【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修1-1综合素质检测试题

选修1－1综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2009·天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(　　)
A．不存在x0∈R,2x0>0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
[答案]　D
[解析]　特称命题的否定为全称命题，故选D.
2．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p与q的复合命题的真假是(　　)
A．“p∨q”假　　　　　　 B．“p∧q”真
C．“?q”真 D．“p∨q”真
[答案]　D
[解析]　p假，q真，故“p∨q”真．
3．已知抛物线x2＝4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．16 B．6
C．12 D．9
[答案]　D
[解析]　如图，
过点A作准线的垂线，B为垂足，与抛物线交于一点P，则点P为所求的点，|PA|＋|PF|的最小值为|AB|的长度．
4．如果双曲线经过点(6，)，且它的两条渐近线方程是y＝±x，那么双曲线方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D.－＝1
[答案]　C
[解析]　设双曲线方程为＝λ将点(6，)代入求出λ即可．答案C.
5．设f(x)可导，且f′(0)＝0，又 ＝－1，则f(0)＝(　　)
A．可能不是f(x)的极值
B．一定是f(x)的极值
C．一定是f(x)的极小值
D．等于0
[答案]　B
[解析]　由 ＝－1，故存在含有0的区间(a，b)使当x∈(a，b)，x≠0时，<0，于是当x∈(a,0)时，f′(x)>0；当x∈(0，b)时，f′(x)<0，这样f(x)在(a,0)上单增，在(0，b)上单减．
6．下列判断不正确的是(　　)
A．命题“若p则q”与“若?q则?p”互为逆否命题
B．“am2C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假
D．命题“??{1,2}或4∈{1,2}”为真
[答案]　B
[解析]　am2例如：m＝0时．
7．(2010·广东文，8)“x＞0”是“＞0”成立的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
[答案]　A
[解析]　本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出>0，而>0?|x|>0?x≠0，不能推出x>0，故选A.
8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是(　　)
A．12，－15 B．5，－15
C．5，－4 D．－4，－15
[答案]　B
[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．
列表如下：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
5
?
极小值－15
?
－4
由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是(　　)
A．－1C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，令f′(x)＝0，
即3x2＋2ax＋a＋6＝0，
由题意，得Δ＝4a2－12(a＋6)＝4(a2－3a－18)＝4(a－6)(a＋3)>0，
∴a>6或a<－3，故选C.
10．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[答案]　B
[解析]　本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点(，)，
∴＝2，
①－②得y－y＝2p(x1－x2)?＝＝，∴kAB＝1＝?p＝2，∴y2＝4x，∴准线方程式为：x＝－1，故选B.
11．设F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是(　　)
A．1 B.
C．2 D.
[答案]　A
[解析]　∵||PF1|－|PF2||＝4(a>0)，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16a，
又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20a，
∴|PF1|·|PF2|＝2a，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝a＝1.
12．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是(　　)
A．①② B．③④
C．①③ D．①④
[答案]　B
[解析]　二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．
[答案]　a＋b＋1<0
[解析]　实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a＋b＋1<0.
14．使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围为______．
[答案]　a≥1
[解析]　y′＝cosx＋a≥0在R上恒成立，
∴a≥－cosx在R上恒成立，
又cosx∈[－1,1]，∴－cosx∈[－1,1]，∴a≥1.
15．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面2m，水面宽4m，当水面下降1m后，水面宽________m.
[答案]　2
[解析]　设抛物线方程为：x2＝－2py(p>0)，点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，
设水面下降1m后，水面宽2xm，则点(x，－3)在抛物线上，∴x2＝6，∴x＝.
16．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　③④
[解析]　①中当k＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线．
②中，点P的轨迹是以AC中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知P：{x|a－4[解析]　因为P：{x|a－4Q：{x|1所以?，即－1≤a≤5.
18．(本题满分12分)求与⊙C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切且与⊙C2：(x－1)2＋y2＝9相内切的动圆圆心P的轨迹方程．
[解析]　设动圆圆心P的坐标为(x，y)，半径为r，
由题意得|PC1|＝r＋1，|PC2|＝3－r，
∴|PC1|＋|PC2|＝r＋1＋3－r＝4>|C1C2|＝2，
由椭圆定义知，动圆圆心P的轨迹是以C1、C2为焦点，长轴长2a＝4的椭圆，椭圆方程为：＋＝1.
19．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a>0)的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．
[解析]　证明：设P(x1，ax)，Q(x2，ax)，则直线PQ的斜率为kPQ＝a(x1＋x2)
∴其方程为y－ax＝a(x1＋x2)(x－x1)，
即y－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0，
∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1?a2x1·x2＝－1.
∴y－＝a(x1＋x2)(x－0)．
∴PQ恒过定点.
20．(本题满分12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．
[解析]　当0当a>1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－4>0.
即a<或a>.
(1)p正确，q不正确．
则a∈(0,1)∩，即a∈.
(2)p不正确，q正确．
则a∈(1，＋∞)∩，
即a∈.
综上，a取值范围为∪.
21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a的取值范围．
[解析]　(1)对函数f(x)求导数，
得f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)>0，解得x>1或x<－；
令f′(x)<0，解得－所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的，
所以，f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)＝－1＋a；
由f(0)＝a，f(2)＝2＋a，知f(0)所以，f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)＝2＋a.
因为，当x∈[0,2]时，
|f(x)|≤2?－2≤f(x)≤2
?，解得－1≤a≤0，
即a的取值范围是[－1,0]．
22．(本题满分14分)(2010·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式：
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
[解析]　本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识．考查导数在函数中的应用，同时还考查综合分析问题和解决问题的能力．
解：(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(ba＋1)x2＋(b＋2)x＋b]
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0.
因此f(x)的解析表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.
解得x1＝，x2＝，
则当x<－或x>时，g′(x)<0时，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；
当－0，从而g(x)在区间[－，]上是增函数，由单调性可知，在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.