（人教B版）高中数学必修5-第一章解直角三角形综合素质检测（含答案解析）

第一章综合素质检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．2
C. D.
[答案]　D
[解析]　在△ABC中，由正弦定理，得
sinC＝＝＝，
又∵B＝120°，∴C为锐角，
∴C＝30°，∴A＝30°，∴a＝c＝.
2．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[答案]　C
[解析]　cosB＝＝，∴B＝60°.
3．在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝，那么cosB＝(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　D
[解析]　BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA
＝16＋2－8cos45°＝10，∴BC＝，
cosB＝＝－.
4．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是(　　)
A．30°或150° B．15°或75°
C．30° D．15°
[答案]　A
[解析]　由题意：sinB＋cosB＝.两边平方得sin2B＝，设顶角为A，则A＝180°－2B.
∴sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝，
∴A＝30°或150°.
5．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为(　　)
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
[答案]　B
[解析]　仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.
6．(2012·天津理，6)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(　　)
A. B．－
C．± D.
[答案]　A
[解析]　由＝及8b＝5c，C＝2B得，5csin2B＝8csinB，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.
7．△ABC的三边分别为2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3(m>0)，则最大内角度数为(　　)
A．150° B．120°
C．90° D．135°
[答案]　B
[解析]　解法一：∵m>0，∴m2＋3m＋3>2m＋3，
m2＋3m＋3>m2＋2m.
故边m2＋3m＋3对的角为最大角，由余弦定理，
cosθ＝
＝－，∴θ＝120°.
解法二：特值法．取m＝1，则三边长为5,3,7
∴cosθ＝＝－，∴θ＝120°.
8．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实数根，则A为(　　)
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．不存在
[答案]　A
[解析]　把已知方程整理得(sinA－sinC)x2＋2sinB·x＋(sinA＋sinC)＝0，
Δ＝4sin2B－4(sinA－sinC)(sinA＋sinC)＞0，
即sin2B＋sin2C－sin2A＞0.
∴b2＋c2－a2＞0，∴cosA＞0，可知A为锐角．
9．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2 B．2
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵asinAsinB＋bcos2A＝a，
∴由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
∴sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA，
∴sinB＝sinA，
∴＝.
由正弦定理，得＝＝.
10．在△ABC中，a2＋b2－ab＝c2＝2S△ABC，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　由a2＋b2－ab＝c2得：cosC＝＝，
∴∠C＝60°，又2S△ABC＝a2＋b2－ab，
∴2×ab·sin60°＝a2＋b2－ab，
得2a2＋2b2－5ab＝0，
即a＝2b或b＝2a.
当a＝2b时，代入a2＋b2－ab＝c2得a2＝b2＋c2；
当b＝2a时，代入a2＋b2－ab＝c2得b2＝a2＋c2.
故△ABC为直角三角形．
11．在△ABC中，若||＝2，||＝5，·＝－5，则S△ABC＝(　　)
A.　　　B. 　　　C.　　　D．5
[答案]　A
[解析]　·＝||·||cosA＝10cosA＝－5，
∴cosA＝－，∴sinA＝，
∴S△ABC＝||·||·sinA＝.
12．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
[答案]　D
[解析]　由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形，由
，得，
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立，
即△A2B2C2是钝角三角形，故选D.
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8?5，则此三角形面积为________．
[答案]　40
[解析]　设另两边长为8x和5x，则cos60°＝得x＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S＝×16×10·sin60°＝40.
14．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
[答案]　
[解析]　∵tanA＝，∴sinA＝，由正弦定理，得AB＝＝.
15.
如图，已知梯形ABCD中，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，则梯形的高为__________．
[答案]　
[解析]　解法一：∵∠BAD＝60°，
∴∠ADC＝180°－∠BAD＝120°.
∵CD＝2，AC＝，
∴＝，∴sin∠CAD＝.
∴sin∠ACD＝sin(60°－∠CAD)＝.
∴AD＝＝＝3.
∴h＝AD·sin60°＝.
解法二：在△ACD中，
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos120°，
∴AD2＋2AD－15＝0.
∴AD＝3　(AD＝－5舍去)．
∴h＝ADsin60°＝.
16．在△ABC中，cos2＝，则△ABC的形状为________．
[答案]　直角三角形
[解析]　∵cos2＝＝＝＋，
∴cosA＝.
由余弦定理，得cosA＝，
∴＝，∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tanA＝3，cosC＝.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝4，求△ABC面积．
[解析]　(1)∵cosC＝，∴sinC＝，∴tanC＝2.
∵tanB＝－tan(A＋C)＝－＝－＝1，
又0(2)由正弦定理，得＝，
∴b＝＝＝.
∵B＝，∴A＝－C.
∴sinA＝sin(－C)＝sincosC－cossinC
＝×－(－)×＝.
∴S△ABC＝bcsinA＝××4×＝6.
18．(本题满分12分)在△ABC中，已知a＝，A＝60°，b－c＝－1，求b、c和B、C.
[解析]　由余弦定理，得6＝b2＋c2－2bccos60°，
∴b2＋c2－bc＝6　①
由b－c＝－1平方得：b2＋c2－2bc＝4－2　②
①、②两式相减得bc＝2＋2.
由，解得 ，
由正弦定理，得sinB＝＝
＝.
∵<＋1，∴B＝75°或105°.
∵a2＋c2>b2，∴B为锐角，
∴B＝75°，从而可知C＝45°.
[点评]　求角B时，若先求得sinC＝＝，∵a>c，∴C＝45°，从而得B＝75°.
若用余弦定理cosB＝＝，∴B＝75°.
19．(本题满分12分)如图，某海轮以30n mile/h的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40min后到达点B，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80min到达C点，求P、C间的距离．
[解析]　AB＝30×＝20，BC＝30×＝40.
在△ABP中，∠A＝120°，∠ABP＝30°，∠APB＝30°，
∴BP＝·sin∠BAP＝sin120°＝20.
在Rt△BCP中，
PC＝＝＝20.
∴P、C间的距离为20n mile.
20．(本题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[解析]　(1)由已知，根据正弦定理，得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，A＝120°.
(2)由a2＝b2＋c2＋bc，得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.
又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.
因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形．
21．(本题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C＝－.
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC，求b及c的长．
[解析]　(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－，0∴sinC＝.
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理＝，得c＝4.
由cos2C＝2cos2C－1＝－及0由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±b－12＝0(b>0)，解得b＝或2，
∴，或.
22．(本题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b、c.
[解析]　(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，
得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，
即cos(B＋C)＝－，∴cosA＝－cos(B＋C)＝.
(2)∵0由S△ABC＝2，得bcsinA＝2，
∴bc＝6.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴9＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)＝(b＋c)2－16，
∴b＋c＝5.
由得或.