新誉佳高中2022-2023学年高一下学期开学测试
数学 试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量
C．若，则 D．任意向量的模都是正数
3．设，，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知的解集为，求的解集（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（多选、错选不得分，少选得2分，每题5分，共计20分）
9．下到说法正确的是（ ）.
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．幂函数在上为减函数，则的值为
D．若，则的最大值是
10．下列函数存在零点且零点在区间内的是（ ）
A． B．
C． D．
11．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C． D．在上单调递减
三、填空题（每题5分，共计20分）
13．函数（且）的图象恒过定点,则的坐标为______．
14．已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．
15．已知，成立，则实数的取值范围为_____________；
16．已知函数的最小正周期为，其图象过点，则________．
四、解答题（17题10分，其它每题12分，共计70分。请写出必要的步骤或文字说明）
17．已知集合，.
(1)求；
(2)定义且，求.
18．已知，，且与夹角为120°，求：
(1)；
(2)与的夹角．
19．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的值域．
20．已知函数（且）的图象经过点和．
(1)求函数的解析式；
(2)令，求的最小值及取最小值时x的值．
21．已知函数，．
(1)用定义证明函数在上为增函数；
(2)若，求实数a的取值范围．
22．已知函数 .
(1)若函数的图像关于直线对称，求的最小值；
(2)若存在 ，使成立，求实数的取值范围.新誉佳高中2022-2023学年高一下学期开学测试
数学参考答案
1．D
【详解】因为集合，，
所以，也即,故选：.
2．B
【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；
对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；
对于D，零向量的模长是，故D错误．故选：B.
3．D
【详解】因为，
当且仅当，即，即时取得等号，故选:D.
4．A
【详解】在边长为2的等边中, BD为中线，则
故选：A
5．B
【详解】由，得，
则，即，得，
则，得或，
又，所以，故.故选：B
6．D【详解】的定义域为,
,所以为奇函数,由此排除AC选项;
又,排除B选项.故选：D.
7．B
【详解】由已知得，解得且，
所以函数的定义域为．故选：B．
8．B
【详解】因为的解集为，所以，且为方程的根，
所以，，所以，，
所以不等式可化为，所以，
所以的解集为，故答案为：B
9．BCD
【详解】对于A选项，若函数的定义域为，对于函数，则，解得，
故函数的定义域为，A错；
对于B选项，对任意的，，
故函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，若幂函数在上为减函数，
则，解得，C对；
对于D选项，若，，
当且仅当时，等号成立，D对.故选：BCD.
10．ABCD
【详解】对于A，在上单调递增，且,
故函数在内有零点，故A正确；
对于B，，故,
故在内有零点，故B正确；
对于C，在上单调递增，且，，
故函数在内有零点，故C正确；
对于D，在上单调递增，且，，
故函数在内有零点，故D正确. 故选:ABCD.
11．BD
【详解】命题“”是真命题,
则，当时，取得最大值0，即，即，
结合四个选项，有是集合的真子集，
故命题“”是真命题的一个充分不必要条件可以是或，
故选：.
12．BD 【详解】，故的最小正周期为，A正确；
令，解得：，B错误；
，，C正确；
时，，因为在上单调递增，
故在上单调递增，D错误. 故选：BD
13．
【详解】解:由题知,因为（且）,
所以令,即,可得故图象恒过定点,即点坐标.故答案为:
14．
【详解】解：由题意得方程在区间内有解，
即在区间内有解，
即函数的图象与的图象在区间内有交点，
如图，作出函数与在区间上的图象，
把点带入，得，解得，所以.故答案为：．
15．
【详解】因为，，
当且仅当，即时，取等号，但不在内.
所以取，令，则
，，，
，在内单调递减.
有最小值，且最小值为.
分析可得，，，
即，.
故答案为：
16．
【详解】因为函数的最小正周期为，则，则，
因为，可得，，则，，
因此，.故答案为：.
17．【详解】（1）解：因为，，则.
（2）解：由题意可得：且或.
18．
【详解】（1）解：因为，所以；
（2）因为，
所以，又，
所以，所以与的夹角为．
19．【详解】（1）证明：令，得
所以函数的单调递增区间：．
（2）因为，所以．所以．
当，即时，；
当，即时，．
所以函数在区间上的值域为．
20．【详解】（1）依题意可得，解得，所以.
（2）由（1）知，，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，此时.所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
21．【详解】（1）任取，，且，则，
因为，所以，，所以，即，
所以函数在上为增函数．
由（1）知在上为增函数．又，
所以解得即，所以实数a的取值范围是．
22．【详解】（1）由题意得
，
令，得，所以 ，
又，所以的最小值为.
（2）当 时， ， ， ，
所以当时，即，不合题意；
当时，即，则 .
