福建省泉州市晋江市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(图片版含答案)

2022 年秋季九年级期末学业跟踪检测数学试题
参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不
超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．A 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
12 3
11． 3 12．15 5 13 3． 14． 15．6 或 0 16．
8 5 3
三、解答题（共 86 分）
17.（本小题 8 分）
解：原式= 18 8 2 2 …………………………………………………………………………………3分
= 3 2 2 2 2 2 ………………………………………………………………………………6分
=2 ……………………………………………………………………………………………………8 分
18.（本小题 8 分）
解：原式= a2 2 a2 1
= 2a2 3 . ……………………………………………………………………………………………5分
当 a 3时，
原式 2 （ 3）2 3 2 3 3 3 . ……………………………………………………………………8分
19.（本小题 8 分）
1
解：(1) ；………………………………………………………………………………………………3分
3
(2)解法一：画树状图如下：
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 ………………………………………6分
由树状图可知，共有 9种等可能结果，其中摸到同一个球有 3种，
3 1
所以 P(摸到同一个球) . …………………………………8分
9 3
解法二：列表如下：
2022 年秋季九年级期末学业跟踪检测数学试题参考答案及评分标准 第 1 页 (共 6 页)
第 1 次
1 2 3
2 结果第 次
1 1，1 2，1 3，1
2 1，2 2，2 3，2
3 1，3 2，3 3，3
……………………………………………………………………………………………………………6分
由树状图可知，共有 9种等可能结果，其中摸到同一个球有 3种，
3 1
所以 P(摸到同一个球) . ……………………………………………………………………8分
9 3
y
C
20.（本小题 8 分）
解： C1
(1)△A1B1C1如图所示；……………………………………………4分
(2)C
a b
1(1,2)，D1( , ) . ……………………………………………8分2 2 A A1 O B1 B x
第 20题图
21.（本小题 8 分）
解：不同意.理由如下：
当降价时，设每件降价 x元，根据题意得
20 x 12 240
20
x 1980，…………………………………………………………………2分
0.5
整理，得 x2 2x 1.5 0．
∵ 4 6 2 0，
∴此方程无实数根，即降价不能获利 1980 元；…………………………………………………………4 分
当涨价时，设每件涨价 y元，根据题意得
20 y 12 240 10 y

1980 ，…………………………………………………………………6 分
0.5
整理，得 y2 4y 3 0．
∵ 16 4 1 3 4 0，
∴此方程有实数根，即涨价能获利 1980 元，
综上所述，小强的说法不正确.………………………………………………………………………8 分
(其它解法，请参照以上评分标准)
22.（本小题 10 分）
解：（1）∵ 2 7 3
∴ 2 5 7 3
∴ m 2，n 5 7 2 3 7 ；………………………………………………………………4 分
（2）把m 2， n 3 7 代入 amn bn 2 1，得
2022 年秋季九年级期末学业跟踪检测数学试题参考答案及评分标准 第 2 页 (共 6 页)
2(3 7)a (3 7) 2b 1…………………………………………………………………………5分
化简得：(6a 16b) (2a 6b) 7 1，……………………………………………………………7 分
∴ 6a 16b 1且 2a 6b 0，
3
解得：a ，b 1 .………………………………………………………………………………9 分
2 2
2a b 3 1 5∴ ．……………………………………………………………………………10分
2 2
(其它解法，请参照以上评分标准)
23.（本小题 10 分）
4k b 0 k 1
解：(1) 由题意，得 ，解得：
0 b 4

b 4
所以直线 y ax b的解析式为 y x 4 . ………………………………………………………1 分
y x 4
m
由 2 m 得， x 4 ，整理得 x 4x m 0，…………………………………………2 分
y x x
m
因为反比例函数 y （ m 0）的图象与直线 y ax b 在第一象限内有两个交点，不妨设
x
C(xC , yC ) ,D(xD , yD )，
16 4m 0

所以 xC xD 4 0 ，解得： 0 m 4 . …………………………………………………………4分

xC xD m 0
(2) 过O作OH CD于点 H ，
因为 A(4,0)， B(0,4) ,则OA OB 4 ,OH 2 2，………………………5 分
又因为 S 1 COD CD OH 5 2 , y2
所以CD 5，CD2 25 .…………………………6分 B
C
由勾股定理，得
(x x 2 2 HC D ) (yC yD ) 25
y x 4 D，

联立 m 得 x2 4x m 0，
y ， O
A x
x
第 23 题图
所以 xC xD 4， xC xD m，…………………7分
所以 (x x 2 2 2 2C D ) (xC xD ) 4xC xD 16 4m ， (yC yD ) (xC xD ) ，…………………………8分
所以 2(xC xD )
2 25
所以 2(16 4m) 7 25，解得：m .
8
由(1)得， 0 m 4，
m 7所以 的值为 ．……………………………………………………………………………………10 分
8
24.（本小题 13 分）
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(1) 证明：
∵四边形 ABCD为矩形，
∴ AD // BC， AD = BC，
AG AE
∴ .………………………………………………………………………………………………1 分
GC BC
∵AE:ED=1:2，
AE AE 1
∴ ，…………………………………………………………………………………………2分
BC AD 3
AG 1 AG 1 1
∴ ，则有 ，即 AG AC .
GC 3 AC 4 4
由矩形 ABCD可得，OD 1 BD 1 AC
2 2
∴OD 2OG；……………………………………………………………………………………………4 分
(2)解：
∵AE:ED=1:2，
DE 2
∴ ，
DA 3
DF 2
∵ ，
DC 3
DE DF
∴ ，
DA DC
∵ EDF ADC 90 ，
∴△DEF∽△DAC，………………………………………………………………………………………6 分
∴ DEF DAC，
∴ EF / /AC，
∴ OGB BEF 90 ，
1 1
由(1)证得，OG OD OB，
2 2
OG 1
∴
OB 2
D R F C
∴ sin DBE 1 ，
2
∴ DBE 30 . ………………………………………8 分 H
(3)解：连接 GH并延长交 CD于点 R，
∵H为 OD中点， O
∴DH=OH， E
1
由(1)证得，OD 2OG，即 OG GA OD， G
2
A B
∴GH / /AD ,GH 1 AD 第 25 题图，…………………………9分
2
设 AE 4x，则 DE 8x， BC AD 12x， GH 6x ,
∵GH / /AD / /BC ,
∴△DHR∽△DBC，△FHR∽△FED，………………………………………………………………10 分
DR HR DH 1 HR FR
∴ ，
DC BC DB 4 ED FD
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∴ HR 1 BC 3x，DC 4DR，
4
3x FR FR 3
∴ ，即 ，………………………………………………………………………………12 分
8x FD FD 8
8 8 1 2
∴ FD DR DC DC ，
5 5 4 5
FD 2 2
∴ ，即 DF:DC的值为 . ……………………………………………………………………13 分
DC 5 5
(其它解法，请参照以上评分标准)
25.（本小题 13 分）
解：
（1）∵抛物线 y ax2 bx c顶点为 E(1,4)，
∴可设其解析式为 y a(x 1)2 4，……………………………………………………………………1分
把C(0,3)代入上式，得 3 a(0 1)2 4，解得： a 1，
∴此抛物线的解析式为 y (x 1)2 4 x2 2x 3；………………………………………………3分
（2）由（1）得， y (x 1)2 4，
令 y (x 1)2 4 0，解得： x1 1， x2 3，
∴ A( 1,0) ， B(3,0) .……………………………………………………………………………………4 分
如图，设直线 BP交抛物线对称轴于点 D，连接 DA，DC.
由抛物线的对称性可得， DA DB，
∴ BD CD DA CD .
∴当 BD CD 取得最大值时，A，C，D三点共线. …………………………………………………5分
设直线 AC： y kx b（ k 0），则有
k b 0 k 3
y

，解得： ， D
0 b 3

b 3
∴直线 AC： y 3x 3 .……………………………6分 E
令 x 1，得 y 6，点 D坐标为（1，6）， C
由 B(3,0)， D(1,6)可求出直线 BD : y 3x 9， F P
N
y 3x 9 x 2 x 3 R
由 ，解得：
1
，
2
2 H M
y x 2x 3
A O B x
y1 3 y2 0
∵P是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在 x轴的上方，
第 25 题图
∴点 P的坐标为（2，3）；………………………8分
（3） 2S1 S2 存在最大值．理由如下：
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过 P作 PM x轴于点M ，交 BC于点 R，作 PN y 轴于点 N ，设抛物线对称轴与 x轴的交点为H .
∵ B(3,0)，C(0,3)，
∴可求直线 BC : y x 3，令 x 1，得 y 2，则 F (1,2) ,
由勾股定理得，CF (1 0)2 (2 3)2 2 ， BF (3 1)2 (0 2)2 2 2 ,
∴CF :BF 1: 2 .
记△PBF的面积为 S3，则 S3 2S1 ，
∴ 2S1 S2 S3 S2 .………………………………………………………………………………………9 分
设 P(m, m2 2m 3)， R(m, m 3) .
∵ PR ( m2 2m 3) ( m 3) m2 3m ，HM BM HB 2，
1
∴ S 23 S PFR S PBR PR (HM BM ) m 3m .…………………………………………………10分2
∵ E(1,4)， F (1,2) , PN m 1，
EF 2 S 1∴ , 2 EF PN m 1，2
∴ 2S S m2 3m m 1 m21 2 4m 1 (m 2)
2 3 ………………………………………12 分
∵P是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在 x轴的上方，
∴1 m 3，
∵ 1 0，且m 2在1 m 3的范围内，
∴当m 2时， 2S1 S2取得最大值3 . ………………………………………………………………13 分
(其它解法，请参照以上评分标准)
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