四川省成都市名校2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文）试题（Word版含答案）

成都市名校2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合A={1，2，x，}，，且，则x=（ ）
A．－1 B．1 C．－1或0 D．－1或0或1
2．设复数，其在复平面内的对应的点记为Z，则（ ）．
A．z的虚部为 B． C．Z在第四象限 D．
3．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种产品的结构比例，近年来取得了显著效果、据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是2021年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（ ）
A．2022年甲系列产品收入和2021年的一样多
B．2022年乙和丙系列产品收入之和比2021年的企业总收入还多
C．2022年丁系列产品收入是2021年丁系列产品收入的
D．2022年戊系列产品收入是2021年戊系列产品收入的2倍还多
4．“攒尖”是中国古代建筑中屋项的一种结构形式，依据其不同的形状特征分为圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林中的一种亭阁式建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可以近似看作为一个正六棱锥．设此正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正六棱锥的侧棱长a与其底面内切圆半径r的比为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则在方向上的投影所对应向量的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（－1，0） C．（0，－1） D．（0，1）
6．若，且，则=（ ）
A． B．2 C．3 D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是函数y=f（x）的图象的一条对称轴
B．函数y=f（x）的图象的对称中心坐标为，
C．函数y=f（x）在区间上单调递增
D．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则函数y=f（1－x）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线（a>0，b>的右焦点为F、两条渐近线分别为l1、l2，过F且与l1平行的直线与双曲线C及直线l2依次交于点B、D，点B恰好平分线段FD，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
12．已知函数．则下列四个说法中正确的个数为（ ）
①曲线y=f（x）上存在三条互相平行的切线： ②函数y=f（x）有唯一极值点；
③函数y=f（x）有两个零点； ④过坐标原点O可作曲线y=f（x）的切线．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．已知函数f（x）的周期为1，当时，f（x）=－lnx，则的值为______．
14．若直线ax＋y=0与2x＋by—1=0平行，其中a、b均为正数，则a＋2b的最小值为______．
15．过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、B，点A、B在抛物线准线上的射影分别为、且，点在抛物线的准线上．若AP是的角平分线，则点到直线的距离为______．
16．如图，已知菱形ABCD边长为6，，E为对角线AC上一点，．将沿BD翻折到的位置，点移动到点，且二面角的大小为．
（1）三棱锥的外接球的半径为______．
（2）过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______．
三、解答题（共6题，满分70分．）
17．（本题满分12分）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，，______．
请从以下两个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
①S2、S4、S8成等比数列；
②．
（I）求数列的通项公式；
（II）若，求数列的前n项和．
18．（本题满分12分）在花卉进行硬枝扦插过程中，常需要用生根粉调节植物根系生长。现有20株使用了生根粉的花卉样本，在对最终“花卉存活”和“花卉死亡”进行统计的同时，也对使用生根粉2个小时后的生根量进行了统计。这20株花卉生根量如下表所示，其中生根量在6根以下的视为“生根不足量”，大于或等于6根则视为“生根足量”．在这20株花卉样本中，“花卉存活”的有13株，而“花卉存活”但“生根不足量”的植株共1株．
编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 ．14 15 16 17 18 18 20
生根量 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 9 6 7 8 8 4 6 9
（Ｉ）完成下面的2×2列联表，并判断是否能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“花卉存活”与“生根足量”有关？（参考公式与数据，见19题上方）
生根足量 生根不足量 总计
花卉存活
花卉死亡
总计 20
（II）若在该样本“生根不足量”的植株中随机抽取3株进行进一步检测，求这3株中恰有1株“花卉存活”的概率．
18题参考公式与数据：，
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（本题满分12分）如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
（I）求证：平面平面DAE；
（Ⅱ）AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
20．（本题满分12分）已知函数，其中a∈R，设g（x）为f（x）的导函数．
（I）若a=1，求g（x）的最小值：
（II）若时，恒成立，求a的取值范围．
21．（本题满分12分）已知椭圆，过原点作直线与絠圆交于A、B两点，其中位于第一象限，为椭圆上异于A、B的一点．
（I）若AC经过椭圆的右焦点，试求的最大值．
（II）若，记点，试问：B、C、D三点是否共线？请给出判断并说明理由．
（选考题）请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）求曲线的直角坐标方程；
（II）若直线与曲线交于M、N两点，求线段MN的长．
23．（本题满分10分）已知函数，．
（I）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若a>0，b>0，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．
成都市名校2022-2023学年高三下学期开学考试
数学试题（文科）参考答案
一、选择题：CBCA CCCDBB CB
二、填空题：13． 14．4 15．5 16．（1） （2）
部分选填题参考解答
10．如图，由题意可知△ODF为等腰三角形，OD=DF，
则，代入渐近线方程，得，又，可得中点，
将其代入双曲线方程，可得，整理可得，∴．
11．联系函数不等式（当且仅当时取等）和（当且仅当时取等），
可得：（1）；（2）．
从而有．
12．，，，
（1）在，在，在，
则大致图象如图所示，可知方程可能有三个根，故①正确
（2）计算得，则存在，使得，
从而可知在，故②正确
（3）计算得，则，大致图象如图，故③正确
（4）设过原点的直线与相切于点，则有
，，，
消元整理可得，易知此方程无解，故④错误．综上，正确的是①②③．
（说明：由，也可以分析的零点个数）
15．（请同学们结合此题的学习与研究，进一步丰富对抛物线焦点弦的典型性质的认识与积累！）
【解法简介】过作的垂线，交准线于，连接，由，易证平分，则知M即已知中的点P．连接PB，已知PB平分，可推知，则P恰为的中点，故．
【性质积累】（1）可以证明，以焦点弦AB为直径的圆必与准线相切，且切点恰为的中点P；
（2）连接，可以证明恰好与此焦点弦AB相互垂直；
（3）连接，可以证明平分，平分，（图略）
16．（1）由题易知，、均为等边三角形，取它们的中心M、N，过M、N分别作平面、平面的垂线，易知两垂线必交于一点，且点正是三棱锥的外接球球心．（如图所示）
记，则可知二面角的平面角为，在四边形中，可求得，则外接球半径；
（2）当截面面积取最小值时，可知截面，易求得，则截面圆半径，
故其面积．
三、解答题：
17．解：（I）选择①，设等差数列的公差为，则，
由题意可得，即有，解之得，
则．
选择②，设等差数列的公差为，则，
由可，得，解之得，
则．
（II）由（I）可得
所以．
18．解：（I）由题意及数据表可得，
“花卉存活”的有13株，“花卉死亡”的有7株；
“生根足量”的有15株，“生根不足量”的有5株．
①填写列联表：
生根足量 生根不足量 总计
花卉存活 12 １ 13
花卉死亡 3 4 7
总计 15 ５ 20
②应用公式计算得：．
所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“花卉存活”与“生根足量”有关．
（II）样本中“生根不足量”的有5株，其中“花卉死亡”的有4株，记为A，B，C，D；
“花卉存活”的有1株，记为a．设事件A：从5株中随机抽取3株中恰有1株存活，可知其包含的所有情况为：ABC，ABD，ACD，BCD；ABa，ACa，ADa，BCa，BDa，Ca．共10种，其中恰有1株“花卉存活”的情况为ABa，ACa，ADda，BCa，BDa，CDa．共6种．
故所求事件的概率为．
19．解：（I）如图，取的中点M、N，，
连接、、，则知，且，
又，且，
所以，且，
则四边形为平行四边形，所以．
∵，M为的中点，∴，
∵平面，平面，∴．
又，∴平面
从而可得平面，由于平面，
所以平面平面，命题得证．
（II）由（I）知，平面DAE于，则为CE与平面DAE所成角．且在Rt中，，由且，得，
又已知平面，平面，∴，
∵，∴平面ABCD
设，则，那么有，
则，解得，即有．
从而易得，在Rt中，；
又在Rt中，，则知；
∴，即CE与平面DAE所成角的正弦值为．
20．解：（I）时，由，可得，
则，那么有，所以在定义域上单调递增，
注意到，从而可得，，
即知在上单调递减，在上单调递增，
故，即当时，的最小值为0．
（II）由，可得，
由（I），同理可知，在上单调递增，则．讨论如下：
（1）当时，有，则在上单调递增，
从而有，符合题意．
（2）当时，有，由于在上单调递增，
且，所以，使得，
从而可知当时，，则在上单调递减，
此时有，不合题意．
综上，的取值范围为．
21．解：（I）由AC经过椭圆的右焦点，设直线AC的方程为，
联立方程组，消去整理可得，
显然，且有，．
法一：则知，
（说明：此处也可借助椭圆的右焦点半径公式，得到求之）
而原点到直线AC的距离，
由于为线段AB的中点，则到直线AC的距离为2d，
则，其中，
由在上单调递增，故，
当，即时，等号成立，从而可知，的最大值为3．
法二：注意到为线段AB的中点，则，
则有，以下同法一．
（II）B、C、D三点共线，证明如下：
法一：（证明点在直线BC上，即证点的坐标适合直线BC的方程）
一方面，由，两式相减整理可得，
另一方面，，从而可得为定值．
由，得，即有，又，
可得，从而直线BC的方程为，
令，可解得，
即点在直线BC上，故B、C、D三点共线．
法二：（通过坐标运算转化，证明）
由，得，即有，则
同法一，应用“点差法”得到，即有，
又由，，则，
∴，故B、C、D三点共线．
（说明：此问也可通过借助坐标运算证明，得到三点共线，具体方法过程略．）
22．解：（I）由题可得，即有，
结合转换公式，，
代入整理，
经检验，曲线的直角坐标方程为．
（II）由已知易得，直线经过定点，且其倾斜角为，
由此其参数方程也可写为（为参数）（也称之为该直线的标准参数方程），
将其代入，整理可得，显然其，
设M、N两点对应的参数分别为、，则有，，
所以．
（说明：显然，此问也可直接解出参数值求之，或者用直线的普通方程与曲线联立求解之．）
23．解：（I）法一：由题得，
其中，当时，，从而易得函数的值域为．
法二：由绝对值不等式的性质可得，，
所以，当且仅当，即或时取得等号，
故函数的值域为．
（II）法一：由基本不等式，得，
当且仅当时取得等号，故的最小值为2．
法二：由柯西不等式，得，
当且仅当时取得等号，故的最小值为2．
由题得，，即，结合（I）之法一（零点分段，讨论求解）
等价于或或，由此可解得，故原不等式的解集为．