第一单元《整式的乘除》单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学七年级下册第一单元《整式的乘除》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，计算正确的是( )
A. B. C. D.
2. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 已知，，则等于 ( )
A. B. C. D.
5. 下列运算错误的是( )
A. B. C. D.
6. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如果与的乘积不含的一次项，那么实数的值为．( )
A. B. C. D.
8. 若展开后不含的一次项，则与的关系是( )
A. B. C. D.
9. 的计算结果的个位数字是( )
A. B. C. D.
10. 计算的结果是( )
A. B.
C. D.
11. 表示两个相邻整数的平均数的平方，表示这两个相邻整数平方的平均数，那么与的大小关系是( )
A. B. C. D.
12. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有种方案：第一次提价，第二次提价；第一次提价，第二次提价；第一次、第二次提价均为，其中和是不相等的正数，下列说法正确的是( )
A. 方案提价最多 B. 方案提价最多
C. 方案提价最多 D. 三种方案提价一样多
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知：，则 ．
14. 已知，则代数式的值是______．
15. 如图所示，图是一个边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形，图是一个边长为的正方形，记图，图中阴影部分的面积分别为，，则可化简为______．
16. 已知是完全平方式，则____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
，，求的值
若，求的值
18. 本小题分
已知，，求的值．
若，，用，表示的值．
若为正整数，且，求的值．
19. 本小题分
已知，，则的值是
已知，，求的值
已知，求的值．
20. 本小题分
已知是大于的数，且有，成立．
若，求的值
当，且是整数时，比较与的大小．
21. 本小题分
确定下列各式中的值：
；
；
；
；
，，为正整数．
22. 本小题分
已知对任意数都成立，求的值．
23. 本小题分
乘法公式的探究与应用：
如图甲，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，请你写出阴影部分面积是______写成两数平方差的形式
小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是______，宽是______，面积是______写成多项式乘法的形式．
比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式______用式子表达
运用你所得到的公式计算：．
24. 本小题分
数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形，
请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积并用等号连接：
根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求的值
已知，求的值．
25. 本小题分
甲、乙两个长方形的边长如图所示为正整数，其面积分别为，．
填空：____用含的代数式表示；
若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．
设该正方形的边长为，求的值用含的代数式表示；
设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由，
答案和解析
1.【答案】
【解析】分析
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
详解
解：，正确，故本选项符合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是同底数幂的乘法和有理数的乘方运算首先根据有理数的乘方运算把原式变形为，再由同底数幂的运算得到，解出的值即可．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法运算，首先根据幂的乘方法和同底数幂的乘法法则将等式左边进行变形，然后利用幂与底数相等得到指数相等，即可求出的值．
【解答】
解：因为，
所以．
解得．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘法则，考查学生灵活运用公式的能力．
由题意可知：，，然后利用，从而求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，，
，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，原式错误，符合题意；
故选：．
根据合并同类项的法则、幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除逐一判断可得．
本题主要考查幂的运算和合并同类项法则，熟练掌握幂的运算法则和合并同类项的法则是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查负整数指数幂的知识和次幂的知识根据相关法则计算各题，即可解答．
【解答】
解：．；则A错误；
B.；当，式子无意义，则B错误；
C.；则C正确；
D.；则D错误．
故选C
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．据多项式乘以多项式的法则，可表示为，计算即可．
【解答】
解：根据题意得：，
与的乘积中不含的一次项，
．
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为求出与的关系式即可．
【解答】
解：，
结果不含的一次项，
，即．
故选B．

9.【答案】
【解析】解：
，
，，，，，，
依此类推，个位数字以，，，循环，
，
的个位数字为，即的个位数字为．
故选：．
已知等式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结确定出结果个位数字即可．
此题考查了平方差公式，以及尾数特征，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：．
故选：．
原式利用平方差公式化简，即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了列代数式、整式混合运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据各方案中的提价百分率，分别表示出提价后的单价，得到方案：；方案：；方案：，方案和显然相同，用方案的单价减去方案的单价，提取，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据不等于判定出其差为正数，可得出，进而确定出方案的提价多．
【解答】
解：设某种产品的原料价为，则
方案：；方案：；方案：，
显然方案、结果相同，
，
，
，
，
，
提价最多的是方案．
故选：．
13.【答案】或或
【解析】
【分析】
本题主要考查零指数次幂、有理数的乘方及解一元一次方程，可分三种情况：根据零指数幂的性质当时，当时，当时，分别计算即可求解．
【解答】
解：若，则，
此时，符合题意．
若，则，
此时，符合题意
若，则，
此时，符合题意
综合可得的值为或或．

14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
则，
故答案为：．
由得，即，代入计算可得．
本题主要考查同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法与幂的乘方的运算法则及代数式的求值．
15.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
首先表示，，再约分化简即可．
此题主要考查了平方公式的几何背景和分式的化简，关键是正确表示出阴影部分面积．
16.【答案】
【解析】解：是完全平方式，
，
，
．
故答案为：．
由是完全平方式，即可得，继而求得的值．
此题考查了完全平方式的应用．注意完全平方式为：．
17.【答案】解：因为
，
又因为，

原式
．
【解析】此题考查了同底数幂乘法，难度较难．
把已知的等式两边都化成以为底的同底指数幂，分别求出，的值即可计算；
把化成以为底的同底的指数幂的积，再根据求值．
18.【答案】解：原式
．
因为，，
所以．
原式
．
因为，
所以原式．

【解析】本题先运用积的乘方法则进行计算，然后将结果转化为含有已知条件式的左边的幂的乘方的乘积形式，最后代入求值，体现了整体思想的运用．
19.【答案】解：
因为，
，
所以，．
所以
．
因为，
所以，．
所以．

【解析】见答案
20.【答案】解：因为，，
所以，得，
所以．
，得．
因为，且是整数，
所以．
因为是大于的数，所以 ，，所以 ．
又由中，得，则
，得，则所以，
所以，则，
所以．
所以，．
，得，所以，
所以．
所以当时，
当时，
当，且是整数时，．

【解析】见答案
21.【答案】解：因为，所以．
因为，所以．
因为， 所以，即 所以．
因为 ， 所以，即 所以．
因为，所以
因为，为正整数，且，
所以或或或或，
所以或或或或．

【解析】见答案．
22.【答案】解：．
因为对任意数都成立，
所以
所以．
【解析】略
23.【答案】；
；；；
；
．
【解析】
解：阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积；
长方形的宽为，长为，面积长宽；
由、得到，；
故答案为：，，，，；
见答案．
【分析】
中的面积大正方形的面积小正方形的面积；
中的长方形，宽为，长为，面积长宽；
中的答案可以由、得到；
把写成，利用公式求解即可．
本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．
24.【答案】解：
，
，
，
又，
即，
，得
；

，
．
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是灵活运用进行求值．
方法：图是边长为的正方形，利用正方形的面积公式可得出；方法：图可看成个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为宽为的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出，进而可写出这个等式；
由可得出展开，将其与展开，相减即可求出的值；
可完全平方公式变形，即可求得的值；
【解答】
解：方法：图是边长为的正方形，
；
方法：图可看成个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为宽为的长方形的组合体，
．
，
故答案为
见答案．

25.【答案】解：；
根据题意，得
，
解得，
的值为；
，
，
，
与的差是常数，这个常数为；
【解析】
【分析】
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．
根据长方形的面积公式计算即可；
根据正方形和长方形的周长公式计算即可；
根据正方形的面积计算即可；
【解答】
解：
，
故答案为；
见答案；
见答案；
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