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6.5 平面向量及其应用 章末检测
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）正方形的边长为1，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.
【详解】在正方形中，如图所示,
， 故选：D.
2．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）已知，平面向量，，若，则实数的值为( )
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据两向量垂直，它们的数量积为零，结合向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示即可求出λ的值．
【详解】，，，
，
∵，∴﹒故选：A．
3．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），故.故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
4．（2023·江苏·高一专题练习）如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用向量的线性运算计算即可.
【详解】因为，为以的直径的半圆的两个三等分点则//，且
又为线段的中点，为的中点
故选：A.
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决.
【详解】由题知，，所以，
设与夹角为，所以在上的投影向量是，故选：.
6．（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则 B．若满足，则
C．若，则 D．若，则为锐角三角形
【答案】B
【分析】A.利用平面向量的数量积定义求解判断；利用余弦定理判断B、C； D.由正弦定理将角化边，再利用余弦定理判断.
【详解】解：对于A：因为为等边三角形且边长为2，所以，故A错误；对于B：因为，即，
所以，因为，所以，故B正确；
对于C：因为，可得，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；
对于D：因为，即，即，
所以，则角为锐角，但角，角不确定，故D错误；故选：B
7．（2022秋·山东日照·高三校联考开学考试）已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，．由得，设，，得 可得答案．
【详解】不妨设，，，且，
因为，所以，设，，
，，所以，
由于，故．故选：D．
【点睛】本题考查了用向量的坐标运算求取值范围的问题，解题的关键点是设，，转化为坐标运算，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
8．（2022·陕西咸阳·校考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，利用余弦定理和面积公式，化简得到，结合，得到，即可求解.
【详解】由，可得，由余弦定理可得.
因为的面积，所以，
因为，所以，
故当时，取得最大值3，此时.故选：B.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022秋·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】根据图形，结合向量的线性运算及数量积运算，对选项逐一判断即可.
【详解】
因为为正六边形，即每个内角都为 对于A，,故A错误.
对于B，连接,，则为等边三角形，设六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以 即，故B正确.
对于C，由B选项可知，且，故C正确.
对于D，因为，所以在上的投影向量为故D，正确.
故选:BCD.
10．（2022秋·吉林长春·高三长春市第八中学校考阶段练习）已知向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【分析】对A，，列方程求解即可判断；
对B，，求解即可判断；
对CD，设，结合向量坐标运算法则，由向量相等列方程组求解即可判断.
【详解】对A，若，则，可解得，A对；
对B，若，则，可解得，B错；
对CD，，设，则，
则，解得，故C错，D对.故选：AD
11．（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）在中，，，，下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则 B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理判断选项A，利用数量积的性质判断选项B和C，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D．
【详解】解：A：若，由正弦定理得，，则 A正确；
B：若，则，，即为钝角，
为钝角三角形，故 B错误；
C：若，则，为直角三角形，故 C正确；
D：若，则，， ，
由余弦定理知，，则，
，，为直角三角形，故 D正确．故选：ACD．
12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的长度为 B．扇形的面积为
C．当与重合时， D．当时，四边形面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.
【详解】解：依题意圆的半径，，，，
所以的长度为，故A正确；
因为，所以扇形的面积，故B错误；
当与重合时，即，则，则，故C正确；
因为，所以
所以当，即时，故D正确；故选：ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知向量，，且，则______．
【答案】
【分析】由向量平行,可得的坐标形式，之后可得答案.
【详解】由题，因，则，解得，则.得.故答案为:
14．（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为、，，且，则大跳台最高高度______.
【答案】60
【分析】据题意，分别得出，.然后在，根据余弦定理，即可求出的值.
【详解】由已知可得，，，.
则在中，，所以.同理可得，.
在中，有，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得（舍去负值）.所以，.答案：60.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，且，，则的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】利用向量数量积的几何意义，结合题给图像数形结合去求的取值范围
【详解】由题设，，，，，B、C在以O为圆心半径为的圆上，
又，则．因为，记与的夹角为，
①当时，，；②当时，由对称性可设，
∴，∴，， ∴，，
∴；综上，结合图像可得，
所以．故答案为：．
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M坐标然后可得，再用坐标表示出，由二次函数性质可得所求范围.
【详解】因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，因为，，所以
则，设
因为，所以解得，所以
又所以
因为，所以当时，有最小值，
当时，有最大值，所以的取值范围为故答案为：，
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知，，与的夹角是．
(1)计算；(2)当为何值时，？
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出的值．
【详解】（1）解：由已知，
所以．
（2）解：若，则，
，则，．
18．（2022秋·陕西咸阳·高二陕西咸阳中学校考期中）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；(2)求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的长；
（2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】（1）解：由余弦定理可得，
所以，.
（2）解：由余弦定理可得，
所以，，则为锐角，故，因此，.
19．（2022春·天津和平·高一校联考期末）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，．(1)求a的长；(2)求的面积．
【答案】(1)3(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，然后结合余弦定理可求，.（2）先求得，再利用三角形的面积公式即可求解．
(1)
由结合正弦定理得，即，
因为，，
由余弦定理可得，，
解得，，，
(2)
，
则的面积．
20．（2022春·江苏盐城·高一校考阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．
(1)若是线段的中点，，求的值；(2)若，，求解.
【答案】．(1)；(2)4.
【分析】（1）根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示出来，从而可求出，进而可求出的值；（2）根据平面向量基本定理结合已知条件将，用表示出来，再由列方程可求出.
【详解】（1）因为点在边上，且，所以，
因为是线段的中点，所以，
因为，不共线，所以，所以；
（2）由题意可得，，
因为，所以，
所以，所以，
因为，，所以，得，所以.
21．（2023春·广东汕尾·高三校考期末）在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，．(1)求证：△为等腰三角形；(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．
条件①：△的面积为；条件②：△的周长为20．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理，结合，求得，通过判断，即可证明；
（2）选择①，根据结合面积公式，求得；再根据等面积法即可求得；
选择②，根据三角形周长结合等量关系，求得，再根据等面积即可求得.
【详解】（1）因为，由余弦定理可得：，又，设，
则，解得（舍）或，
故△为等腰三角形，即证.
（2）选①：△的面积为，
由，可得，又，故，
则，又，故可得，又，则，
因为AC边上的高为h，故，故可得；
选②：△的周长为20，
则，即，结合可得，
由，可得，又，故，
则，即，解得.
综上所述，选择①②作为条件，均有.
22．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【答案】(1)，，(2)(3)，最小值
【分析】（1）利用任意角三角函数的定义易求、、的坐标；
（2）利用平面向量的夹角公式求解即可；
（3）设，用表示点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解
（1）因为半圆的直径，由题易知：又，.
又，，则，，即.
（2）由（1）知，，，所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）设，由（1）知，，，，所以，
又因为，所以当时，有最小值为，此时点的坐标为.
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6.5 平面向量及其应用 章末检测
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）正方形的边长为1，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）已知，平面向量，，若，则实数的值为( )
A．2 B． C． D．4
3．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
4．（2023·江苏·高一专题练习）如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则 B．若满足，则
C．若，则 D．若，则为锐角三角形
7．（2022秋·山东日照·高三校联考开学考试）已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陕西咸阳·校考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022秋·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．在上的投影向量为
10．（2022秋·吉林长春·高三长春市第八中学校考阶段练习）已知向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
11．（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）在中，，，，下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则 B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形
12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的长度为 B．扇形的面积为
C．当与重合时， D．当时，四边形面积的最大值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知向量，，且，则______．
14．（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为、，，且，则大跳台最高高度______.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，且，，则的取值范围是_____________．
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知，，与的夹角是．
(1)计算；(2)当为何值时，？
18．（2022秋·陕西咸阳·高二陕西咸阳中学校考期中）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
(1)求、两地之间的距离；(2)求.
19．（2022春·天津和平·高一校联考期末）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，．(1)求a的长；(2)求的面积．
20．（2022春·江苏盐城·高一校考阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．(1)若是线段的中点，，求的值；(2)若，，求解.
21．（2023春·广东汕尾·高三校考期末）在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，．(1)求证：△为等腰三角形；(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．
条件①：△的面积为；条件②：△的周长为20．
22．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
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