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6.4.1-6.4.2 平面向量的应用（1）
【学习要求】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，达到直观想象核心素养水平一的要求；
2.理解掌握向量的模，夹角等公式，并能够用其解决一些几何问题，达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质；
3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型；
4.握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明确向量在物理中应用的基本题型。
【知识梳理】
1.平面几何中的向量方法
（1）向量在平面几何中的应用
① 平面两个向量的数量积：；
② 向量平行的判定: ；
③向量垂直的判定:；
④平面内两点间的距离公式： （其中，）
⑤求模：； ；
⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
（2）用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 在解决问题时要注意数形结合。
【高频考点】
高频考点1. 用向量证明线段垂直
【方法点拨】向量垂直的判定:；
1．（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.
【答案】(1)，. (2)证明见解析.
【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用数量积为0证明.
【详解】（1）因为点是的中点，所以.
因为，,所以.
所以，.
（2）由（1）可得： ，.
因为，所以，
所以.
2．（2022·山东高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果.
【详解】证明：设， ．因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．所以.
3．（2023·湖北·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.
4．（2022·福建泉州·高一校考期中）在中，，对任意，有.（1）求角；（2）若，，且、相交于点.求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）将不等式两边平方可得，可得出，求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）将、用、表示，利用平面向量数量积的运算性质计算得出，即可证得结论成立.
【详解】（1）等价于，
等价于，等价于.
所以，
因为，所以，又因为，所以；
（2）先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，
若，则.
因为、、为直线上三个不同的点，则，
可设，即，所以，，
所以，，结论成立.
本题中，由（1）知，是边长为的等边三角形，.
因为在上，设，
又因为在上，所以，
所以，，解得.
因为，，
所以.
故，得证.
高频考点2 . 用向量解决夹角问题
【方法点拨】设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则cos θ＝＝.
1．（2023·广东·高三专题练习）已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，所以．故选：C．
2．（2022·四川广安·校考模拟预测）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】解：建立如图直角坐标系，则,
得,所以，故选：D.
3．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知向量，，，若，则________；若与的夹角为钝角，则的取值范围为_________.
【答案】
【分析】先求得的坐标，再由共线向量的性质求解；由夹角为钝角可得且满足，求解即可.
【详解】由题，，若，所以，则；
若与的夹角为钝角，则且，
所以且，即，故答案为：；
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，是的中点
(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；
(2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）建立直角坐标系，设出数据，写出向量与向量的坐标，代入夹角公式，计算得答案；（2）设动点的坐标，写出各个向量的坐标，代入计算得关于的目标函数，结合的取值范围，求得最小值.
（1）因为，所以，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
令，则，所以,
设向量与向量的夹角为，所以；
（2）因为，所以，设，
所以，
当且仅当时，取得最小值．
5．（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求.
【答案】
【分析】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意得，的夹角为，
，则，
又，所以，
故，同理
于是，，
，
.
高频考点3 . 用向量解决线段的长度问题
【方法点拨】两点间的距离公式： （其中，）
求模：； ；
1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据向量的坐标求得，利用平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和这一结论即可求得答案.
【详解】由题意得|，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，
得：，故选：
2．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解.
【详解】解：由题意得：如图所示：
设，则点在线段OB上运动 故 设
，即
作关于的对称点，设
，即
在中，，，
由余弦定理可得：，解得：
故选：C
3．（2022·高二课时练习）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得．
【详解】如图，过作交于，作交于，
则，又，所以，，
所以，即，
又是的平分线，所以，而，所以，
，
，
所以，故选：C．
4．（2022·新疆·高一校考期末）如下图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.(1)求的模长(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）用表示出，然后可计算出答案；
（2），然后可计算出答案.
（1）因为，所以，
因为，与的夹角为，
所以，
所以；
（2）
高频考点4. 向量与几何最值
【方法点拨】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
1．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【详解】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.故选：B.
2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值.
【详解】令，
不妨，所以中点坐标为，
因为，所以C在以为直径的圆上，即，
所以，令，
则
，
因为，所以，
所以.故选：C.
3．（2022春·重庆沙坪坝·高一校考期中）如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12]
【答案】B
【分析】以正六边形的中心为原点，所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴，建立坐标系，利用的运算求解.
【详解】解：建立如图所示的坐标系：
因为正六边形的边长为2，所以，，，
设，则，所以，由题意可知，
所以，所以，即.故选：B
4．（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______．
【答案】-1
【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案.
【详解】，故，
因为，所以，又，
所以，解得：，
不妨设，，夹角为，则，
两边平方得：，
即，解得：，
因为，所以，故，夹角的余弦的最小值为-1.故答案为：-1
5．（2022秋·山东滨州·高三校考阶段练习）已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.
【答案】且
【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】由于与夹角为钝角，所以，解得且.
所以的取值范围是且.故答案为：且
高频考点5 . 向量在几何中的其他应用
【方法点拨】用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
1．（2023·山东滨州·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.
【详解】，，
，，为等腰三角形，
又，，，
又，所以，为等边三角形，故选：D.
2．（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）如图，正六边形的边长为1，______．
【答案】-1
【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可
【详解】由正六边形性质，，
.故答案为：-1.
3．（2022·高二课时练习）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
【答案】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用向量的几何意义求出，求出.
【详解】平行四边形中，，因为，所以，
根据向量的几何意义可知，解得：.故答案为：
4．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆的半径为2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是__________．
①；②的取值范围是；③当时，
④的最大值为12
【答案】②③
【分析】根据题设中的圆幂定理可判断①③的正误，取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断②的正误，根据直径的大小可判断④的正误．
【详解】如图，设直线与圆交于．则
，故①错误．
取的中点为，连接，则
，而，故的取值范围是，故②正确．
当时，
，故③正确．
因为，故，故④错误．故选：②③
5．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）在中，，，，则的周长为___________.
【答案】6
【分析】利用向量的几何意义确定三角形的形状即可求解.
【详解】设，则有均为单位向量，且与同向，与同向，
所以与的角平分线共线，
又因为，所以的角平分线与垂直，
即的角平分线与高线合一,所以为等腰三角形，且,
又由，得，
所以是等边三角形，则的周长为.故答案为:6.
高频考点6. 解析法在向量中的应用
【方法点拨】对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
1．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立如图所示直角坐标系，由向量的坐标运算得点C的轨迹，进而根据三角形相似将转为求线段和最短，即可将根据图形求解
【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，
则，，
由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，
取，则在AD上，则，
又，∴，∴，即，
∴.故选：D
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）已知正方形，边长为，动点自点出发沿运动，动点自点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若二者同时出发，且到达时停止，另一个点也停止，则该过程中的最大值是______．
【答案】
【分析】设点的运动速度为，运动时间为，以为坐标原点建立平面直角 ，分别在、、和的情况下，利用表示出坐标，利用向量数量积的坐标运算可将表示为关于的函数性质，利用二次函数性质可求得最大值.
【详解】不妨设点的运动速度为，则点的运动速度为，运动时间为；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立平面直角坐标系，
①当时，，，此时恒成立，；
②当时，，，，
则当时，；
③当时，，，
，则当时，；
④当时，，，
，则；
综上所述：的最大值为.
3．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，正八边形中，若，则的值为________．
【答案】
【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据
的坐标运算可得答案.
【详解】如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，
，所以，
，所以，
即轴，为等腰直角三角形，设，则，，
所以，所以，，与关于轴对称，所以，
，，，
由得，
即，解得，所以.故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．
4．（2022秋·湖北·高二华中科技大学附属中学校联考期中）在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用平面向量的线性运算易得的坐标表示，进而可求；由条件得到，从而得到点的轨迹，再利用平面向量的线性运算将所求转化为点到与的距离之和，故而利用点到圆上的点的最小值即可求得的最小值.
【详解】依题意，构建以为原点，为轴的直角坐标系，
所以，则
又，故，所以；
由知，
所以在以为直径的圆上，为圆心，不妨设，则，
因为，
所以，
故可转化为点到与的距离之和，
又，则在直线上，即对应线段，
所以要求，只需求的最小值即可，
而关于对称点为，故，此时，即，
所以的最小值为. 故答案为：；.
.
5．（2022·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围.
【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.
则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.故答案为：.
高频考点7 . 力的合成
【方法点拨】力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
1．（2022·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.
【详解】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，即
即,解得故选：D.
2．（2022·高二课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
【答案】D
【分析】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出，再化为千克即可得．
【详解】如图，，，作平行四边形，则是菱形，，
，所以，因此该学生体重为（kg）.故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的范围为 C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【详解】解：如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；
对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，
则有，变形得，，即，正确；
对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，故选：B．
4．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得物体的重力大小等于与合力的大小，然后根据向量的加法可求得结果
【详解】根据题意可得物体的重力大小等于与合力的大小，
因为，与水平夹角均为，所以，的夹角为，
所以，所以物体的重力大小为，故选：A
5．（2022·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为__牛顿.
【答案】6
【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可
【详解】设三个力，，分别对于的向量为：
则由题知所以 所以
又
所以 所以的大小为：6故答案为：6
高频考点8. 速度、位移的合成
【方法点拨】速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.
1．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（ ）
A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h
【答案】BC
【分析】设该船实际航行的速度为，由向量模的关系可得，由此求解可得到答案．
【详解】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，所以，
因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，
所以，则，所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．故选：BC．
2．（2022·高一课时练习）已知，，现有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，设P，Q在时分别在，处，则当时所需的时间t为______s.
【答案】2
【分析】根据题意，分别得到与，方向相同的单位向量，再由题中条件，表示出，的坐标，根据向量垂直列出方程求解，即可得出结果.
【详解】由题意得，则，与其方向相同的单位向量为，，则，与其方向相同的单位向量为，如图，
则，，故，，
又，，∴，，，∴.
∵，∴，即，解得.
故当时所需的时间t为.故答案为：2
3．（2022·高一课时练习）有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出南北两岸的距离，再计算快艇从北岸返回南岸的时间．
【详解】解：如图所示，
由题意知，，，所以，
所以南北两岸的距离为；
现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，所以，
即从北岸出发返回南岸的时间是．故答案为：．
4．（2022·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
【答案】(1)方向为与水流方向成，速度为
(2)方向与水流方向成，速度为
【分析】（1）用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得；
（2）同（1）用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解．
（1）如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度．
在中，，，所以．
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成．
（2）如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度．所以有，
所以，所以．
故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．
图① 图②
5．（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求出船只沿AB方向的速度为，，利用向量的数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度夹角.
（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，所以船只沿AB方向的速度为.由，，根据勾股定理可得：,所以，即由，得：，所以.
（2）因为，所以，即，解得：.即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为.
高频考点9. 功、动量的计算
【方法点拨】功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 在解决问题时要注意数形结合。
1．（2022春·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（ ）
A．-210 B．210 C．-270 D．270
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案.
【详解】由题意得=(5，10)，故力对冰球所做的功为·=5×6+24×10=270．故选：D.
2．（2022·高一课前预习）已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小，与的夹角为60°，则做的功为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．70
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义即可得出答案.
【详解】做的功为： .故选：D.
3．（2023·山东高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、 的合力对该质点所做的功为______．
【答案】
【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案.
【详解】由题意得：，，
则合力对该质点所做的功为.故答案为：24
4．（2023·高一课时练习）已知一物体在两力、的作用下，发生位移，则所做的功是________．
【答案】2
【分析】利用平面向量的数量积坐标运算求解.
【详解】解：因为、，所以，
又因为位移，所以所做的功是，故答案为：2
5．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；(2)，的合力对质点所做的功．
【答案】(1)120；-9 (2)111
【分析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【详解】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，所以做的功为．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022春·湖北·高一统考期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可.
【详解】，，
又，.故选：D.
2．（2022秋·福建厦门·高二校考阶段练习）图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为．已知礼物的质量为，降落伞自身的重量为，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度取，精确到）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果.
【详解】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，如图，
，在上的投影向量为，根绳子拉力的合力；
降落伞匀速下落，，，解得：.故选：C.
3．（2022春·宁夏银川·高一校考期中）在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【答案】D
【分析】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状.
【详解】由，可得，即，则四边形为平行四边形；
又由，可得，则平行四边形四边形为菱形 故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】从这个条件可以考虑设的中点为，从而得到三点共线可求.
【详解】设的中点为，则可化为
即为， 三点共线且，为等腰三角形，
由垂径定理得，代入数据得,
解之：，.故选：B.
5．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积去求长度即可.
【详解】中，点D在边上且，则
又，，，则
，即长度为 故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，同理证明即可求解.
【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与的夹角为，由，可得
，利用的范围可得答案.
【详解】如图所示，设与的夹角为，，所以，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，
又因为，
所以
，
因为，所以，所以当时最大，
此时，最大的值为.故选：A.
8．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知平面向量，，，其中，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算法则求出向量的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解.
【详解】依题意，因为，，且与的夹角为45°，建立直角坐标系，如图所示：
所以设，，则，
因为，所以，
所以整理得：，
由此可知，的终点在以为圆心，半径为1的圆上，
因为，其几何意义代表点到点的距离，
又因为点到点的距离为：，所以的最大值为：.故选：C.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·广东佛山·高二校考期中）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据点，，，，得到的坐标，然后逐项判断.
【详解】因为点，，，，
所以，
因为 ，所以，故正确；因为 ，所以，故正确；
因为，所以，故错误；
因为，所以不成立，故错误.故选：AB
10．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）在保证公平的情况下，两个人共同手提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为．下列结论正确的为（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．
C．当时， D．当时，
【答案】ABD
【分析】根据向量的定义和性质对选项逐一计算检验即可.
【详解】因为 为定值, , 解 得 ，
由题意知 时, 单调递减, 所以 单调递增,
即 越大越费力, 越小越省力, 故正确，正确;
当 时, , 所以 , 故C 错误 ;
当 时, , 所以，故D 正确.故选：ABD.
11．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（ ）
A．-3 B． C．20 D．15
【答案】BD
【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，设，得到，式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，作出辅助线，得到到点距离最值，求出的取值范围，选出正确答案.
【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向，所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系，
所以，，圆C的方程为，设，
则，
式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，
连接直线，交圆C于两点，
当位于点时，到点距离最大，最大距离为，
此时最大，最大为，
当位于点时，到点距离最小，最小距离为，
此时最小，最小为，
所以的取值范围是，
其中，.故选：BD.
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
12．（2022春·浙江温州·高二校联考期末）已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】设，.先判断出点P、Q在直线AB上，得到夹角为.由，得到.设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H.设，,得到.设，求出，得到：.把表示为，求出.
对照四个选项，得到正确答案.
【详解】设，
.
因为，所以点P、Q在直线AB上.
因为，所以，即夹角为.
因为，所以.
设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H.
设，,则.
设，因为，所以.
所以.
因为，所以，所以，
所以，即，解得：，
所以.
因为，所以.
对照四个选项，，，，.
故的值可以是CD.故选：CD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知O是内部一点，且满足，又，则的面积为______.
【答案】
【分析】由，可知O为的重心，则，再由平面向量数量积的运算结合三角形面积公式求解即可.
【详解】由及得，
所以，所以.
又，且O在内，所以O为的重心，所以.答案：
14．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测），若与不成锐角，则t的取值范围为__________．
【答案】
【分析】不成锐角则可能夹角为0或者为直角、钝角和平角，再分别列式求解即可
【详解】由题意，，因为与不成锐角，故夹角为0或者为直角、钝角和平角.当夹角为0时，与同向，故，故，解得；
当夹角为直角、钝角或平角时，，即，解得；
故t的取值范围为故答案为：
15．（2022春·湖北·高一校联考阶段练习）已知四边形为矩形，，动点满足，若，则的最大值为___________
【答案】##
【分析】以所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，设点，根据题意得到，结合，得到，设，得到，即可求解.
【详解】解：如图所示，以所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，
可得，则，设点，则，
因为，可得，可得，
又因为，所以，设，可得，
所以，
当时，取得最大值，最大值为.故答案为：.
16．（2022·天津南开·南开中学校考模拟预测）在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________．
【答案】 ##120°## ##0.5
【分析】用和表示，根据即可求出；设，根据用λ表示，根据二次函数性质即可求出最小时λ的值，从而求出．
【详解】
，
；
设，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°，
则，
∴当时，取最小值，则．故答案为：120°；．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】如图，
因为四边形为平行四边形，所以.
又在直线上,所以,
从而,所以,即与平行且相等，
所以四边形是平行四边形.
18．（2022·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：(1)，分别对该质点做的功；(2)，的合力对该质点做的功.
【答案】(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；(2)（）.
【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.
(1)根据题意，，，，
故对该质点做的功（）；
对该质点做的功（）.
(2)根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功（）.
19．（2022秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）如图，在中，，，，点在线段上，且．(1)求的长；(2)求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果；
（2）根据夹角公式可求出结果.
【详解】（1）设，，
则．
．
故．
（2）因为．
所以
20．（2022·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．(1)求和的值；(2)若，，，求与所成角的余弦值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；（2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可.
【详解】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点
则
又由可得，
（2）是与所成的角，设向量与所成的角为
，则
，则
则，
因为
所以所以与所成角的余弦值为.
21．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，，，，为边中点．(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值；
【答案】(1)(2)最小值为
【分析】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；
（2）根据点在上，设，求出、的坐标，则，利用二次函数配方求最值可得答案.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，所以，，，
为边中点，所以，，，则；
（2）若点满足，则点在上，
由（1），设，则，，
则，所以当时的最小值为.
22．（2022春·广东清远·高一校考阶段练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
【答案】(1)的左侧. (2)，航行小时. (3)
【分析】（1）只需确定在反方向上的分速度与的大小，即可判断游船航行到达的位置.
（2）要使游船能到达处则在反方向上的分速度与相等，列方程即可求，进而求垂直方向上的分速度，即可知航行时间.
（3）根据题设，求出水平方向上的位移大小，结合勾股定理即可求实际航程.
（1）由题设，在反方向上的分速度为，
∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
（2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为，
∴，故，又，此时，
∴垂直方向上的速度，∴.
（3）由（1）知：垂直方向航行时间为，
∴水平方向航行距离为，
∴游船航行到达北岸的实际航程.
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6.4.1-6.4.2 平面向量的应用（1）
【学习要求】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，达到直观想象核心素养水平一的要求；
2.理解掌握向量的模，夹角等公式，并能够用其解决一些几何问题，达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质；
3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型；
4.握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明确向量在物理中应用的基本题型。
【知识梳理】
1.平面几何中的向量方法
（1）向量在平面几何中的应用
① 平面两个向量的数量积：；
② 向量平行的判定: ；
③向量垂直的判定:；
④平面内两点间的距离公式： （其中，）
⑤求模：； ；
⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
（2）用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 在解决问题时要注意数形结合。
【高频考点】
高频考点1. 用向量证明线段垂直
【方法点拨】向量垂直的判定:；
1．（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.
2．（2022·山东高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
3．（2023·湖北·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
4．（2022·福建泉州·高一校考期中）在中，，对任意，有.（1）求角；（2）若，，且、相交于点.求证：.
高频考点2 . 用向量解决夹角问题
【方法点拨】设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则cos θ＝＝.
1．（2023·广东·高三专题练习）已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川广安·校考模拟预测）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知向量，，，若，则________；若与的夹角为钝角，则的取值范围为_________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，是的中点
(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；
(2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值．
5．（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求.
高频考点3 . 用向量解决线段的长度问题
【方法点拨】两点间的距离公式： （其中，）
求模：； ；
1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·高二课时练习）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2022·新疆·高一校考期末）如下图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.(1)求的模长(2)求的值.
高频考点4. 向量与几何最值
【方法点拨】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
1．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
3．（2022春·重庆沙坪坝·高一校考期中）如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12]
4．（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______．
5．（2022秋·山东滨州·高三校考阶段练习）已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.
高频考点5 . 向量在几何中的其他应用
【方法点拨】用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
1．（2023·山东滨州·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2．（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）如图，正六边形的边长为1，______．
3．（2022·高二课时练习）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
4．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆的半径为2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是__________．
①；②的取值范围是；③当时，
④的最大值为12
5．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）在中，，，，则的周长为___________.
高频考点6. 解析法在向量中的应用
【方法点拨】对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
1．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）已知正方形，边长为，动点自点出发沿运动，动点自点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若二者同时出发，且到达时停止，另一个点也停止，则该过程中的最大值是______．
3．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，正八边形中，若，则的值为________．
4．（2022秋·湖北·高二华中科技大学附属中学校联考期中）在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______.
5．（2022·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．
高频考点7 . 力的合成
【方法点拨】力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
1．（2022·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7 B． C． D．1
2．（2022·高二课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A． B．61 C．75 D．60
3．（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的范围为 C．当时， D．当时，
4．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为__牛顿.
高频考点8. 速度、位移的合成
【方法点拨】速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.
1．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（ ）
A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h
2．（2022·高一课时练习）已知，，现有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，设P，Q在时分别在，处，则当时所需的时间t为______s.
3．（2022·高一课时练习）有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．
4．（2022·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：．
5．（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
高频考点9. 功、动量的计算
【方法点拨】功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 在解决问题时要注意数形结合。
1．（2022春·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（ ）
A．-210 B．210 C．-270 D．270
2．（2022·高一课前预习）已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小，与的夹角为60°，则做的功为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．70
3．（2023·山东高一单元测试）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则、 的合力对该质点所做的功为______．
4．（2023·高一课时练习）已知一物体在两力、的作用下，发生位移，则所做的功是________．
5．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；(2)，的合力对质点所做的功．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022春·湖北·高一统考期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
2．（2022秋·福建厦门·高二校考阶段练习）图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为．已知礼物的质量为，降落伞自身的重量为，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度取，精确到）．
A． B． C． D．
3．（2022春·宁夏银川·高一校考期中）在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
4．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
7．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知平面向量，，，其中，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·广东佛山·高二校考期中）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）在保证公平的情况下，两个人共同手提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为．下列结论正确的为（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．
C．当时， D．当时，
11．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（ ）
A．-3 B． C．20 D．15
12．（2022春·浙江温州·高二校联考期末）已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知O是内部一点，且满足，又，则的面积为______.
14．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测），若与不成锐角，则t的取值范围为__________．
15．（2022春·湖北·高一校联考阶段练习）已知四边形为矩形，，动点满足，若，则的最大值为___________
16．（2022·天津南开·南开中学校考模拟预测）在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
18．（2022·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：(1)，分别对该质点做的功；(2)，的合力对该质点做的功.
19．（2022秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）如图，在中，，，，点在线段上，且．(1)求的长；(2)求．
20．（2022·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．(1)求和的值；(2)若，，，求与所成角的余弦值．
21．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，，，，为边中点．(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值；
22．（2022春·广东清远·高一校考阶段练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
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