5.3.2函数的极值与最大（小）值
常见题型总结（答案）
一、知识梳理
1．函数的极值
如图(1)，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
如图(2)，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
注意：(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
注意：极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
3.常用结论
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
二、常见题型
题型一：由图象判断函数的极值
例1：设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f (x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
解：由题意，x∈(－∞，－3)时，y>0，(x－1)3<0 f′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(－3，1)时，y<0，(x－1)3<0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(1，3)时，y>0，(x－1)3>0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(3，＋∞)时，y<0，(x－1)3>0 f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．
方法归纳：由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
跟踪练习
1、如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
3、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( C )
A．f(x)有两个极值点
B．f(－2)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
4、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
5、已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( C )
A. B. C. D.
6、已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( C )
A． f(b)>f(a)>f(c)
B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值
C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D．函数f(x)的最小值为f(d)
7、 (多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( AC )
A.－3是函数y＝f(x)的极值点
B.－1是函数y＝f(x)的极小值点
C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D.－2是函数y＝f(x)的极大值点
题型二：求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ln 2－1 ?
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
方法归纳：求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
跟踪训练
1、已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则( C )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
2、已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( A )
A．4e－2 B．4e2
C．e－2 D．e2
3、已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( B )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
4、对于函数f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下说法正确的是( C )
A．有2个极大值 B．有1个极小值
C．1是极大值点 D．1是极小值点
5、已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( B )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
6、设函数f(x)＝，则下列说法正确的是( C )
A．f(x)的定义域是(0，＋∞)
B．当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴上方
C．f(x)存在单调递增区间
D．f(x)有且仅有两个极值点
7、(多选)(2022·青岛模拟)对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是( ACD )
A.x＝3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C.f(x)在区间(1，2)上单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
8、(多选)(2022·烟台模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( ABC )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
9、函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝___2_____处取得极小值．
10、求下列函数的极值．
(1)f(x)＝(x－5)2＋6ln x；
(2)f(x)＝ex(x－1)－eax2，a<0.
解;(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3，可得
x (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由上表可知当x＝2时，极大值f(2)＝＋6ln 2，当x＝3时，极小值f(3)＝2＋6ln 3.
(2)f′(x)＝xex－xea＝x(ex－ea)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．
f(x)与f′(x)在R上的变化情况如表：
x (－∞，a) a (a,0) 0 (0，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ ↘ ↗
由表可知，当x＝0时，f(x)有极小值，f(0)＝－1.
11、已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值．
解： f′(x)＝－＝(x>0)，
当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值．
当a－1>0，即a>1时，由f′(x)<0，得0
由f′(x)>0，得x>a－1，函数f(x)在(a－1，＋∞)上单调递增．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．
综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；
当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．
12、已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝a－＝，
当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
当a>0时，由f′(x)<0得0由f′(x)>0，得x>，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
即f(x)在x＝处有极小值，无极大值．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，
当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
题型三：已知函数的极值求参数
例3：若函数f(x)＝ex－(m＋1)·ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为( )
A．(－e2，－e) B．
C． D．(－∞，－e－1)
解：由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex－(m＋1)＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，
所以m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g(x)＝，
则g′(x)＝，
所以函数g(x)在，上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
其图象如图所示，要使m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，
则m＋1即m＋1<－e，m<－e－1，
所以实数m的取值范围是(－∞，－e－1)．故选D．
方法归纳：已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪练习
1、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝( C )
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( D )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
3、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝－f(x)，函数f(x＋2)为偶函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x3＋x2－6x＋a.若x∈(－2，0)时，f(x)的最大值为－，则a＝( A )
A.3 B.2 C. D.－
4、(2022·石家庄二中期末)若函数f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝( C )
A．－ B．2
C．－2 D．
5、已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是( D )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
6、若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝____3____．
7、若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为____(－∞，－1)____．
8、已知函数f(x)＝aex－2x－2a，且a∈[1，2]，设函数f(x)在区间[0，ln 2]上的最小值为m，则m的取值范围是____[－2，－2ln 2]____．
9、(2022·安徽江南十校联考)已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为___－_____.
10、已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是____ ____.
11、若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为_(－∞，－1]__.
12、已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值．
解：(1)对f(x)求导得，f′(x)＝2ax＋.
由题意得即可得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x.
其定义域为(0，＋∞)．
且f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ?↘ 极小值 ?↗
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f(1)＝，无极大值．
13、设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值.
解 (1)因为a＝b＝c，
所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3.
因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.
(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b)·.
令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.
因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，
且a≠b，
所以＝1，a＝3，b＝－3.
此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1).
令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.
当x变化时，f′(x)变化如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
14、设函数g(x)＝ln x－mx＋，若g(x)存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围.
解 ∵g(x)＝ln x－mx＋，
∴g′(x)＝－m－＝
＝－，
令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，
则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.
∵＞0，∴h(0)＝m＞0，
故只需满足即可，解得0＜m＜.
故m的取值范围为.
题型四：函数的最值问题
例4： (2022·安徽九校联考)已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋＝.
①若k≤0，则在上恒有f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递减．
②若0由k<，得>e，则x－<0在上恒成立，
所以<0在上恒成立，
所以f(x)在上单调递减．
综上，当k<时，f(x)在上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
方法归纳：求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
跟踪训练
1、(2022·安徽淮北联考)f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是( D )
A．1＋ B．1
e＋1 D．e－1
2、函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( A )
A. B.e2 C. D.2e
3、已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋1在x＝1处的切线的斜率为1，则实数a＝____－ ____，此时函数y＝f(x)在[0，1]上的最小值为________．
4、若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为____3____百万件.
5、已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间上单调递减，
所以对任意x∈有h(x)所以函数f(x)在区间上单调递减.
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
6、(2022·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
因为－e2<－，所以a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.
7、已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a＞0时，f(x)在x＝处取得极大值且为最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，g′(a)＝＋1＞0，
则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；
当a＞1时，g(a)＞0.
所以a的取值范围是(0，1)．
8、已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
解 (1)当a＝0时，f(x)＝，
则f′(x)＝
＝.
当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4，
故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－4(x－1)，
整理得4x＋y－5＝0.
(2)已知函数f(x)＝，
则f′(x)＝
＝.
若函数f(x)在x＝－1处取得极值，
则f′(－1)＝0，即＝0，解得a＝4.
经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f(x)的极大值，符合题意.
此时f(x)＝，其定义域为R，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
f(x)，f′(x)随x的变化趋势如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4).
极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－.
又因为x<时，f(x)>0；x>时，f(x)<0，
所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，
最小值为f(4)＝－.
9、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.
解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0；
当x＞1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，
∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意.
②若a＜－，令f′(x)＞0得a＋＞0，结合x∈(0，e]，解得0＜x＜－；
令f′(x)＜0得a＋＜0，结合x∈(0，e]，解得－＜x≤e.
从而f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
∴f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
∵－e2＜－，∴a＝－e2为所求.
故实数a的值为－e2.
题型五：利用导数研究生活中的优化问题
例5：某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
解：(1)作AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．
由条件知，当O′B＝40时，
BB1＝－×403＋6×40＝160，则AA1＝160.
由O′A2＝160，得O′A＝80.
所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米)．
(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．
设F(x，y2)，x∈(0,40)，
则y2＝－x3＋6x，
EF＝160－y2＝160＋x3－6x.
因为CE＝80，所以O′C＝80－x.
设D(x－80，y1)，则y1＝(80－x)2，
所以CD＝160－y1＝160－(80－x)2＝－x2＋4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，
则f(x)＝k＋k
＝k(0f′(x)＝k＝x(x－20)，
令f′(x)＝0，得x＝20.
x (0,20) 20 (20,40)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x＝20时，f(x)取得最小值．
跟踪训练
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[JB([]＋10(x－6)2
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值42 ↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．5.3.2函数的极值与最大（小）值
常见题型总结
一、知识梳理
1．函数的极值
如图(1)，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
如图(2)，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
注意：(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
注意：极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
3.常用结论
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
二、常见题型
题型一：由图象判断函数的极值
例1：设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f (x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
方法归纳：由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
跟踪练习
1、如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(－2)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
4、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
5、已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( )
A. B. C. D.
6、已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A． f(b)>f(a)>f(c)
B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值
C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D．函数f(x)的最小值为f(d)
7、 (多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( )
A.－3是函数y＝f(x)的极值点
B.－1是函数y＝f(x)的极小值点
C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D.－2是函数y＝f(x)的极大值点
题型二：求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
方法归纳：求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
跟踪训练
1、已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
2、已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( )
A．4e－2 B．4e2
C．e－2 D．e2
3、已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
4、对于函数f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下说法正确的是( )
A．有2个极大值 B．有1个极小值
C．1是极大值点 D．1是极小值点
5、已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
6、设函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域是(0，＋∞)
B．当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴上方
C．f(x)存在单调递增区间
D．f(x)有且仅有两个极值点
7、(多选)(2022·青岛模拟)对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是( )
A.x＝3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C.f(x)在区间(1，2)上单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
8、(多选)(2022·烟台模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
9、函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．
10、求下列函数的极值．
(1)f(x)＝(x－5)2＋6ln x；
(2)f(x)＝ex(x－1)－eax2，a<0.
11、已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值．
12、已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．
题型三：已知函数的极值求参数
例3：若函数f(x)＝ex－(m＋1)·ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为( )
A．(－e2，－e) B．
C． D．(－∞，－e－1)
方法归纳：已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪练习
1、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝( )
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
3、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝－f(x)，函数f(x＋2)为偶函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x3＋x2－6x＋a.若x∈(－2，0)时，f(x)的最大值为－，则a＝( )
A.3 B.2 C. D.－
4、(2022·石家庄二中期末)若函数f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝( )
A．－ B．2
C．－2 D．
5、已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
6、若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝_______．
7、若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为_______．
8、已知函数f(x)＝aex－2x－2a，且a∈[1，2]，设函数f(x)在区间[0，ln 2]上的最小值为m，则m的取值范围是____[____．
9、(2022·安徽江南十校联考)已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为________.
10、已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_______.
11、若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为_______.
12、已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值．
13、设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值.
14、设函数g(x)＝ln x－mx＋，若g(x)存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围.
题型四：函数的最值问题
例4： (2022·安徽九校联考)已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
方法归纳：求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
跟踪训练
(2022·安徽淮北联考)f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是( )
A．1＋ B．1
e＋1 D．e－1
2、函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( )
A. B.e2 C. D.2e
3、已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋1在x＝1处的切线的斜率为1，则实数a＝________，此时函数y＝f(x)在[0，1]上的最小值为________．
4、若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件.
5、已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
6、(2022·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
7、已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
8、已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
9、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.
题型五：利用导数研究生活中的优化问题
例5：某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
跟踪训练
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．