（人教B版）高中数学必修5-第三章不等式基本知能检测（含答案解析）

第三章基本知能检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a2中正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　　　 B．②③
C．①④ D．③④
[答案]　C
[解析]　由<<0，得b∴②③均不成立，a＋b<0，ab>0，∴①成立．而＋－2＝>0，
∴＋>2，④成立．故选C.
2．若m＝(2a－1)(a＋2)，n＝(a＋2)(a－3)，则m，n的大小关系正确的是(　　)
A．m>n B．m≥n
C．m[答案]　B
[解析]　m＝2a2＋3a－2，n＝a2－a－6，
∴m－n＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2≥0.
∴m≥n.
3．若集合A＝{x|x2＋x－6<0}，B＝{x|≤0}，则A∩B等于(　　)
A．(－3,3) B．[－2,2)
C．(－2,2) D．[－2,3)
[答案]　B
[解析]　A＝{x|－3∴A∩B＝[－2,2)．
4．不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|0≤x<2 010或x>2 011}
B．{x|02 011}
C．{x|x≤0或2 010D．{x|x<0或2 010[解答]　A
[解析]　原不等式等价于

如图所示：
用穿针引线法求得原不等式的解集为{x|0≤x<2010或x≥2 011}．
5．不等式(x－2a)(x＋1)(x－3)<0的解集为(－∞，－1)∪(3,4)，则a的值为(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
[答案]　D
[解析]　当2a＝4时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，∴a＝2.
6．(2013·新课标Ⅱ)已知a>0，x、y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　本题考查了线性规划知识．
作出线性约束条件的可行域．
因为y＝a(x－3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C(1，－2a)时，z＝2x＋y有最小值，
∴2×1－2a＝1，∴a＝.
7．有下列函数：①y＝x＋(x>0)；②y＝x＋＋1(x>1)；③y＝cosx＋(00)．其中最小值为4的函数有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
[答案]　C
[解析]　对于①，y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，取等号．对于②，y＝x－1＋＋2(x>1)≥2＋2＝4，当且仅当x＝2时，取等号．对于③、④，最小值为4的条件不具备，故选C.
8．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)(x－)<0的解集为(　　)
A．{x|x} B．{x|x>a}
C．{x|x>a或x<} D．{x|x<}
[答案]　A
[解析]　原不等式可化为(x－a)(x－)>0，
∵a<－1，>a，∴解为x>或x9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
[答案]　C
[解析]　本题主要考查基本不等式在求最值中的应用．
∵a＋b＝2，∴＋＝1，∴y＝＋＝＝＋＋，
∵a>0，b>0，∴＋≥2＝2，当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时取得等号，
∴y的最小值是，选C.
10．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[0,2] D．[－1,2]
[答案]　C
[解析]　本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识．
·＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件表示的平面区域如图所示．
可以看出当z＝y－x过点A(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则·的取值范围是[0,2]，故选C.
11．要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是(　　)
A．－11
C．－21
[答案]　C
[解析]　设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，由题意知，f(1)＝1＋a2－1＋a－2＝a2＋a－2＝(a－1)(a＋2)<0，∴－212．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线 x－y＝0对称，动点P(a，b)在不等式组，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由题意分析直线y＝kx＋1与直线x－y＝0垂直，所以k＝－1，即直线y＝－x＋1.又圆心C(－，－)在直线x－y＝0上，可求得m＝－1.
则不等式组为所表示的平面区域如图，ω＝的几何意义是点Q(1,2)与平面区域上点P(a，b)连线斜率的取值范围．
kOQ＝2，kAQ＝－2，
故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．不等式2x2＋2x－4≤的解集为____________．
[答案]　[－3,1]
[解析]　不等式2x2＋2x－4≤化为2x2＋2x－4≤2－1，
∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，
∴原不等式的解集为[－3,1]．
14．函数f(x)＝lg(x2－ax＋a)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围是________．
[答案]　0[解析]　由题意得不等式x2－ax＋a>0的解集为R.
∴Δ＝a2－4a<0，
解得015．已知x、y满足条件，则z＝2x＋5y的最大值为________．
[答案]　19
[解析]　可行域如图．
当直线y＝－x＋经过直线y＝3与x＋2y＝8交点(2,3)时，z取最大值zmax＝19.
16．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
[答案]　18
[解析]　本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值．
∵log2a＋log2b≥1
∴log2ab≥1，ab≥2.
∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2＝18.
(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若函数f(x)＝lg(8＋2x－x2)的定义域为M，函数g(x)＝的定义域为N，求集合M，N，M∩N.
[解析]　由8＋2x－x2>0，即x2－2x－8<0，
∴(x－4)(x＋2)<0，
∴－2∴M＝{x|－2由1－≥0，得≥0，
∴x≥3或x<1.
∴N＝{x|x<1或x≥3}．
∴M∩N＝{x|－218．(本小题满分12分)求函数y＝(x≠－1)的值域．
[解析]　由已知得y＝
＝＝(x＋1)＋－3.
(1)当x＋1>0，即x>－1时，y＝(x＋1)＋－3≥2－3＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，ymin＝1，此时y≥1.
(2)当x＋1<0，即x<－1时，y＝－[－(x＋1)＋]－3≤－2－3＝－7，
当且仅当－(x＋1)＝，
即x＝－3时，ymax＝－7，此时y≤－7.
综上所述，所求函数的值域为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求＋的最小值．
[解析]　方法一：由已知条件lgx＋lgy＝1可得：
x>0，y>0，且xy＝10.则
＋＝≥＝2，
所以min＝2，当且仅当，
即时等号成立．
方法二：由已知条件lgx＋lgy＝1可得：
x>0，y>0，且xy＝10，＋≥2＝2＝2(当且仅当，即时取等号)．
所以(＋)min＝2.
20．(本小题满分12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
[解析]　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
，
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线，x＋0.5y＝z，z∈R.与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组，
得.
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当，时z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能盈利最大．
21．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b的值；
(2)解不等式>0.
[解析]　(1)由已知得：1，b是方程ax2－3x＋6＝4的两根，
∴a－3＋6＝4，∴a＝1，
∴方程x2－3x＋2＝0其两根为x1＝1，x2＝2，
∴b＝2.
(2)将a＝1，b＝2代入不等式>0得，>0，
可转化为：(x＋1)(x－1)(x－2)>0，
如图，由“穿针引线”法可得
原不等式的解集为{x|－12}．
22．(本小题满分14分)(2012·揭阳高二检测)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．
(注：价值损失的百分率＝×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计
[解析]　(1)由题意可设价值与重量的关系式为：
y＝kx2，
∵3克拉的价值是54000美元，
∴54 000＝k·32，解得：k＝6 000，
∴y＝6 000x2，
答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y＝6 000x2.
(2)若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2，
现有价值是6 000m2＋6 000n2，
价值损失的百分率＝×100%＝×100%≤＝，
当且仅当m＝n时取等号．
答：当m＝n时，价值损失的百分率最大．