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6.4.3 平面向量的应用（2）-正余弦定理及其应用
【学习要求】
1.掌握余弦定理的证明方法，牢记余弦定理公式，能够从余弦定理得到它的推论.
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形.
3.掌握正弦定理和基本变形及其推导过程，能够运用正弦定理解三角形、正弦定理的用途.
4.能够灵活应用正余弦定理解决实际问题.
【思维导图】
【知识梳理】
1．正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R．
2．由正弦定理导出的结论
(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)A3．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC。
推论：在△ABC中，cosA＝，cosB＝,cosC＝。
4．三角形的面积公式
由正弦定理可得三角形的面积S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
5．解三角形：一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
1）应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
(1)已知三角形的任意两个角与一边，解三角形．(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
2）应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
(1)已知三角形的两边及其夹角，解三角形．(2)已知三角形的三边，解三角形．
【高频考点】
高频考点1. 已知三边解三角形
【方法点拨】已知三角形的三边，解三角形用余弦定理。
1、（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以由余弦定理得，
又，则．故选：B.
2．（2022·山西·晋中高一阶段练习）在三角形中，，则大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，故选：D.
3．（2022·广西河池·高二期末）已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设三角形三边分别为2、3、4，则最大，
所以.故选：B
4.（2022春·浙江丽水·高一校考阶段练习）在中，，则的最小角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，在中，，
因为，所以的最小角为，所以，
又因为，所以.故选：C.
高频考点2 . 已知两边及夹角解三角形
【方法点拨】已知三角形的两边及其夹角，解三角形用余弦定理
1.（2022春·四川眉山·高一统考期末）在中，已知，，，则边（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由余弦定理可得 所以 故选：B
2．（2021·北京·高二学业考试）在中，那么（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【详解】解：由余弦定理得.故选：A
3．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在中，，，，则=___________.
【答案】
【详解】在中，，AB=1，AC=2，由余弦定理得：
，则，
所以.故答案为：
高频考点3 . 已知两边和其中一边的对角解三角形
【方法点拨】已知两边和其中一边的对角解三角形用余弦定理或正弦定理均可。
1.（2022春·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）已知中，，则B等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【解析】中，因为，所以，
因为，所以，又，所以或.故选：A.
2.（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
由正弦定理得.故选：B.
2．（2022·北京市高三期中）在中，角所对的边分别为，，，，，，那么等于（ ）
A．1 B．2 C．1或4 D．4
【答案】D
【详解】解：在△ABC中，b，c，B，
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，即7=3+a2-2aa2-3a+3，
解得a=4或a=-1（舍），故选：D.
4．（2022·湖南·高二期中）在中，分别为角的对边，若，，，则=___________.
【答案】3
【详解】由余弦定理得，
即，因为，所以.故答案为：3.
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则边的大小为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】因为，
所以由余弦定理可得，即，解得或，
当或时，均能构成三角形故选：D
高频考点4. 已知两角及任意一边解三角形
【方法点拨】已知两角及任意一边解三角形用正弦定理。
1、（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得：.故选：C.
2、（2022·高一课时练习）中，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】因为，，所以
由正弦定理知：，所以.故选：B
3、（2022·高一课时练习）在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，．
由正弦定理可知，所以，
故．故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为cos A＝，所以，
所以
由正弦定理：，得：.故选：C
5．（2022·河北衡水中学模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【详解】因为且，所以，．
又，由正弦定理，得，即，解得．故选：D．
高频考点5 . 判断三角形解的个数
【方法点拨】已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absinA 两解
a＝bsinA 一解
a已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
1、（2022·高一课时练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解，故选：C
2、（2022·高一课时练习）在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，得，
因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.故选：C.
3、（2022春·青海西宁·高一统考期末）在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
【答案】A
【解析】由正弦定理可知：，
显然不存在这样的角，故选：A
4、（2022春·江西萍乡·高一统考期末）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A：由，则，而，无解；
B：由，则，而，有唯一解；
C：由，则，而，有两解；
D：由，则，而，有两解；故选：B
5、（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）
A．0＜a≤2 B．2＜a≤2 C．0＜a≤2或a≥2 D．0＜a≤2或a＝2
【答案】D
【解析】由正弦定理得：，所以，
因为，所以，
因为仅有唯一解，所以A，C的值确定，
当时，，仅有唯一解，此时，则0＜a≤2，
当时，，仅有唯一解，此时，
当，且时，有两解，不符合题意，
综上：0＜a≤2或．故选：D．
高频考点6. 判断三角形的形状
【方法点拨】判断三角形形状的思路：
1.转化为三角形的边来判断：
设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
(1)△ABC为直角三角形 a2＋b2＝c2；
(2)△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2；
(3)△ABC为钝角三角形 a2＋b2(4)按等腰或等边三角形的定义判断.
2.转化为角的三角函数(值)来判断：
(1)若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；
(2)若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；
(3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；
(4)若sin2A+sin2B=sin2C，则C=90°，△ABC为直角角形；
(5)若sinA=sinB或sin(A-B)=0，则A=B，△ABC为等腰三角形；
(6)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.
在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.
1.（2022春·河南信阳·高一校考阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理可得，
因为，所以，整理可得.故选：B
2.（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】向量，共线，．
由正弦定理得：．．
，，所以则，，即．
同理由，共线，可得．形状为等边三角形．故选：A．
3.（2022春·天津·高一校联考期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】因为，所以
所以，即，
因为，所以，因为，所以，
因为，所以，即是直角三角形.故选：A
4、（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】，由正弦定理可知，，因为，
所以，所以，
即 所以，所以，，
因为、、是三角形内角，所以．所以是等腰三角形．故选：A．
5、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】，由正弦定理化简得，
即，故，，
则或，即或，故选：C
高频考点7 . 三角形面积(周长)及外接圆半径有关的问题
【方法点拨】由正弦定理可得三角形的面积S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
正弦定理：＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．
1、（2022春·陕西西安·高一校考阶段练习）在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
又，解得，，
又由可得，所以的面积为，故选：D
2、（2022春·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）在中，的面积等于，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】，，的面积等于，解得：，
由余弦定理可得：．故选：C．
3、（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，又，所以，
所以，又，所以，
所以，又，所以，
所以，
所以，故选：A.
4.（2022春·湖北武汉·高一校考阶段练习）已知的内角的对边分别为.若的面积为，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可得，而三角形面积为，
故，整理得到，而为三角形内角，故.故选：C.
5.（2022春·四川绵阳·高一校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则外接圆半径等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】设外接圆半径为，根据正弦定理可得，
所以，即外接圆半径为.故选：D
6.（2022春·河北保定·高一校考阶段练习）在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．-2
【答案】B
【解析】在中，，则，解得，
由余弦定理得：，令外接圆半径为R，
由正弦定理得：，解得，所以三角形外接圆的半径为2.故选：B
高频考点8. 正弦定理边角互化的应用正弦定理
【方法点拨】边化角是正弦定理齐次比例关系非常重要的应用，其主要特点是将混有边角关系的条件问题转化为三角恒等变换问题，并从角的角度来审视三角形的特征，这在高考的全国卷中比较常见，因此要熟练掌握边化角的三角形考题的特征，一般来说，当条件中含有特殊数，如(往往和特殊角有关)或者齐次特征明显时，常进行边化角处理.
对于正弦定理与三角恒等变换的综合问题，大多是基于三角形内角和定理展开的，故一般有两种类型：一是利用相应半角的互余关系、角的互补关系研究三角恒等变换，进而达到减元的目的，也就可以盯着目标进行三角恒等变换；二是利用正弦定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用三角恒等变换转化为一个角的三角函数问题.
由正弦定理导出的结论：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．(3)A1、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，又因为，所以．故选：B．
2、（2022春·江苏苏州·高一江苏省木渎高级中学校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.
【答案】
【解析】
由正弦定理有：
，
3、（2022·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】因为，所以，
即；因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.故选：B.
4.（2022·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，
由正弦定理可得，
所以，即，
因为，所以，因为，所以.故选：D.
5、（2022春·北京延庆·高一统考期末）已知中，.
（1）求的大小；（2）若，求.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）∵中，，∴，
∴，又，∴，又，∴；
（2）∵，，∴，
∴，解得或（舍去）∴.
高频考点9. 利用正弦（余弦）定理求范围或最值
【方法点拨】最值问题常用均值不等式或转化为函数（三角函数）处理新函数值域即可。
1.（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，整理可得：，
由余弦定理可得：，
由为三角形内角，即，可得：.故选：C．
2.（2022·高一课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在锐角中，，
所以，得，则
所以，
令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
又，，所以的最小值为.故选：B
3．（2022·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，
即由正弦定理化简得
即故选：.
4．（2022·黑龙江·二模）已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于 ，， ，
且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ，
由于 ，所以 ，，故 .故选：A
5．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，且，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量的夹角，利用函数的性质求解范围即可.或者利用向量的线性运算，结合三角形余弦定理，由不等式的性质进行求解.
【详解】解法一：因为，所以以BD、CE所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
设，因为D为AC中点，E为AB中点，
，，，，则，
令，因为，所以，所以，所以，
，
因为的对称轴方程为，
所以，所以的取值范围为．故答案为．
解法二：由已知，，又因为，所以，即，则，则，，
所以，又由余弦定理得，
所以，所以，即，因为，所以，从而，
又因为，所以，所以．故答案为:．
高频考点10. 解三角形在实际应用
【方法点拨】利用解三角形解决实际问题的方法步骤
1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。
2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
1.（2022春·北京大兴·高一统考期末）如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，故，
由正弦定理，，故m故选：D
2.（2022春·安徽蚌埠·高一统考期末）如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）.
【答案】
【解析】因为，所以.
因为，所以，所以为等边三角形，所以.
在中，,,
所以.
由正弦定理得：，即，解得：.
在中，,,,由余弦定理解得：
.
故答案为：
3.（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在，，，，
又，
由正弦定理得：，，
树的高度为(m).故选：A．
4.（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，因为，则为等腰直角三角形，
故，
在中，，，则，
由正弦定理可得，，
在中，，又因为，则.故选：C.
5.（2022春·河南·高一校联考阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理可得
在中，易知，
则整理可得故选：D
高频考点11. 综合运用正弦定理、余弦定理解三角形
【方法点拨】解三角形的综合应用问题常见的有：
(1)正、余弦定理和三角变换相结合，一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，然后求角、求值或证明三角恒等式、判断三角形的形状等．
(2)三角形与平面向量结合命题，先利用向量的平行、垂直等条件脱去向量外衣，转化为纯三角函数问题．然后依据三角公式和解三角形知识求解
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习）如图，在圆内接中，角所对的边分别为，满足.（1）求的大小；（2）若点是劣弧上一点，，，，求线段的长.
【答案】（1）（2）
（1）已知，根据正弦定理可得：
，∴，
因为，∴.∴，∴.
（2）在中，由余弦定理可得，
由，可得，又，所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，∴.
2．（2021·全国全国·模拟预测）如图，四边形中，，，，且为锐角．（1）求；（2）求的面积．
【答案】（1）（2）
（1）由已知，
∵是锐角，∴．
由余弦定理可得，则．
∵，∴BD是四边形外接圆的直径，
∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知
（2）由，，，，则,,
又，则，因此，
故的面积为．
3．（2022·广东·深圳高一阶段练习）如图，在中，内角所对的边为，已知，，（1）求角；（2）求边.
【答案】（1）C=45°（2）
（1）解：在△ABC中，因为A=60°，B=75°，所以角；
（2）解：在△ABC中，因为a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，
所以由正弦定理有，即，解得.
4．（2022·黑龙江·哈尔滨高三阶段练习）如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
（1）在三角形中，∵，∴，
在中，由正弦定理得，
又，，，
∴.
（2）∵，∴，，
又的面积为，∴，
∵，∴，∴，
在中，由余弦定理得，
∴，在中，由正弦定理得
∴.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在中，角对应的边分别为若，，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．3
【答案】A
【详解】由正弦定理可知，；
因为，，，所以；
因为，所以或（舍）.故选：A.
2．（2022·广西·南宁市高二期中）中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：∵，，，∴由正弦定理可得，
∵，可得或120°，∴或30°，
∴或．故选：D．
3．（2023·江西·高三阶段练）如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由正弦定理，，即，故，
所以，所以，
所以由余弦定理，.故选：D．
4.（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解 B．，，，有一解
C．，，，有一解 D．，，，无解
【答案】D
【解析】因为，，如图于，
由直角可得.
当或时，有一解；当时，无解；当时，有两解.
结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.故选：D
5、（2022·吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由，得，化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
因为，
所以由正余弦定理角化边得，化简得，所以，
所以为等边三角形，故选：B
6.（2022·高一课时练习）已知分别为三个内角的对边，且，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理及得.
又因为在中，，
所以，整理得.
因为在，，所以，即.
又因为，所以.
又，所以.故选:A.
7.（2022春·河南周口·高一校考期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直角三角形ABM中，
在△ACM中，，
故 由正弦定理，，
故
在直角三角形CDM中，，
∵
∴.故选：D
8．（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为的面积等于，
所以，由正弦定理得，
所以，因为，所以，
因为，所以由正弦定理得,
可得，所以
，因为，所以，
所以，所以，所以故选：D
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022·高一课时练习）设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】正弦定理得，又，，，
，则，，故或，或，故选：BD．
10．（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）在中，，，，下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理判断选项A，利用数量积的性质判断选项B和C，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D．
【详解】解：A：若，由正弦定理得，，则 A正确；
B：若，则，，即为钝角，
为钝角三角形，故 B错误；
C：若，则，为直角三角形，故 C正确；
D：若，则，
， ，由余弦定理知，
，则，
，，为直角三角形，故 D正确．故选：ACD．
11．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若A=2C，且，为的内心，则的面积为
【答案】ACD
【分析】根据条件求出.
选项A：根据条件求角A，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b的取值范围；
选项C：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角A的范围，从而求边的范围；
选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求的内切圆半径，从而求的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得,
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，
所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,故 ,解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，所以，因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.
【点睛】在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到.
②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中A=2C，综合三个角为锐角有,得.
12、（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，由正弦定理可得，所以，
又为锐角三角形，所以，，
所以，正弦函数在上单调递增，
所以，所以，A正确；
因为为锐角三角形，所以，，，
所以，，，所以，B正确；
因为，所以，所以，所以，
因为，所以，C错误；
因为，由余弦定理可得，
所以，所以，D正确，故选：ABD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．
【答案】直角三角形
【解析】因为
据正、余弦定理得：，
，即，
化简得：，
，
，即，所以为直角三角形
5、（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的外接圆半径为___________.
【答案】5
【解析】由余弦定理可得，
又，所以，
所以，
所以，
所以，其中，，
又，当且仅当时等号成立，
又， 所以，
所以，时等号成立，
所以，
所以的外接圆半径.
14．（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为、，，且，则大跳台最高高度______.
【答案】60
【分析】据题意，分别得出，.然后在，根据余弦定理，即可求出的值.
【详解】由已知可得，，，.
则在中，，所以.同理可得，.
在中，有，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得（舍去负值）.
所以，.故答案为：60.
15.（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为：，所以，
由正弦定理有：,
而,
又因为为钝角三角形，不妨设,则，
则,所以,
所以外接圆的半径.
16．（2022·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为已知，则的面积最大值为__________，此时__________.
【答案】 ；
【分析】解法一：先由余弦定理求得，结合平方关系表示出，再由面积公式结合二次函数的性质即可求得面积最大值，再由正弦定理即可求得
解法二：根据阿波罗尼斯圆的定义与等合比性质结合计算即可.
【详解】解法一：由已知得.
，
当且仅当时，取到最大值9，此时，又（为外接圆半径），则.
解法二：,根据阿波罗尼斯圆的定义可知，
的轨迹为圆，圆的半径为；
根据等合比性质：（此时可根据最值条件得出）
故答案为：，
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2022·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：
（1）；（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：
．
（2）由正弦定理得，
所以 ，．
同理，，
从而
．
18．（2022秋·贵州遵义·高三统考期中）的内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角即可；
（2）利用等面积法结合余弦定理，求出的值即可求得的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，化简得，
所以由余弦定理得，又因为所以.
（2）如图所示
因为即，
化简得①,
又由余弦定理得即②，
①②联立解得（舍去）或，所以
19．（2022春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；(2)求边上的中线长．
【答案】(1)最大值为(2)
【分析】（1）先判断为最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值.
（2）由可得求中线长.
(1)
，故有，
由余弦定理可得，
又，，故．
(2)
设边上的中线为，则，
，
，即边上的中线长为．
20．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
21．（2022·全国·高一课时练习）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260m，经测量，，.（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】
（1）1040m（2）（3）
（1）
由题意，，
在中，，
由正弦定理，得.
所以，索道AB的长为1040m.
（2）
假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，
此时甲行走了，乙距离A处，
由余弦定理得
，
因为，即，
则当时，甲、乙两游客之间距离最短.
（3）
由正弦定理，得，
乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，
设乙步行的速度为，
由题意得，
所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内
22．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别是，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解；
(2)根据正弦定理可得，，从而，再根据，即可得到，利用三角函数的性质即可求取值范围.
【详解】（1）选择条件①：
，
所以，于是，又，所以.
选择条件②：
因为，
解得，又，所以.
选择条件③：
则，
由正弦定理得：，
即，
整理得：，
由得：，又，所以.
（2）由（1）知，，为锐角三角形，所以，
由正弦定理，得，，
于是，
化简得，，
因为,所以，所以，
，
故的取值范围为.
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6.4.3 平面向量的应用（2）-正余弦定理及其应用
【学习要求】
1.掌握余弦定理的证明方法，牢记余弦定理公式，能够从余弦定理得到它的推论.
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形.
3.掌握正弦定理和基本变形及其推导过程，能够运用正弦定理解三角形、正弦定理的用途.
4.能够灵活应用正余弦定理解决实际问题.
【思维导图】
【知识梳理】
1．正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R．
2．由正弦定理导出的结论
(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)A3．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC。
推论：在△ABC中，cosA＝，cosB＝,cosC＝。
4．三角形的面积公式
由正弦定理可得三角形的面积S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
5．解三角形：一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
1）应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
(1)已知三角形的任意两个角与一边，解三角形．(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
2）应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
(1)已知三角形的两边及其夹角，解三角形．(2)已知三角形的三边，解三角形．
【高频考点】
高频考点1. 已知三边解三角形
【方法点拨】已知三角形的三边，解三角形用余弦定理。
1、（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西·晋中高一阶段练习）在三角形中，，则大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西河池·高二期末）已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·浙江丽水·高一校考阶段练习）在中，，则的最小角为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 . 已知两边及夹角解三角形
【方法点拨】已知三角形的两边及其夹角，解三角形用余弦定理
1.（2022春·四川眉山·高一统考期末）在中，已知，，，则边（ ）
A． B．3 C． D．2
2．（2021·北京·高二学业考试）在中，那么（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在中，，，，则=___________.
高频考点3 . 已知两边和其中一边的对角解三角形
【方法点拨】已知两边和其中一边的对角解三角形用余弦定理或正弦定理均可。
1.（2022春·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）已知中，，则B等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
2.（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·北京市高三期中）在中，角所对的边分别为，，，，，，那么等于（ ）
A．1 B．2 C．1或4 D．4
4．（2022·湖南·高二期中）在中，分别为角的对边，若，，，则=___________.
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则边的大小为（ ）
A． B． C． D．或
高频考点4. 已知两角及任意一边解三角形
【方法点拨】已知两角及任意一边解三角形用正弦定理。
1、（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·高一课时练习）中，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．1
3、（2022·高一课时练习）在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北衡水中学模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．2 B． C． D．1
高频考点5 . 判断三角形解的个数
【方法点拨】已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absinA 两解
a＝bsinA 一解
a已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
1、（2022·高一课时练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
2、（2022·高一课时练习）在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定
3、（2022春·青海西宁·高一统考期末）在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
4、（2022春·江西萍乡·高一统考期末）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C． D．
5、（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）
A．0＜a≤2 B．2＜a≤2 C．0＜a≤2或a≥2 D．0＜a≤2或a＝2
高频考点6. 判断三角形的形状
【方法点拨】判断三角形形状的思路：
1.转化为三角形的边来判断：
设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
(1)△ABC为直角三角形 a2＋b2＝c2；
(2)△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2；
(3)△ABC为钝角三角形 a2＋b2(4)按等腰或等边三角形的定义判断.
2.转化为角的三角函数(值)来判断：
(1)若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；
(2)若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；
(3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；
(4)若sin2A+sin2B=sin2C，则C=90°，△ABC为直角角形；
(5)若sinA=sinB或sin(A-B)=0，则A=B，△ABC为等腰三角形；
(6)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.
在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.
1.（2022春·河南信阳·高一校考阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
2.（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3.（2022春·天津·高一校联考期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4、（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
高频考点7 . 三角形面积(周长)及外接圆半径有关的问题
【方法点拨】由正弦定理可得三角形的面积S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
正弦定理：＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．
1、（2022春·陕西西安·高一校考阶段练习）在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
2、（2022春·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）在中，的面积等于，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
3、（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（ ）
A． B． C． D．1
4.（2022春·湖北武汉·高一校考阶段练习）已知的内角的对边分别为.若的面积为，则角（ ）
A． B． C． D．
5.（2022春·四川绵阳·高一校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则外接圆半径等于（ ）
A．2 B． C． D．1
6.（2022春·河北保定·高一校考阶段练习）在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．-2
高频考点8. 正弦定理边角互化的应用正弦定理
【方法点拨】边化角是正弦定理齐次比例关系非常重要的应用，其主要特点是将混有边角关系的条件问题转化为三角恒等变换问题，并从角的角度来审视三角形的特征，这在高考的全国卷中比较常见，因此要熟练掌握边化角的三角形考题的特征，一般来说，当条件中含有特殊数，如(往往和特殊角有关)或者齐次特征明显时，常进行边化角处理.
对于正弦定理与三角恒等变换的综合问题，大多是基于三角形内角和定理展开的，故一般有两种类型：一是利用相应半角的互余关系、角的互补关系研究三角恒等变换，进而达到减元的目的，也就可以盯着目标进行三角恒等变换；二是利用正弦定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用三角恒等变换转化为一个角的三角函数问题.
由正弦定理导出的结论：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．(3)A1、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A． B． C． D．或
2、（2022春·江苏苏州·高一江苏省木渎高级中学校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.
3、（2022·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.（2022·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022春·北京延庆·高一统考期末）已知中，.
（1）求的大小；（2）若，求.
高频考点9. 利用正弦（余弦）定理求范围或最值
【方法点拨】最值问题常用均值不等式或转化为函数（三角函数）处理新函数值域即可。
1.（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·高一课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江·二模）已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，且，则的取值范围为___________．
高频考点10. 解三角形在实际应用
【方法点拨】利用解三角形解决实际问题的方法步骤
1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。
2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
1.（2022春·北京大兴·高一统考期末）如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022春·安徽蚌埠·高一统考期末）如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）.
3.（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022春·河南·高一校联考阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点11. 综合运用正弦定理、余弦定理解三角形
【方法点拨】解三角形的综合应用问题常见的有：
(1)正、余弦定理和三角变换相结合，一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，然后求角、求值或证明三角恒等式、判断三角形的形状等．
(2)三角形与平面向量结合命题，先利用向量的平行、垂直等条件脱去向量外衣，转化为纯三角函数问题．然后依据三角公式和解三角形知识求解
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习）如图，在圆内接中，角所对的边分别为，满足.（1）求的大小；（2）若点是劣弧上一点，，，，求线段的长.
2．（2021·全国全国·模拟预测）如图，四边形中，，，，且为锐角．（1）求；（2）求的面积．
3．（2022·广东·深圳高一阶段练习）如图，在中，内角所对的边为，已知，，（1）求角；（2）求边.
4．（2022·黑龙江·哈尔滨高三阶段练习）如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在中，角对应的边分别为若，，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．3
2．（2022·广西·南宁市高二期中）中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2023·江西·高三阶段练）如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解 B．，，，有一解
C．，，，有一解 D．，，，无解
5、（2022·吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6.（2022·高一课时练习）已知分别为三个内角的对边，且，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
7.（2022春·河南周口·高一校考期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022·高一课时练习）设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）在中，，，，下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
11．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若A=2C，且，为的内心，则的面积为
12、（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．
5、（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的外接圆半径为___________.
14．（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为、，，且，则大跳台最高高度______.
15.（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．
16．（2022·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为已知，则的面积最大值为__________，此时__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2022·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：
（1）；（2）．
18．（2022秋·贵州遵义·高三统考期中）的内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．
19．（2022春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；(2)求边上的中线长．
20．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
21．（2022·全国·高一课时练习）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260m，经测量，，.（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
22．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别是，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
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