（人教B版）高中数学必修5-第二章数列基本知能检测（含答案解析）

第二章基本知能检测
(时间：120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　设所求边长为x，由正弦定理得，
＝，∴x＝2，故选C.
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A>B，则一定有(　　)
A．cosA>cosB B．sinA>sinB
C．tanA>tanB D．sinA[答案]　B
[解析]　∵A>B，∴a>b，
由正弦定理，得sinA>sinB，故选B.
3．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2 B．2
C. D.
[答案]　D
[解析]　本小题考查内容为正弦定理的应用．
∵asinAsinB＋bcos2A＝a，
∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
sinB＝sinA，∴b＝a，∴＝.
4．在△ABC中，∠A＝60°，a＝，b＝4.满足条件的△ABC(　　)
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．不能确定
[答案]　A
[解析]　4×sin60°＝2＝，
∵<，
即a5．在△ABC中，已知2a2＝c2＋(b＋c)2，则∠A的值为(　　)
A．30° B．45°
C．120° D．135°
[答案]　D
[解析]　由已知得2a2＝c2＋2b2＋c2＋2bc，
∴a2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，
又b2＋c2－a2＝2bccosA，
∴2bccosA＝－bc，∴cosA＝－，∴A＝135°.
6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案]　A
[解析]　由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b，
∴a2－b2＝bc＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，cosA＝＝
＝＝，
又∵0°7．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则为(　　)
A. B.
C. D．2
[答案]　B
[解析]　由bcsinA＝得c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，
故a＝.
所以＝＝，选B.
8．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[，π)
C．(0，] D．[，π)
[答案]　C
[解析]　本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得：cosA＝≥＝，∴09．在△ABC中，已知B＝45°，c＝2，b＝，则A的值是(　　)
A．15° B．75°
C．105° D．75°或15°
[答案]　D
[解析]　∵＝，
∴sinC＝＝＝.
∵0°＜C＜180°.∴C＝60°或120°，
∴A＝75°或15°.
10. 在锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1C.[答案]　C
[解析]　∵b∴边c与边a所对的角的余弦值大于0，
即b2＋a2－c2>0且b2＋c2－a2>0，
∴.
∴311．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2＝，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
[答案]　A
[解析]　由cos2＝＝，
整理得cosA＝.
又cosA＝，联立以上两式整理得c2＝a2＋b2，
∴C＝90°.故△ABC为直角三角形．
12．如图所示，在△ABC中，已知∠A?∠B＝1?2，角C的平分线CD把三角形面积分为3?2两部分，则cosA等于(　　)
A. B.
C. D．0
[答案]　C
[解析]　在△ABC中，设∠ACD＝∠BCD＝β，∠CAB＝α，由∠A?∠B＝1?2，得∠ABC＝2α.
∵∠A<∠B，∴AC>BC，
∴S△ACD>S△BCD，
∴S△ACD?S△BCD＝3?2，
∴＝，
∴＝.
由正弦定理得
＝，
＝?＝，
∴cosα＝＝×＝，
即cosA＝.故选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________．
[答案]　
[解析]　设△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，由余弦定理cosA＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴sinA＝，
∴外接圆半径r＝＝.
14．(2012·宣城高二检测)在△ABC中，若a2＋b2[答案]　
[解析]　∵a2＋b2∴a2＋b2－c2<0，即cosC<0.
又sinC＝，∴∠C＝.
15．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，则cosA＝________.
[答案]　
[解析]　∵a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
由正弦定理＝，
∴＝，∴cosA＝.
16．某人在C点测得塔AB在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m到O，测得塔A仰角为30°，则塔高为________．
[答案]　10 m
]解析]　画出示意图，如图所示，
CO＝10，∠OCD＝40°，∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，
∠AOB＝30°，AB⊥平面BCO，
令AB＝x，则BC＝x，BO＝x，
在△BCO中，由余弦定理，得
(x)2＝x2＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，
整理得x2－5x－50＝0，
解得x＝10，x＝－5(舍去)，
故塔高为10 m.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2013·江西理，16)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cosC＋(cosA－sinA)cosB＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[解析]　(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－sinAcosB＝0，
即有sinAsinB－sinAcosB＝0.
因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0.
又cosB≠0，所以tanB＝.
又0(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.
因为a＋c＝1，cosB＝，有b2＝3(a－)2＋.
又018．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.
(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
[解析]　(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.因为0(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，
得a2＝b2－c2，
故△ABC是直角三角形，且B＝.所以sinC＝cosA＝.
19．(本小题满分12分)(2013·湖北文，18)在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．
[解析]　思路分析：(1)由三角形内角和及诱导公式可求得∠A；
(2)由S＝bcsinA求得C，再由余弦定得求得a，再由正弦定理可求得sinBsinC.
解 ：(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，
即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．
因为0(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.
又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.
20．(本小题满分12分)(2013·重庆理，20)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
[解析]　思路分析：(1)根据已知条件结合余弦定理即可求得角C的余弦值，进而求得角C的值；(2)先根据题设条件把等式化为关于tanα的方程；再有C＝，求出sin(A＋B)以及sinAsinB值，解方程即可得到tanα.
解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cosC＝＝＝－，
故C＝.
(2)由题意得
＝，
因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，
tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，
tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①
因为C＝，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，
即－sinAsinB＝，
解得sinAsinB＝－＝.
由①得tan2α－5tanα＋4＝0，
解得tanα＝1或tanα＝4.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，
得2A＝－B,0即1－2sin2A＝，∴sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.
又由正弦定理，得＝，
∴BC＝＝＝3.
∵C－A＝，∴C＝＋A，
∴sinC＝sin(＋A)＝cosA＝，
∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝××3×＝3.
22．(本小题满分14分)如图，已知扇形AOB，O为顶点，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA相交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
[解析]　∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.
在△OCP中，由正弦定理，得
＝，即＝，
∴CP＝sinθ.
又＝，
∴OC＝sin(60°－θ)．
故△POC的面积是
S(θ)＝CP·CO·sin120°
＝·sinθ·sin(60°－θ)·
＝·sinθsin(60°－θ)
＝·sinθ(cosθ－sinθ)
＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°)，
∴当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为.