课件38张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修5 课前自主预习 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业 情境引入导学知能自主梳理预习效果展示
基 础 巩 固
一、选择题
1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
[答案] B
[解析] 取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B.
具体比较如下：∵02．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100 B．50
C．20 D．10
[答案] B
[解析] 由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B.
3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.> B.＋≤1
C.≥2 D.≤
[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，
∴ab≤4，∴≥，
∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D.
[点评] 对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴≤.
4．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为( )
A．18 B．12
C．2 D.
[答案] A
[解析] ∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y
≥2＝2＝2＝18，
等号在3x＝32y即x＝2y时成立．
∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.
5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( )
A．7 B．3
C．1＋2 D．5
[答案] A
[解析] 由已知得x＋3y＝2，
3x>0,27y>0，
∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，
当且仅当3x＝27y，
即x＝1，y＝时等号成立．
6．(2013·福建文，7)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[答案] D
[解析] ∵2x＋2y≥2，∴2≤1，
∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D.
二、填空题
7．已知x、y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
[答案] 3
[解析] ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号．
8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________
[答案] (a－b)2
[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷．
∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[]2＝.
当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．
∴当x＝，ymin＝.
三、解答题
9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．
[解析] x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
等号在＝即＝时成立．
∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，∴ab＝16.
∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
能 力 提 升
一、选择题
1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] D
[解析] ∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．
∴＝·
＝·＝
＝＝＋1≥＋1＝9，故选D.
2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A. B.
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋
≥2＋2＝4 (等号在a＝b＝时成立)．
故所求最小值为4，选D.
3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
[答案] D
[解析] ∵x>1，
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(当x＝2时等号成立)．要使x＋≥a恒成立，则须使a≤3.
4．(2012～2013学年度湖南长沙市浏阳一中高二期中测试)已知正数x、y满足＋＝1，则xy有( )
A．最小值 B．最大值16
C．最小值16 D．最大值
[答案] C
[解析] ∵x>0，>0，∴＋≥2＝4，又∵＋＝1，
∴4≤1，
∴≤，
∴xy≥16，故选C.
二、填空题
5．一批救灾物资随17列火车以vkm/h的速度匀速直达400km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2km，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.
[答案] 8
[解析] 物资全部运到灾区需t＝
＝＋≥8h，等号成立时，＝，即v＝100.
故最少要用8h.
6．若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
[答案] 18
[解析] ∵x>0，y>0，
∴2x＋y≥2，
∴2x＋y＋6＝xy≥2＋6，
∴()2－2－6≥0，
解得≥3，即xy≥18.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
[解析] [f(x1)＋f(x2)]≤f()
∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg，
而x1、x2∈R＋，x1x2≤()2，
而f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上为增函数．
∴lg(x1x2)≤lg()2，∴lg(x1x2)≤lg.
即(lgx1＋lgx2)≤lg.
因此，[f(x1)＋f(x2)]≤f()．
8．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
[解析] (1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0故S的取值范围是(0,100]．
(2)当S＝100 m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0, 100]，当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m.
