第2章《相交线与平行线》单元测试卷（困难）（含答案）

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北师大版初中数学七年级下册第二单元《相交线与平行线》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )
A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线
2. 如图，，，下列结论中，正确的结论有( )
线段的长度是点到的距离；
线段是点到的距离；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 如图，直线，相交于点，因为，，所以，其推理依据是( )
A. 同角的余角相等 B. 对顶角相等
C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等
4. 平面内有条直线，这条直线两两相交，最多可以得到个交点，最少可以得到个交点，则的值是( )
A. B.
C. D.
5. 下列图形中，和是同位角的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，与构成同旁内角的角有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图所示，同位角共有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
8. 如图，射线、在的内部，下列说法：
若，则与互余的角有个；
若，则；
若、分别平分，，则；
若、，作、，则
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 如图，用尺规作图法作出，使得与已知角，作图痕迹弧 是( )
A. 以点为圆心，长为半径的圆弧；
B. 以点为圆心，长为半径的圆弧；
C. 以点为圆心，长为半径的圆弧；
D. 以点为圆心，长为半径的圆弧．
10. 下列说法中，正确的是( )
射线和射线是同一条射线；
若，则点为线段的中点；
同角的补角相等；
点在线段上，，分别是线段，的中点．若，则线段．
A. B. C. D.
11. 某城市有四条直线型主干道分别为，，，，和相交，和相互平行且与、相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角对．( )
A. B. C. D.
12. 若与是同旁内角，，则( )
A. B. C. 或 D. 的大小不定
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，在同一平面内，线段射线，垂足为，线段射线，垂足为若点是射线上一点，连结、，记，，且，则______用含、的代数式表示．
14. 已知，则的余角的倍是___________．
15. 平面内条直线两两相交，且没有条直线交于一点，那么图中共有______对同旁内角．
16. 如图，与是同旁内角的角共有____________个．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，点为直线上点，过点作射线，使现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图．
______ ；
如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数；
将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足，求此时的度数．
18. 本小题分
已知与互为补角，平分．
如图，若，则____，_______；
如图，若，求的度数；
若，直接写出的度数用含的代数式表示，及相应的的取值范围．
19. 本小题分
如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置跳到终点位置写出其中两种不同路径，路径：．
路径．
试一试：从起始角跳到终点角，试写出一种路径；
从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出路径．
20. 本小题分
逻辑推理将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零是一种常见的数学解题思想．



在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角如图，在这个基本图形中，有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角
如图，平面内三条直线，，两两相交，交点分别为、、，图中一共有 对同旁内角
平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角
平面内条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
21. 本小题分
已知如图，两条射线，连结端点和点是射线上不与点重合的一个动点，，分别平分和，交射线于点，．
若，求的度数．
与的比值是否发生变化若不变，求出的值若变化，请说明理由．
若，当时，求的度数．
22. 本小题分
，在的右侧，平分，平分，、所在的直线交于点．
求的度数；
若，求的度数；
将线段沿方向移动，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，请直接写出的度数用含的代数式表示．
23. 本小题分
如图，，是直线、间的一条折线．
试证明：．
如果将折一次改为折二次，如图，则、、、之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
如果将折一次改为折三次，如图，则、、、、之间会满足怎样的数量关系直接写出结果不需证明
24. 本小题分
作图题
如图，点，均在直线上，．
在图中作，使保留作图痕迹，不写作法．
请直接说出直线与直线的位置关系．
25. 本小题分
尺规作图：画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论
已知：，线段、．
求作：，使，，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：．
此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
此题考查知识点垂线段最短．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义和垂线段最短，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为；根据垂直的定义，点到直线距离的定义和垂线段最短对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：线段的长度是点到的距离，故说法正确；
线段的长度是点到的距离，故说法错误；
由垂线段最短可知，且，所以，故说法正确．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：，，
同角的补角相等，
故选C．
根据同角的补角相等推出即可．
本题考查了邻补角的定义和补角的性质，能熟记补角的性质是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
分别求出条直线、条直线、条直线、条直线的交点最多的个数，找出规律即可解答．
本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点．
【解答】
解：如图：
条直线相交最多有个交点；
条直线相交最多有个交点；
条直线相交最多有个交点；
条直线相交最多有个交点；
条直线相交最多有个交点；
条直线相交最多有个交点．
所以，而，
．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形．
【解答】
解：根据同位角定义可得是同位角，
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了同旁内角的知识，根据同旁内角的定义，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角判断是否是同旁内角，必须符合三线八角中，两个角都在截线的一侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
【解答】
解：根据同旁内角的定义可知：与构成同旁内角的角有个．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线、后，增加了多少对同位角，求总和．
【解答】
解：如图，由、、组成的“三线八角”中同位角有四对，
射线和直线被直线所截，形成对同位角；
射线和直线被直线所截，形成对同位角；
射线和直线被直线所截，形成对同位角；
则总共对．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：，
，
与互余的角有个；故正确；
，
；故正确；
如图，、分别平分，，
，，
，故正确；
如图，
，，
，
、，
，
，
如图，、，
，
、，
，
，
综上所述，不一定为，故错误，
所以正确的有，
故选C．
根据余角和补角的定义和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．
【解答】
解：作的作法，由图可知，
以点为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线、分别为点，；
以点为圆心，以为半径画圆，分别交射线、分别为点，；
以点为圆心，以为半径画圆，交于点，连接即可得出，则．
故选D．

10.【答案】
【解析】解：射线和射线不是同一条射线，故错误；
若，仅当点在线段上时，则点才为线段的中点，故错误；
同角的补角相等，故正确；
点在线段上，，分别是线段，的中点．若，则线段，故正确．
故选：．
根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案．
本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同旁内角在题中的应用，在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分、被所截，、被所截，被所截，、被所截，、被所截，、被所截、被所截、、被所截来讨论．
【解答】
解： 、被所截，有两对同旁内角，其它同理，
故一共有同旁内角对．
故选D．
12.【答案】
【解析】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补．
故选D．
两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角．特别注意，同旁内角互补的前提条件是两直线平行．
13.【答案】或或
【解析】解：连接交于点，三种情况讨论：
如图：当在上时，，
，
，
；
如图：当在上时，，
；
如图：当在射线上时，，
；
故答案为：或或．
连接交于点，根据在射线不同的位置分三种情况讨论．
本题考查了角的求法和直角三角形两个锐角的关系，关键是分类讨论和利用三角形外角的性质．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键．若两个角的和为，则这两个角互余，据此即可求解．
【解答】
解：，
的余角为，
的余角的倍为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同旁内角的定义注意在截线的同旁找同位角，在被截直线之间找内错角、同旁内角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点．
每条直线都与另条直线相交，且没有条直线交于一点，共有条线段每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数．
【解答】
解：如图所示：
因为平面上条直线两两相交且无三线共点，
所以共有条线段．
又每条线段两侧各有一对同旁内角，
所以共有同旁内角对．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：与是同旁内角的有：、、，共个．
故答案为：．
同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
本题主要考查了同旁内角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
17.【答案】解：；
设，
所以，
因为，
所以，
因为是的角平分线，
所以，
所以，
所以，
所以；
设，则，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
【解析】
【分析】
本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
根据余角的定义即可得到结论；
设，得到，根据角平分线的定义得到，列方程即可得到结论；
设，则，根据余角的定义即可得到结论．
【解答】
解：因为，，
所以，
故答案为：；
见答案；
见答案．
18.【答案】解：；；
，
，
平分，
，
当在的外部时，如图：
，与互为补角，
，
平分，
，
；
当在的内部时，
同理，
，
综上所述，的度数是或．
当和在的不同侧时，，，
当和在的同一侧时，当时，，
当时，的度数为；
当时，的度数为．

【解析】
【分析】
本题考查了邻补角的定义，角平分线的定义，角的和差计算，正确的识别图形是解题的关键．
根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，分别进行解答即可；
可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时．而对于当和在的同一侧时可分为：当时；当时；当时分别计算可求解．
【解析】
解：，
，
平分，
，
；
故答案为：；；
见答案；
，，
，
平分，
，
和在的不同侧时，
当和在的同一侧时，
当，如图，此时，，
平分，
，和重合，
；
当时，
或
综上，当和在的不同侧时，，，
当和在的同一侧时，当时，，
当时，的度数为；
当时，的度数为．

19.【答案】解：答案不唯一，如．
从起始角依次按同位角、内错角，同旁内角的顺序跳，
能跳到终点角，其路径为 ．

【解析】见答案
20.【答案】解：
【解析】解：直线，被直线所截，在这个基本图形中，形成了对同位角，对内错角，对同旁内角．
平面内三条直线，，两两相交，图形可分为三个基本图形，故共有对同旁内角．
平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．
平面内条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．
21.【答案】解：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
不变，：：，
，
，，
平分，
，
：：．
如图，
，
，
当时，
有，
，
，
由可知：，，
．
．
【解析】本题主要考查平行线的判定和性质有关知识．
由平行线的性质可求得，再根据角平分线的定义和整体思想可求得；
由平行线的性质可得，，再由角平分线的定义可求得结论；
由平行线的性质可得到，结合条件可得到，可求得的度数．
22.【答案】解：平分，，
；
过点作，
，
，
，，
平分，平分，，，
，，
；
的度数为或．
【解析】解：见答案
见答案
分三种情况：
如图所示，过点作，
平分，平分，，，
，，
，
，
，，
．
如图所示，过点作，
平分，平分，，，
，，
，
，
，，
．
如图所示，过点作，
平分，平分，，，
，，
，
，
，，
．
综上所述，的度数为或．
根据角平分线的定义可得，然后代入数据计算即可得解；
过点作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数；
的度数改变．分三种情况讨论，分别过点作，先由角平分线的定义可得：，，然后根据平行线的性质即可得到的度数．
本题考查了平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：证明：作，如图，
，
，
，
，
，
即；
，
证明：作，，如图，
，
，
，，，
，
；
，
【解析】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，属于难题．
作，如图，根据平行线的性质求出，，即可得出答案；
作，，如图，根据平行线的性质得出，，，相加即可得出答案；
如图，根据平行线的性质得出答案．
解：见答案；
见答案；
，
理由是：
作，，，如图，
，
，
，，，，
，
．
24.【答案】解：如图所示，即为所求：
当射线与射线在直线的同侧时，由知直线与直线平行；
当射线与射线在直线的两侧时，延长交于点，
，
，
．
【解析】根据射线与射线在直线的同侧，另一个则在直线的两侧得出两种情况；
分别利用若射线与射线在直线的同侧，则直线与直线平行；若射线与射线在直线的两侧，则直线与直线相交．
主要考查了作一角等于已知角，注意分类讨论思想的应用，此题容易漏解．
25.【答案】解：

【解析】这是一道考查尺规作图的问题，解题的关键在于会用尺规作图作三角形．
作，在的一边上截取，，连接即可得到所求的．
利用边角边画三角形时，应先画出所给的角，再在角的两边上分别截取其余两边．
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