（人教B版）高中数学必修5-第一章解直角三角形基本知能检测（含答案解析）

第一章基本知能检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．在等差数列{an}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于(　　)
A．－10　　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．10
[答案]　A
[解析]　设公差为d，∴a7－a5＝2d＝4，
∴d＝2，又a3＝a1＋2d，
∴－6＝a1＋4，∴a1＝－10.
2．在等比数列{an}中，a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8等于(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．不能确定
[答案]　B
[解析]　由题意得，a4＋a12＝－3<0，
a4·a12＝1>0，∴a4<0，a12<0.
∴a8<0，又∵a＝a4·a12＝1，
∴a8＝－1.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，则a2a3等于(　　)
A．70 B．28
C．20 D．8
[答案]　C
[解析]　由通项公式可得a2＝2，a3＝10，∴a2a3＝20.
4．已知0A．等差数列
B．等比数列
C．各项倒数成等差数列
D．以上都不对
[答案]　C
[解析]　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又∵＋＝logna＋lognc＝lognac
＝2lognb＝，
∴＋＝.
5．在等比数列{an}中，anA．6 B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵a4·a9＝a2a11＝6，
又∵a4＋a9＝5，且an∴a4＝2，a9＝3，
∴q5＝＝，
又＝＝.
6．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)
A．1 B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵an＝＝－，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5
＝(1－)＋＋…＋
＝1－＝.
7．正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和是(　　)
A．65 B．－65
C．25 D．－25
[答案]　D
[解析]　∵{an}为正项等比数列，a2a4＝1，
∴a3＝1，又∵S3＝13，∴公比 q≠1.
又∵S3＝＝13，a3＝a1q2，
解得q＝.
∴an＝a3qn－3＝()n－3＝33－n，
∴bn＝log3an＝3－n.
∴b1＝2，b10＝－7.
∴S10＝＝＝－25.
8．等差数列{an}中，若3a8＝5a13，且a1>0，Sn为前n项和，则Sn中最大的是(　　)
A．S21 B．S20
C．S11 D．S10
[答案]　B
[解析]　设数列{an}的公差为d，因为3a8＝5a13，所以2a1＋39d＝0，即a1＋a40＝0，
所以a20＋a21＝0，又a1>0，d<0，故a20>0，a21<0，所以Sn中最大的是S20.
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　C
[解析]　a1＝S1＝x－，
a2＝S2－S1＝3x－－x＋＝2x，
a3＝S3－S2＝9x－－3x＋＝6x，
∵{an}为等比数列，
∴a＝a1a3，∴4x2＝6x，
解得x＝.
10．(2012·浙江省金华十校)等差数列{an}中，Sn是{an}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S15＝(　　)
A．15 B．30
C．45 D．60
[答案]　A
[解析]　解法一：由等差数列的求和公式及知，
，∴，
∴S15＝15a1＋d＝15.
解法二：由等差数列性质知，{}成等差数列，设其公差为D，则－＝3D＝－＝，∴D＝，
∴＝＋6D＝＋6×＝1，∴S15＝15.
11．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)(　　)
A．14m B．15m
C．16m D．17m
[答案]　B
[解析]　纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m，故选B.
12．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
A．0 B．3
C．8 D．11
[答案]　B
[解析]　本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由b3＝－2，b10＝12，∴d＝2
b1＝－6，∴bn＝2n－8，∵bn＝an＋1－an
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋b5＋b4＋b3＋b2＋b1＋a1
＝＋3＝3.
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于________．
[答案]　
[解析]　∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝＝－8，∴q＝－2.
又a5＝a1q4，∴a1＝＝－，
∴S6＝＝＝.
14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________.
[答案]　15
[解析]　设等差数列公差为d，则
S3＝3a1＋×d＝3a1＋3d＝3，
a1＋d＝1，　　　　①
又S6＝6a1＋×d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.　　　②
联立①②两式得a1＝－1，d＝2，
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
15．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0, 则当n＝________时，Sn最大．
[答案]　8
[解析]　∵，
∴a8＞0而a1＞0，∴数列{an}是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n＝8时，Sn最大．
16．数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(x∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.
[答案]　102
[解析]　由题意得xn＋1＝10xn，即数列{xn}是公比为10的等比数列，所以x101＋x102＋…＋x200＝(x1＋x2＋…＋x100)·10100＝10102，故lg(x101＋x102＋…＋x200)＝102.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知：数列{an} 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若b1＋b2＋…＋bk＝85，求正整数k的值．
[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，
∵a1，a2，a6成等比数列，∴a＝a1·a6，
∴(1＋d)2＝1×(1＋5d)，∴d2＝3d，
∵d≠0，∴d＝3，∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
(2)数列{bn}的首项为1，公比为q＝＝4.
∵b1＋b2＋…＋bk＝＝，
∴＝85，∴4k＝256，∴k＝4，
∴正整数k的值为4.
18．(本小题满分12分)已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
[解析]　设这五个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意，得
，
解得，∴.
故这五个数为－，，1，，或，，1，，－.
19．(本小题满分12分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
[解析]　(1){an}为等差数列，
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3∴a3＝9，a4＝13.
∴，∴，
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝，
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－(c＝0舍去)．
20．(本小题满分12分)(2013·江西文)正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
(2)an＝2n，bn＝，则bn＝＝(－)．
Tn＝(1－＋－＋…＋－＋－)＝(1－)＝.
21．(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，数列{bn}中，b1＝1，且点(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)若cn＝an＋3，求数列{bncn}的前n项和Sn.
[解析]　(1)∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴＝2，
a1＋3＝4，
∴{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(2)∵(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上，
∴bn＝bn＋1－1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴bn＝n.
(3)cn＝an＋3＝2n＋1－3＋3＝2n＋1，
∴bncn＝n·2n＋1.
Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，
2Sn＝1×23＋2×24＋…＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2，
两式相减，得－Sn＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2
＝－n·2n＋2
＝2n＋2－4－n·2n＋2，
∴Sn＝(n－1)·2n＋2＋4.
22．(本小题满分14分)如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解析]　(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意知：{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
∴Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4 750，
即n2＋9n－190≥0，
解得n≤－19或n≥10，
∴n≥10.
故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4 750万m2.
(2)设新建住房面积构成等比数列{bn}．
由题意知{bn}为等比数列，b1＝400，q＝1.08.
∴bn＝400×(1.08)n－1，
令an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85，
∴满足不等式的最小正整数n＝6.
故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.