析] ∵－1＝，
∴t＝1 ∴y＝，
∴y′＝.
(1)当P为切点时，k1＝y′|x＝2＝1，
当Q为切点时，k2＝y′|x＝－1＝.
(2)当P为切点时，方程为x－y－3＝0；
当Q为切点时，x－4y＋3＝0.
18．(本题满分12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．
[解析] 显然a≠0(否则f(x)＝b与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]得，x＝0.
(1)当a>0时，列表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
增
极大值b
减
由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，
f(x)在[0,2]上是减函数．
且当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，
∵a>0，∴f(－1)>f(2)，
从而f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，用类似的方法可判断当x＝0时，f(x)有最小值，当x＝2时，f(x)有最大值，
从而f(0)＝b＝－29，f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.
综上，a＝2、b＝3或a＝－2、b＝－29.
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋bx(a，b为常数)在x＝1和x＝4处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－2,2]时，y＝f(x)的图象在直线5x＋2y－c＝0的下方，求c的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝x2＋(a－1)x＋b.
由题设知
解得
所以f(x)＝x3－x2＋4x.
(2)由题设知f(x)<－(5x－c)，
即c>x3－5x2＋13x.
设Q(x)＝x3－5x2＋13x，x∈[－2,2]，所以c只要大于Q(x)的最大值即可．Q′(x)＝2x2－10x＋13，当x∈(－2,2)时Q′(x)>0.
所以Q(x)max＝Q(2)＝，所以c>.
20．(本题满分12分)(2010·陕西文，21)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．
f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
由已知得解得a＝，x＝e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
∴切线的方程为y－e＝(x－e2)．
21．(本题满分12分)已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m、n∈R，m<0.
(1)求m与n的关系表达式．
(2)求f(x)的单调区间．
[解析] (1)f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋n，
∵x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，∴f′(1)＝0，∴3m－6(m＋1)＋n＝0，
∴n＝3m＋6.
(2)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋n
＝3mx2－6(m＋1)x＋3m＋6
＝3(x－1)[mx－(m＋2)]＝3m(x－1)
＝3m(x－1).
∵m<0，∴1＋<1，
令f′(x)>0，得3m(x－1)>0，
∴(x－1)<0，∴1＋故函数f(x)的单调增区间为，
令f′(x)<0，得3m(x－1)<0，
∴(x－1)>0，∴x>1或x<1＋，
故函数f(x)的单调减区间为和(1，＋∞)．
22．(本题满分14分)若t为大于－2的常数，求函数f(x)＝x3－3x在区间[－2，t]上的最值．
[解析] 对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，知f(x)在区间[－2，－1]，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减．
①当t∈(－2，－1)时，f(x)在区间[－2，t]上单调递增．
所以f(x)min＝f(－2)＝－2，f(x)max＝f(t)＝t3－3t.
②当t∈[－1,1]时，f(x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，t)上单调递减．由f(t)≥f(1)＝－2＝f(－2)知f(x)min＝f(－2)＝－2，f(x)max＝f(－1)＝2.
③当t∈(1，＋∞)时，f(x)在区间(－2，－1)上递增，在区间(－1,1)上递减，在(1，t)上递增，所以f(x)的最小值为f(－2)，f(1)中较小者．
因为f(－2)＝f(1)＝－2，所以f(x)min＝－2.
令f(t)＝2，即t3－3t－2＝0○?，据f(－1)＝2知t＝－1是○?式的一个根．所以t3－3t－2＝(t＋1)(t2－t－2)＝(t＋1)2(t－2)，所以t＝2也为○?式的根，即f(2)＝2.由f(x)的单调性知，当t∈(1,2]时，f(x)max＝f(－1)＝2，当t∈(2，＋∞)时，f(x)max＝f(t)＝t3－3t.
综上，f(x)min＝－2.
f(x)max＝
[点评] 利用导数求最值，关键是极值点与端点值比较，最大的为f(x)最大值，最小的为f(x)最小值．本题按照导数为0的点与区间的位置关系进行讨论．进而对最值情况展开讨论．
