1.1.1
一、选择题
3．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 只有②中的命题是真命题．
5．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
[答案] B
4．(2008·湖南高考)设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，真命题是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
[答案] D
[解析] 考查线面平行的位置关系．
7．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|>|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] C
[解析] 因为b、c不是共线向量，所以①是假命题．
②中的命题为假命题．
∵[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，
∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直，所以③中的命题是真命题．由(3a＋2b)(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2知④中的命题为真命题．
∴选C.
8．下列命题是真命题的有( )
①没有一个无理数不是实数
②空集是任何一个非空集合的真子集
③1＋1<2
④至少存在一个整数x，x2－x＋1是整数
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
[答案] C
[解析] ①的意思为无理数都是实数，②显然正确，④中，只要找到这样的一个整数即可，命题也正确．
9．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l?α，m?β，有如下两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β，那么( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
[答案] D
[解析] 易判断①②都假，故选D.
10．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)为圆O1：x2＋y2＝9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ①∵a≥b>－1，∴a＋1≥b＋1>0，
－＝≥0.∴≥.
②∵正整数m、n且m≤n，
∴≤＝.
③圆O1上的点到圆O2的圆心的距离为1，两圆不一定相切．
二、填空题
12．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
[答案] ③ ①②④⑤
[解析] 对假命题，举反例即可．
对于③，x≤3即x＝3或x<3，故正确．
13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题；如果函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
[答案] 本题答案有几种情况，如①x轴，－3－log2x；②y轴，3＋log2(－x)；③原点，－3－log2(－x)；④直线y＝x,2(x－3)等(答案不唯一)
14．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－3,0]
[解析] ax2－2ax－3≤0恒成立，即当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，，解得－3≤a<0.
∴－3≤a≤0.
1.1.2
一、选择题
1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案] B
[解析] 考查命题与它的逆命题之间的关系．
原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.
3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
[答案] A
[解析] 否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A.
4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
[答案] C
[解析] 特例：
p：若∠A＝∠B，则a＝b
r：若∠A≠∠B，则a≠b
s：若a≠b，则∠A≠∠B
t：若a＝b，则∠A＝∠B.
5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
[答案] D
[解析] 原命题为真，故逆否命题为真．
7．设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b?β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b
C．b?β，则b⊥α，则β⊥α
D．b?α，c?α，若c∥α，则b∥c
[答案] C
[解析] C选项的逆命题为“设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，b?β，若β⊥α，则b⊥α”，这个命题是假命题，b与α的位置关系除垂直外，还可能b与α相交或b∥α.
8．与命题“若m∈M，则n?M”等价的命题是( )
A．若m∈M，则n?M
B．若n?M，则m∈M
C．若m?M，则n∈M
D．若n∈M，则m?M
[答案] D
[解析] 原命题与逆否命题等价．
9．有下列四个命题：
(1)“若x－y＝0，则x，y为相等的实数”的逆命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x>5，则x2－3x－10>0”的否命题；
(4)“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] (1)逆命题“x，y为相等实数，则x－y＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假．(3)否命题“若x≤5，则x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.为假命题．(4)逆命题“若a、b是无理数，则ab也是无理数”，假如a＝()，b＝，则ab＝2是有理数．
10．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
[答案] A
[解析] 因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
二、填空题
11．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．
[答案] 真
12．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．
[答案] 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.
13．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．
[答案] 假
[解析] 如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．
14．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”．
(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．
(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．
[答案] (1)偶数一定是末位是2的整数．
(2)不是整数的数就不是有理数．
(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
1.2
一、选择题
1．设a、b∈R，那么ab＝0的充要条件是( )
A．a＝0且b＝0
B．a＝0或b≠0
C．a＝0或b＝0
D．a≠0且b＝0
[答案] C
[解析] 由ab＝0，知a、b至少有一个为0.
2．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
[答案] B
[解析] 命题p：(x－1)(y－2)＝0?x＝1或y＝2.
命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2.
由q?p成立，而由p?/ q成立．
3．(2009·四川文，7)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件．
[答案] B
[解析] 本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念．
由a－c>b－d变形为a－b>c－d，
因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，
∴a－c>b－d?a>b.
而a>b并不能推出a－c>b－d.
所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．故选B.
4．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点，
若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.
5．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；
当，即00的解集为R.
综上，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R时，0≤a<1，故选B.
6．(2010·浙江文，6)设0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 本题考查了充要条件及不等式关系．
∵0∴0则x·sinx<1?x·sin2x<1成立，故选B.
7．设集合M＝{x|x>a}，P＝{x|xA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 先分别求出适合条件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．
由已知可得x∈M或x∈P，得{x|xa}，x∈M∩P，即{x|xa}＝?.∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．
8．在△ABC中，sinA>sinB是A>B的________条件( )
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
[答案] C
[解析] 在△ABC中，A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB，故A>B是sinA>sinB的充要条件，故选C.
9．下列命题中的真命题是( )
A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
B．“A∩B≠?”是“AB”的充要条件
C．“b2－4ac<0”是一元二次不等式“ax2＋bx＋c>0的解集为R”的充要条件
D．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
[答案] D
[解析] 对于A，“x>2且y>3”?“x＋y>5”，但“x＋y>5”未必能推出“x>2且y>3”，如x＝0且y＝6满足“x＋y>5”但不满足“x>2”，故A假．对于B，“A∩B≠?”未必能推出“AB”．如A＝{1,2}，B＝{2,3}．故B为假．对于C，“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R”的充要条件是假命题，如一元二次不等式－2x2＋x－1>0的解集为?，但满足b2－4ac<0.对于D，是真命题，因为“一个三角形的三边满足勾股定理”能推出“此三角形为直角三角形”，条件不仅是必要的，也是充分的，故是充要的．
10．(2009·湖北文，3)“sinα＝”是“cos2α＝”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式．
∵cos2α＝1－2sin2α＝，
∴sinα＝±，
∴sinα＝?cos2α＝，但cos2α＝? sinα＝，
∴“sinα＝”是“cos2α＝”的充分而不必要条件．
二、填空题
11．若x∈R，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值恒为正的充要条件是______，恒为负的充要条件是______．
[答案] a>0且b2－4ac<0
a<0且b2－4ac<0
12．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，
但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.
1.3.1
一、选择题
3．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[答案] C
[解析] 命题“p且q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点P既在直线y＝2x－3上，又在直线y＝－3x＋2上，即点P是这两条直线的交点．
5．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．不都是0
[答案] A
[解析] xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
6．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.
7．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )
A．“p∨q”为假
B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真
D．以上都不对
[答案] B
[解析] 命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．
8．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p，q都是假命题
C．命题p，q只有一个是真命题
D．命题p，q至少有一个是真命题
[答案] C
[解析] “p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q中只有一个为真命题，故选C.
10．下列命题：
①2>1或1<3；
②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；
③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；
④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．
二、填空题
11．p：ax＋b>0的解集为x>－
q：(x－a)(x－b)<0的解为a则p∧q是________命题(填“真”或“假”)
[答案] 假
[解析] 命题p与q都是假命题．
13．已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”“p且q”形式的命题中真命题有________个．
[答案] 1
[解析] 命题p正确，命题q错误，故“p或q”为真，“p且q”为假．
14．分别用“p∧q”“p∨q”填空．
(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式．
(2)命题“5小于或等于7”是________形式．
(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．
[答案] (1)p∧q (2)p∨q (3)p∨q
17．已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：0[解析] 由x2－5x＋6≥0得x≥3或x≤2.
∵命题q为假，∴x≤0或x≥4.
则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤0或x≥4}．
∴满足条件的实数x的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
1.3.2
一、选择题
1．如果原命题的结构是“p且q”的形式，那么否命题的结构形式为( )
A．?p且?q B．?p或?q
C．?p或q D．?q或p
[答案] B
[解析] “且”的否定形式为“或”．
2．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
[答案] B
[解析] “p或q”的否定是：“?p且?q”是真命题，则?p、?q都是真命题，故p、q都是假命题．
4．对命题p：A∩?＝?，命题q：A∪?＝A，下列说法正确的是( )
A．p且q为假
B．p或q为假
C．非p为真
D．非p为假
[答案] D
[解析] 命题p真，命题q真，故p且q真，p或q真，非p假，非q假，故选D.
5．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或?q是真命题；
②p且?q是真命题；
③?p且?q是假命题；
④?p或q是假命题．
其中真命题是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
[答案] C
[解析] 若p且q为真命题，则p真，q真，?p假，?q假，
所以p或?q真，?p且?q假，故选C.
6．如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则( )
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题p和命题“非q”真值相同
[答案] D
[解析] “p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一个真一个假，故命题p和命题“非q”真值相同．
8．已知全集为R，A?R，B?R，如果命题p：x∈A∩B，则“非p”是( )
A．x∈A B．x∈?RB
C．x?(A∪B) D．x∈(?RA)∪(?RB)
[答案] D
[解析] 由韦恩图可知选D.
二、填空题
13．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1[答案] p∨q，?p
[解析] ∴?x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假，?p为真；
∵≤0??1∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，?q为假．
14．已知命题p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，命题q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，那么p∧q：____________________________________________________，其真假是________；p∨q：________________________________________，其真假是________．
[答案] 方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3 假命题
方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3 真命题
[解析] ∵p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，
q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，
∴p∧q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为假命题．
p∨q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为真命题．
1.4
一、选择题
3．(2009·辽宁文，11)下列4个命题
p1：?x∈(0，＋∞)，x<x
p2：?x∈(0,1)，logx>logx
p3：?x∈(0，＋∞)，x>logx
p4：?x∈，x其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[答案] D
[解析] 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D.
5．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使 x2＋2x＋m>0
C．对于任意的x∈Z都有x2＋2x＋m≤0
D．对于任意x∈Z都有x2＋2x＋m>0
[答案] D
[解析] “不存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”等价于对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0.
6．命题p：?x>1，log2x>0，则非p是( )
A．?x>1，log2x≤0
B．?x≤1，log2x>0
C．?x>1，log2x≤0
D．?x≤1，log2x>0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题．
8．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )
A．a＋b>2
B．(a－b)＋≥2
C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca
D．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|
[答案] B
[解析] 本题考查有关均值不等式成立的条件问题，对于B项当a－b<0时有－(a－b)＋≥2，所以(a－b)＋≤－2.
10．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
[答案] A
[解析] (2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4，
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋)4(－2＋)4＝(－1)4＝1.这是一个恒成立问题，属于全称命题，即当x∈R时，恒有原式成立，所以不妨采用赋值法解之．
二、填空题
14．(2010·安徽文，11)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案] 对?x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
[解析] 该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．
三、解答题
18．若方程log2(ax2－2x＋2)＝2在内有解，求实数a的取值范围．
[解析] 方程log2(ax2－2x＋2)＝2在内有解．
即方程ax2－2x＋2＝4在内有解．
即ax2－2x－2＝0在内有解．
方程ax2－2x－2＝0可化为a＝＝＋＝22－
令t＝22－，当x∈时，t∈.
∴要使原方程在x∈内有解，a∈.
1章章末
1．判断下列命题的真假
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解析] (1)真命题 (2)真命题 (3)假命题
2．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．
[解析] 设方程的两根为x1、x2，使x1、x2都大于1的充要条件是
即
由韦达定理，得解得k<－2.
所以所求的充要条件为k<－2.
3．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是[解析] ∵|x－m|<1解得m－1由题意?(m－1，m＋1)
∴且等号不同时取得，
∴－≤m≤
∴实数m的取值范围是.
4．已知命题p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若綈p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] 綈p：x>10或x<－2，记A＝{x|x>10或x<－2}
q：x2－2x＋1－a2≥0 [x－(1－a)][x－(1＋a)]≥0
∵a>0，∴1－a<1＋a解得x≥1＋a或x≤1－a
记B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}
∵綈p是q的充分不必要条件，∴A?B
即且等号不同时成立，∴0∴实数a的取值范围(0,3]
第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p：任意x∈R，sinx≤1，则它的否定是( )
A．存在x∈R，sinx≥1
B．任意x∈R，sinx≥1
C．存在x∈R，sinx>1
D．任意x∈R，sinx>1
[答案] C
[解析] 全称命题的否定为特称命题，故选C.
2．两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C0＝0垂直的充要条件是( )
A．A1A2＋B1B2＝0
B．A1A2－B1B2＝0
C.＝－1
D.＝1
[答案] A
3．设M、N是两个集合，则“M∪N≠?”是“M∩N≠?”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由韦恩图易知“M∪N≠?”?/ “M∩N≠?”，且“M∩N≠?”?“M∪N≠?”，本题既考查了对集合中交集、并集概念的理解，又考查了对充分条件、必要条件等概念的掌握情况．
4．命题p：x＝π是y＝|sinx|的一条对称轴，命题q：2π是y＝|sinx|的最小正周期，下列新命题：①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q.其中真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 由题意知p真q假，则①④为真命题，故选C.
5．(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，lgx＝0
B．?x∈R，tanx＝1
C．?x∈R，x3＞0
D．?x∈R,2x＞0
[答案] C
[解析] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断．
对于选项C，?x∈R，x3≤0是真命题，故C是假命题．
6．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A?B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] “若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A?B”为假，故其逆否命题为假．
7．B＝60°是△ABC三个内角A、B、C成等差数列的( )
A．充分而不必要条件
B．充要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，
∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；
若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.
8．“a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝－1时，方程为x2＋y2－2x－1＝0，
即(x－1)2＋y2＝2，
若a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则应满足
，解得a＝－1，故选C.
9．下列语句是命题的个数为( )
①空集是任何集合的真子集；
②x2－3x－4＝0；
③3x－2>0；
④把门关上；
⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] ①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．
②③是开语句，不是命题．
④是祈使句，不是命题．
⑤是疑问句，不是命题．
故只有①是命题，应选A.
10．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题的个数是( )
A．0 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 原命题为真，逆命题为假，故逆否命题为真，否命题为假，所以真命题有两个．
11．下列命题为特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
[答案] D
[解析] A、B、C三个答案中都含有“所有”这个全称量词，只有D答案中有存在量词“存在”．
12．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是xA．p或q为真命题
B．p且q为假命题
C．綈p且q为真命题
D．綈p或綈q为真命题
[答案] A
[解析] 命题p：当a>1时Δ＝4－4a<0，即x2＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：当a>1时|x|<1?－1二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切的一个充分非必要条件是________．
[答案] D＝0，E≠0，F＝0
14．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________．
[答案] 圆的切线到圆心的距离等于圆的半径
15．条件p：|x＋1|>2；条件q：>1，则?p是?q的________条件．
[答案] 充分不必要条件
[解析] p：|x＋1|>2，x＋1>2或x＋1<－2，∴x>1或x<－3；
q：>1，>0，(x－2)(x－3)<0，∴2?p：－3≤x≤1；?q：x≥3或x≤2.
?p??q，而?q?/ ?p.
16．给出下列四个命题：
①若命题p：“x>2”为真命题，则命题q：“x≥2”为真命题；
②y＝2－x(x>0)的反函数是y＝－log2x(x>0)；
③在△ABC中，sinA>sinB的充要条件是A>B；
④平行于同一平面的两直线平行．
其中所有正确命题的序号是________．
[答案] ①③
[解析] y＝2－x(x>0)的反函数为y＝－log2x(0a∥α，b∥α，而a与b不平行，④错误；
在△ABC中，A>B?a>b?2RsinA>2RsinB.
(2R为△ABC外接圆直径)?sinA>sinB，故③正确；x>2为真，x≥2为真，故①正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)写出命题：“若x2＋x≤0，则|2x＋1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解析] 逆命题：若|2x＋1|<1，则x2＋x≤0，为真；
否命题：若x2＋x>0，则|2x＋1|≥1，为真．
逆否命题：若|2x＋1|≥1，则x2＋x>0，为假．
18．(本题满分12分)“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若p则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假．
[解析] “若p则q”形式：
“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”
逆命题：“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假．
否命题：“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假．
逆否命题：“若一个四边形的对角线不垂直，则它不是菱形”，真．
19．(本题满分12分)证明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[证明] 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．
所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，所以ac<0.
充分性：由ac<0，可推得b2－4ac>0，及x1x2＝<0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[点评] 证明充要条件，即证明原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．
20．(本题满分12分)已知p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；q：a≥1.如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．
[解析] 由p真可知，解得a>2，
由p∨q为真，p∧q为假知，p和q中一个为真、一个为假．
若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2.
综上，实数a的取值范围是1≤a≤2.
21．(本题满分12分)(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？若存在，求出p的取值范围．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？若存在，求出p的取值范围．
[解析] (1)由4x＋p<0?x<－.
x2－x－2>0?x>2或x<－1，
依题意必须有：
－≤－1?p≥4.
∴当p≥4为实数时，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．
(2)∵当x>2时，找不到任何一个p使x<－p，
∴不存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的必要条件．
22．(本题满分14分)已知数列{an}的前n项的和为Sn＝(n＋1)2＋t，
(1)证明：t＝－1是{an}成等差数列的必要条件；
(2)试问：t＝－1时，{an}是否成等差数列．
[解析] (1)证明：∵an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2＋t－(n－1＋1)2－t＝2n＋1 (n≥2)，∵{an}为等差数列，
∴a1＝3＝S1＝4＋t，∴t＝－1.
∴t＝－1是{an}成等差数列的必要条件．
(2)当t＝－1时，
Sn＝(n＋1)2－1，
an＝Sn－Sn－1＝2n＋1 (n≥2)，
d＝an－an－1＝2.而a1＝S1＝3也满足上式．
∴t＝－1时，{an}成等差数列．
