第九章 不等式与不等式组 单元检测（测能力，含解析）

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不等式与不等式组
（测能力）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是( )
A. B. C. D.
2.已知a，b，c，d是实数，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知关于x的不等式组仅有三个整数解,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.不等式的正整数解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.不等式组的解集是( )
A. B.无解 C. D..
6.若关于x的不等式的解都能使不等式成立，则a的取值范围是( )
A.或 B. C. D.
7.如果关于x的不等式组的整数解仅有,那么适合这个不等式组的整数组成的有序数对共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
8.若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有( )
A.29人 B.30人 C.31人 D.32人
10.已知关于x的不等式组的解集中任意一个x的值都不在的范围内，则m的取值范围是( )
A. B.或 C. D.或
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.用“>”或“<”填空：若，则a________b.
12.某皮衣进价为1000元，售价为1500元，由于销量不好，只好降价，但要保证利润不低于10%，则该皮衣最多降价___________元.
13.已知是不等式的解,不是不等式的解,则实数a的取值范围是_________.
14.已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是_________.
15.令a、b两个数中较大数记作如，已知k为正整数且使不等式成立，则关于x方程的解是_________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）解不等式组.请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）.
解：解不等式①，得______.
解不等式②，得______.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为______.
17.（8分）“中秋节”是中华民族古老的传统节日.甲、乙两家超市在“中秋节”当天对一种原来售价相同的月饼分别推出了不同的优惠方案.
甲超市方案：购买该种月饼超过200元后，超出200元的部分按95%收费；
乙超市方案：购买该种月饼超过300元后，超出300元的部分按90%收费.
x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元）
x x
x
设某位顾客购买了x元的该种月饼.
（1）补充表格，填写在“横线”上；
（2）分类讨论，如果顾客在“中秋节”当天购买该种月饼超过200元，那么到哪家超市花费更少？
18.（10分）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市.某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元？
19.（10分）若关于想x，y的二元一次方程组的解中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围.
20.（12分）设，且，若，试比较M,N,P的大小.
21.（12分）对定义一种新运算.规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：．已知
（1）求的值
（2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意得，解得，原不等式为，解得，故选C.
2.答案：A
解析：A选项，，，，故该选项符合题意；
B选项，当，，时，，故该选项不符合题意；
C选项，当，，时，，故该选项不符合题意；
D选项，当，，时，，故该选项不符合题意；故选：A.
3.答案：A
解析：解不等式得,因为不等式组仅有三个整数解,所以这三个整数解为1,0,-1,所以,解此不等式得,故选A.
4.答案：D
解析：去分母得,
去括号得,
移项得,
合并同类项得,
系数化为1得,故不等式的正整数解有1，2，3，4,共4个,故选D.
5.答案：D
解析：，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
故选：D.
6.答案：C
解析：①当，即时，不等式的解集为，此时要能使不等式成立，则需，解得，所以符合题意，
②当，即时，不等式的解集为，不能都使不等式成立，故舍去，
③当，即时，不等式无解，故不成立，综上所述，a的取值范围是.
7.答案：D
解析：解不等式,得;解不等式,得.∵不等式组的整数解仅有,则,解得.当时,;当时,;∴适合这个不等式组的整数组成的有序数对共有6个.
8.答案：C
解析：解不等式，得.
解不等式，得.
不等式组有解，
，解得.
如果，那么不等式组的解集为，整数解为，有1个；
如果，那么不等式组的解集为，整数解为，2，有2个；
如果，那么不等式组的解集为，整数解为或或或，有4个.故选C.
9.答案：B
解析：首先设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组，解不等式组得.因为x为整数，所以x最少为30，故选B.
10.答案：B
解析：
由①得
由②得
不等式组有解，不等式组的解集为
不等式组的解集中任意一个x的值都不在的范围内
或
或，故选B.
11.答案：>
解析：由，得，所以.
12.答案：400
解析：设该皮衣降价x元，根据题意，得，解得，故该皮衣最多降价400元.
13.答案：
解析：是不等式的解,,解得不是这个不等式的解,,解得.∴实数a的取值范围是.
14.答案：
解析：解不等式 ，得：，解不等式，得：，
不等式组的无解，
，
，
故答案为：.
15.答案：
解析：①当时，
解得：；
②当时，
解得：；
k为正整数，
使不等式成立的k的值是1，当时，，解得.
16.答案：见解析
解析：解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：.
17.答案：（1）；；
（2）当顾客在“中秋节”当天购买该种月饼超过200元不超过400元时，选择甲超市花费更少；当购买该种月饼400元时，选择两家超市花费相同；当购买该种月饼超过400元时，选择乙超市花费更少
解析：（1）当时，实际在甲超市的花费为元；
当时，实际在甲超市的花费为元，
实际在乙超市的花费为元.
故答案为：；；.
（2）当时，显然选择甲超市花费更少；
当时，若，
解得：；
若，
解得：；
若，
解得：.
答：当顾客在“中秋节”当天购买该种月饼超过200元不超过400元时，选择甲超市花费更少；当购买该种月饼400元时，选择两家超市花费相同；当购买该种月饼超过400元时，选择乙超市花费更少.
18.答案：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元.
根据题意得，，，经检验，符合题意.
元.
答：温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是50元和150元.
（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为个，根据题意得，，解得.
y为正整数，y为50，51，52，共3种方案.
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个.根据题意，费用为，当时，所需资金最少，最少是9800元.
19.答案：
解析：
①+②得，
解得.
②-①得，解得.
x的值为负数，y的值为正数，
解得.
20.答案：，
，
同理可得，.
即.
21.答案：（1）根据题意得：
即.①
，即.②
由①②，得
故的值为1，的值为3.
（2）根据题意得：
解不等式①，得；解不等式②，得.
不等式组的解集为.
不等式组恰好有3个整数解，的值为0或1或2，
，解得.
故实数的取值范围为.
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