3.1.1
一、选择题
1．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
[答案] A
[解析] 3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3，故以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是3－3i.
2．下列说法正确的是( )
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数(a∈R)
C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，则x＝0，y＝0
D．复数a＋bi(a，b∈R)不是实数
[答案] A
[解析] 两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部的差与虚部的差都为0，故A正确；B中当a＝0时，ai是实数0；C中若x＋yi是实数，则y＝0就可以了；D中当b＝0时，复数a＋bi为实数．
3．若复数(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．1 B．±1
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] 依题意，得得x＝1.
4．已知a，b∈R，则a＝b是复数(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝b＝0时，该复数为0，为实数，故A，B不正确；由于复数(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则故a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，所以a＝b是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．
5．若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．
6．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[答案] C
[解析] 当a＝0或1时复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排A、B、D.
7．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．?UA＝B
C．A∩(?UB)＝? D．B∪(?UB)＝C
[答案] D
[解析] 复数包括实数与虚数，而虚数包含纯虚数与非纯虚数．
8．下列命题中的假命题是( )
A.不是分数
B.i不是无理数
C．－i2是实数
D．若a∈R，则ai是虚数
[答案] D
[解析] 当a＝0时，0i＝0为实数．
二、填空题
9．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，则实数x＝______，y＝______
[答案] x＝，y＝1
[解析] 由复数相等可知
∴
10．复数z＝3＋(＋i)i的虚部是__________，实部是__________
[答案] 2
[解析] z＝3＋(＋i)i＝3＋i＋i2
＝3＋i－1＝2＋i
故复数z的虚部为，实部为2.
11．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为______．
[答案] －1
[解析] 可以A∩B＝{3}来寻找解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3
∴解得a＝－1
12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为______________和____________．
[答案] 或
[解析] 方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．
三、解答题
14．(2010·湛江高二检测)当实数m为何值时，复数
z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
[解析] (1)当
即m＝2时，复数z是实数；
(2)当m2－2m≠0，且m≠0
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
3.1.2
一、选择题
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[答案] B
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
2．复数i＋i2在复平面内表示的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵i＋i2＝－1＋i，
∴复数i＋i2对应的点在第二象限．
3．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
[答案] D
[解析] 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
4．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
[答案] D
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
5．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案] B
[解析] 所求复数的模为
＝＝，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴＝－2cos.
6．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
[答案] C
[解析] 由题意知a2－2a＝0，
解得a＝0或2.
7．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵∴3m－2>0，m－1<0.
8．(2010·福州高二检测)已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是( )
A．5 B．2
C．7 D．3
[答案] D
[解析] |z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2
＝5－2＝3.
二、填空题
9．(2010·合肥高二检测)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若O＝x O＋y O(x，y∈R)，则x＋y的值是______．
[答案] 5
[解析] 由复数的几何意义可知
O＝x＋y即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i
由复数相等可得
解得
∴x＋y＝5
10．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．
[答案]
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝
11．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
[答案] －4i
[解析] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则∴∴z＝－4i.
12．已知f(z)＝|1＋z|－z且f(－z)＝10＋3i，则复数z为________．
[答案] 5＋3i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则f(－z)＝|1－x－yi|＋(x＋yi)＝10＋3i，∴
∴∴z＝5＋3i.
三、解答题
13．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得
解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞.
3.2.1
一、选择题
1．已知：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，若z1＋z2是纯虚数，则有( )
A．a－c＝0且b－d≠0
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[答案] D
[解析] z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
又z1＋z2为纯虚数
所以a＋c＝0且b＋d≠0.
3．若|z－1|＝1，则|z－2i－1|的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] |z－1|＝1表示以(1,0)为原心，半径为1的圆，而|z－2i－1|表示圆上的点到点(1,2)的距离故最大距离为＋1＝3故选C.
5．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
[答案] C
[解析] 本题考查了复数与复平面上点的对应关系及中点坐标公式．
由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
6．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)是( )
A．1－5i B．－2＋9i
C．－2－i D．5＋3i
[答案] D
[解析] ∵z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)
＝5＋5i
∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i
＝5＋3i
7．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] ∵|z＋2－2i|＝1，
∴z在以(－2,2)为圆心，半径为1的圆上，而|z－2－2i|是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值为3，如图
8．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
[答案] D
[解析] 由几何意义知，z到△ABC三个顶点距离都相等，z对应点是△ABC的外心．
二、填空题
10．(2010·徐州高二检测)在复平面内，O是原点，O，O，A对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么B对应的复数为______．
[答案] 4－4i
[解析] B＝O－O
＝O－(O＋A)
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i
11．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝______.
[答案] 3
[解析] z1－z2＝[a＋(a＋1)i]－[－3＋(b＋2)i]
＝(a＋3b)＋(a＋1－b－2)i＝4
∴
解得∴a＋b＝3
12．若|z－1|＝|z＋1|，则|z－1|的最小值是______．
[答案] 1
[解析] 解法一：设z＝a＋bi，(a，b∈R)
则|(a－1)＋bi|＝|(a＋1)＋bi|
∴＝
即a＝0∴z＝bi，b∈R
∴|z－1|min＝|bi－1|min＝
故当b＝0时，|z－1|的最小值为1.
解法二∵|z－1|＝|z＋1|，
∴z的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y轴，|z－1|表示，y轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.
三、解答题
15．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i.求复数z.
[分析] 常规解法为：设出z＝a＋bi(a、b∈R)代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a、b.
[解析] 解法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝代入方程得：
a＋bi＋＝2＋8i，，
解得：
，即z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为：z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，
∴2－|z|是z的实数，
于是|z|＝即：
|z|2＝68－4|z|＋|z|2，
∴|z|＝17
代入z＝2－|z|＋8i，得：
z＝－15＋8i.
16．(2010·徐州高二检测)已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
求|z1＋z2|.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1；②求|z1＋z2|.
解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或利用“数形结合”的思想求解．
[解析] 方法一：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1①
(a－c)2＋(b－d)2＝1②
由①②得2ac＋2bd＝1
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
方法二：设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的复数分别为A、B、C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
3.2.2
一、选择题
1．(2010·湖南文，16)复数等于( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[答案] A
[解析] 本题考查复数的除法运算，分子、分母需同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算．
＝＝＝＝1＋i.故选A.
3．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] D
[解析] z2＝(1－2i－1)＝－i，z50＝(－i)25＝－i，z100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.
4．复数的实部是( )
A．－2 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ＝＝2－i，所求复数的实部为2，故选B.
5．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝( )
A．－2 B．－
C. D．2
[答案] D
[解析] (1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
∵此复数为纯虚数，∴b＝2.
6．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
[答案] C
[解析] ∵＝i，
∴z＝，∴z＋1＝＋1＝，
∴|z＋1|＝.
8．复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] B
[解析] z2＝()2＝－1，
∴w＝－1＋1－1＋1－1＝－1.
二、填空题
9．(2010·江苏，2)设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．
[答案] 2
[解析] 本题主要考查复数模的概念及复数的除法运算，解答本题的关键在于正确合理运用复数模的性质．
∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝，∴|z|＝＝2.
12．复数z＝a＋bi，a、b∈R且b≠0，若z2－4bz是实数，则有序实数对(a，b)可以是________．(写出一个有序实数对即可)
[答案] (2,1)(或写出满足a＝2b的任一组非零实数对(a，b)即可)
[解析] ∴z2－4bz＝(a2－b2－4ab)＋(2ab－4b2)i是实数，
∴2ab－4b2＝0，∵b≠0，∴a＝2b.
三、解答题
14．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
解得－6≤a＜0.
3章章末
一、选择题
1．(2010·福建文，4)i是虚数单位，()4等于( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
[答案] C
[解析] 本题主要考查复数．
4＝2＝2＝(－1)2＝1.
2．(2009·宁夏、海南文，2)复数＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] C
[解析] 本题主要考查复数的运算．
＝＝＝i.
3．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，所以复数z对应的点Z(4，－2)在第四象限．
4．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
[答案] D
[解析] 因为对应的复数是2＋i，对应的复数是1＋3i，所以对应的复数是(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，所以对应的复数是－3－4i.
二、填空题
5．设z2＝z1－i 1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部是______．
[答案] 1
[分析] 设出z1，计算出右边的结果，根据复数相等的定义求解．
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i.
∵z2的实部是－1.即a－b＝－1，
∴z2的虚部b－a＝1.
[点评] 两个复数相等，则它们的实部与虚部分别相等．
6．若a，b为非零实数，则下列四个命题都成立．
①a＋≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
③若|a|＝|b|，则a＝±b；
④若a2＝ab，则a＝b.
则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的序号是______．
[答案] ②④
[分析] 实数的运算法则在复数范围内不一定成立，应逐一验证．
[解析] 若a＝i，则①不成立；a＝i，b＝1，则③不成立，②④成立．
[点评] 实数的运算性质在复数范围内，应加以说明，不可盲目应用．
三、解答题
7．设复数z＝x＋yi(x、y∈R)，在下列条件下求动点Z(x，y)的轨迹．
(1)|2z＋i|＝2
(2)|z＋1＋i|－|z－1－i|＝0
(3)|z＋i|＋|z－i|＝2
(4)|z＋1|－|z－i|＝
[解析] (1)方程即|z＋|＝1，表示圆，圆心(0，－)，半径为1.
(2)|z＋1＋i|＝|z－1－i|，复数z对应点Z到两点A(－1，－1)和B(1,1)距离相等，∴点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线．
(3)以点(0，－1)和(0,1)为焦点，长轴为2的椭圆．
(4)以点(0,1)为端点，倾斜角为的一条射线．(不是双曲线，因为两定点的距离为)
8．已知复数z满足(z＋)－3z·i＝1－3i，求复数z.
[解析] 解法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
代入条件得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
∴解得
∴z＝±i.
解法二 ∵z＋∈R，z·∈R，
由复数相等得
∴z及是方程x2－x＋1＝0的两根．解此方程得z＝±i.
第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2010·安徽文，2)已知i2＝－1，则i(1－i)＝( )
A.－i B.＋i
C．－－i D．－＋i
[答案] B
[解析] 该题考查复数的四则运算
i(1－i)＝－i2＋i＝＋i，故选B.
2．复数z＝＋1在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝＋1＝1＋i，故复数z所对应的点为(1,1)，在第一象限．
3．复数10的值是( )
A．－1 B．1
C．－32 D．32
[答案] A
[解析] 本题主要考查复数的基本运算，＝－i，(－i)10＝－1，故选A.
4．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x、y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由已知得∴
∴z1＝－3－i，故选C.
5．对于复平面，下列命题中真命题的是( )
A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的
C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的
D．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
[答案] D
[解析] 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a，b)对应复数的实部与虚部．
6．设复数z满足z＋||＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
[答案] D
[解析] 方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＋yi＋|x－yi|＝2＋i，
即x＋＋yi＝2＋i，
∴
把y＝1代入x＋＝2中，
得＋x＝2，
∴x＝，∴z＝＋i.
方法二：代入法验证答案易得．
7．复数z满足方程|z＋|＝4，那么复数z的对应点P组成的图形为( )
A．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆
B．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆
C．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆
D．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆
[答案] C
[解析] |z＋|＝|z＋(1－i)|
＝|z－(－1＋i)|＝4，
设－1＋i的对应点为C(－1,1)，
则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．
8．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于( )
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
[答案] D
[解析] 设x＝it(t∈R且t≠0)，
于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，
∴∴
∴x＋y＝－1－i.
9．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－≤≤.
10．设复数z为虚数，条件甲：z＋是实数，条件乙：|z|＝1，则( )
A．甲是乙的必要非充分条件
B．甲是乙的充分非必要条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件
[答案] C
[解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z＝a＋bi(b≠0且a，b∈R)，则z＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋为实数，所以b＝.因为b≠0，所以a2＋b2＝1，所以|z|＝1.而当|z|＝1，a2＋b2＝1，条件甲显然成立．
11．如果复数z满足条件|2z＋1|＝|z－i|，那么在复平面内z对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] A
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化简，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此为圆的方程．
12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
[答案] C
[解析] ∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称．
∴C项正确．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2010·上海文，4)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________.
[答案] 6－2i
[解析] 本题考查了复数的基本运算．
∵z·＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.
14．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是__________
[答案] cos(α＋β)
[解析] z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i
故z1·z2的实部为cos(α＋β)．
15．实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝________.
[答案] 27或
[解析] 本题考查有关复数模的运算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝.
16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．
[答案] 或π
[解析] 本题主要考查复数的概念．z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝或π.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知复数z满足z－i()＝1－，求z.
[解析] 将方程两边化成a＋bi的形式，根据复数相等的充要条件来解．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
x2＋y2－i[]＝1－()，
即x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，
由复数相等得
解得或
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
18．(本题满分12分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数4－20i的共轭复数，求实数x的值．
[解析] 因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得
x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
根据复数相等的充要条件，得
方程①的解为x＝－3或x＝2.
方程②的解为x＝－3或x＝6.
所以实数x的值为－3.
[点评] 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件．
19．(本题满分12分)已知z＝1＋i，
(1)求w＝z2＋3－4
(2)如果＝1－i，求实数a、b.
[解析] (1)w＝－1－i
(2)＝
＝
＝(a＋2)－(a＋b)i
∴(a＋2)－(a＋b)i＝1－i
∴a＝－1 b＝2
20．(本题满分12分)设a、b为共轭复数，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.
[解析] ∵a、b为共轭复数，∴设a＝x＋yi(x，y∈R)
则b＝x－yi，
由(a＋b)2－3abi＝4－6i，得
(2x)2－3(x2＋y2)i＝4－6i，
即
∴ ∴
∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；
a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.
21．(本题满分12分)证明：在复数范围内，方程|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝无解．
[证明] 原方程可化简为|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝1－3i.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上述方程，整理得
x2＋y2－2xi－2yi＝1－3i，根据复数相等的充要条件，
得
将②代入①，消去y整理，得8x2－12x＋5＝0.
因为Δ＝－16<0，所以上述方程无实数解．
所以原方程在复数范围内无解．
[点评] 本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解．
22．(本题满分14分)复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋1＋i|的最大值与最小值．
[解析] 在复平面内，|z＋i|＋|z－i|＝2表示复数z对应的点Z到点A(0，－1)，B(0,1)的距离之和为2，而|AB|＝2，所以点Z的轨迹为以A，B为端点的线段(包括两端点)．而|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|表示点Z到点C(－1，－1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到点C的距离的最大值与最小值，如右图．
易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝，
|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.
[点评] 本题主要考查复数|z－z1|的几何意义，即|z－z1|表示复数z与z1对应的两点之间的距离．利用数形结合法是求解本题的关键．
