（人教B版）高中数学必修5-第三章不等式综合素质检测（含答案解析）

第三章综合素质检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)
1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有 (　　)
A．M＞N　　　　　　　　　 B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
[答案]　A
[解析]　M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋)2＋＞0，∴M＞N.
2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是(　　)
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5}
D．{x|－1≤x≤5}
[答案]　B
[解析]　不等式化为x2－4x－5＞0，
∴(x－5)(x＋1)＞0，∴x＜－1或x＞5.
3．(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为(　　)
[答案]　C
[解析]　将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A、B，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D，故选C.
4．设b＞a＞0，a＋b＝1，则下列四个数，2ab，a2＋b2，b中，最大的数是(　　)
A. B．b
C．2ab D．a2＋b2
[答案]　B
[解析]　因为b＞a＞0，a＋b＝1，
所以0＜a＜＜b＜1，a2＋b2＞2ab.
又因为a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)＜0.
所以a2＋b2＜b，故四个数中最大的数是b.
5．若a0，则a、b、c、d的大小关系是(　　)
A．dC．a[答案]　A
[解析]　∵a∴c－a>0，c－b<0，
∴a又∵d又∵(d－a)(d－b)>0，∴d－a<0，
∴d∴d6．设M＝a＋(2＜a＜3)，N＝log0.5(x2＋)(x∈R)那么M、N的大小关系是(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．不能确定
[答案]　A
[解析]　∵2＜a＜3，∴a－2>0.
M＝a＋＝a－2＋＋2＞4，
N＝log0.5(x2＋)≤log0.5＝4，∴M＞N.
7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a≥　　　　　　　 B．0C．1≤a≤ D．0[答案]　D
[解析]　由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．∴08．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
[答案]　C
[解析]　∵x∈(0，]，
∴a≥＝－x－.
由于函数y＝x＋在(0，]上单调递减，
∴在x＝处取得最小值.
∴－(x＋)≤－.
∴a≥－.
9．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，
β＝b＋则α＋β的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　C
[解析]　由题意a＋b＝1，则α＋β＝a＋＋b＋
＝1＋≥1＋＝5.
10．若x、y满足条件，则z＝－2x＋y的最大值为(　　)
A．1 B．－
C．2 D．－5
[答案]　A
[解析]　作出可行域如下图，当直线y＝2x＋z平移到经过可行域上点A(－1，－1)时，z取最大值，
∴zmax＝1.
11．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，若a∥b，则4x＋8y的最小值为(　　)
A. B．4
C．2 D．2
[答案]　B
[解析]　∵a∥b，∴3(y－1)－(－2)x＝0，
∴2x＋3y＝3.
故4x＋8y＝22x＋23y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立．
12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 800元
[答案]　B
[解析]　设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知
，
作出其可行域如图所示．
可知目标函数z＝400x＋300y在点A处取最小值，z＝400×4＋300×2＝2 200(元)．
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．不等式≤3的解集是________．
[答案]　{x|x≥或x<0}
[解析]　原不等式等价于－3≤0?≤0?≥0?x(2x－1)≥0，且x≠0，解得x≥或x<0.
14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
[答案]　2
[解析]　由题意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，
∴不等式为2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，
∴115．若a≥0，b≥0，a2＋b2＝1，则a的最大值为________．
[答案]　1
[解析]　∵a≥0，b≥0，
∴a≤＝1，
当且仅当a＝，即a＝1，b＝0时取等号．
16．若不等式组，所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．
[答案]　
[解析]　不等式组，表示的区域如图所示．
直线y＝kx＋经过三角形的顶点C，要想平分面积，只需要经过AB的中点D即可．解相应的方程组可得A(1，1)、B(0,4)、C(0，)，则D(，)，k＝＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－k2＝0的两个实根，求x＋x的最小值．
[解析]　由题意，得x1＋x2＝2k，
x1x2＝1－k2.
Δ＝4k2－4(1－k2)≥0，
∴k2≥.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝4k2－2(1－k2)
＝6k2－2≥6×－2＝1.
∴x＋x的最小值为1.
18．(本题满分12分)若a＜1，解关于x的不等式＜1 .
[解析]　a＝0时，x∈R且x≠2；
a≠0时，
＜1?＞0
?[(a－1)x＋2](x－2)＞0.
∵a＜1，∴a－1＜0.
∴化为(x－)(x－2)＜0，
当02，
∴不等式的解为2当a<0时，1－a>1，∴<2，
∴不等式解为∴当0＜a＜1时，不等式解集为；当a＜0时，不等式解集为；当a＝0时，解集为{x∈R|x≠2}．
19．(本题满分12分)已知x，y都是正数．
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值．
[解析]　(1)xy＝·3x·2y≤2＝6.
当且仅当即时取“＝”号．
所以当x＝2，y＝3时，xy取得最大值6.
(2)＋＝ (x＋2y)
＝≥
＝1＋.
当且仅当即时，取“＝”号．
所以，当x＝－3＋3，y＝3－时，＋取得最小值1＋.
20．(本题满分12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　由m2－2m－3＝0，得m＝－1或m＝3.
当m＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；
当m＝－1时，原不等式化为4x－1<0，
∴x<，故m＝－1不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题意，得
，
即，
∴－综上可知，实数m的取值范围是－21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(a、b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设k>1，解关于x的不等式f(x)<.
[解析]　(1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得
，解得.
∴f(x)＝(x≠2)．
(2)原不等式即为<，可化为<0.
即(x－2)(x－1)(x－k)>0.
①当12;
②当k＝2时，x>1且x≠2；
③当k>2时，1k.
综上所述，当12}；
当k＝2时，原不等式的解集为{x|x>1且x≠2}；
当k>2时，原不等式的解集为{x|1k}．
22．(本题满分14分)已知x、y满足条件，求z＝x2＋y2的最大值与最小值．
[解析]　在同一直角坐标系中，作直线x－2y＋7＝0,4x－3y－12＝0和x＋2y－3＝0，再根据不等式组确定可行域为△ABC(如图所示)，把x2＋y2看作点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方．
由，
解得点A的坐标(9,8)．
所以(x2＋y2)max＝|OA|2＝92＋82＝145.
因为原点O到直线BC的距离为＝，
所以(x2＋y2)min＝.