6.2平面向量的运算专项练习解析版
一、单选题
1．在中，若，则－定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得，得到为钝角，即可求解.
【详解】由向量的数量积的运算公式，可得，即，
因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.
故选：C.
2．已知平面向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用求出，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.
【详解】，即，
．．
故选：D．
3．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】由，则，，
又向量与的夹角为，
所以.
故选：A
【点睛】本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
4．已知向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.
【详解】，，
又，，，
设与的夹角为，
，
从而，所以与的夹角.
故选：C
5．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得点位置后求解，
【详解】由题意得，则为中点，而是的外接圆圆心，
为直角三角形，，故在向量上的投影向量为，
故选：A
6．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
7．在正方形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得.
【详解】解：.
故选：C.
8．已知是的边上的中点，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算可得答案.
【详解】解：，
故选：C.
二、多选题
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】AC
【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
10．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，则 D．若，则且
【答案】AB
【解析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．
【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对．
故选：AB．
11．下列说法中错误的是（ ）.
A．若，，，则
B．若且，则
C．若，非零向量且，则
D．若，则有且只有一个实数，使得
【答案】ABD
【分析】对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论.
【详解】A选项，当，中至少有一个时，与可能不平行，故A错误；
B选项，由且，可得或，故B错误；
C选项，，根据数量积规则，则两边平方化简可得，
∴，故C正确；
D选项，根据向量共线基本定理可知当 都为非零向量时成立，
为零向量时也成立 ，若 时， 不存在，但 （零向量与所有的向量共线），故D错误；
故选：ABD.
12．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
【答案】ACD
【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.
【详解】
如图，设AB中点为M,则,
,故A正确；
等价于等价于,即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；
设的中点为,
则，
∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；
,
与垂直,又,∴与共线，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
三、填空题
13．若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.
【答案】6
【分析】根据两向量垂直，可得到=0，展开化简即可求出值.
【详解】因为，所以，因为，所以，
即，又是单位向量，所以，即.
故答案为：
14．已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【分析】根据数量积的性质求向量的模长，解得，再次利用数量积的性质，求得答案.
【详解】由可得，，即，解得：，所以．
故答案为：．
15．若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.
【答案】##
【分析】设与的夹角为，根据，，由数量积的定义和运算律求解.
【详解】解：设与的夹角为，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
16．在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______．
【答案】
【分析】本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果.
【详解】如图，结合题意绘出图像：
因为，，
所以，，
则，，
故
，
因为，
所以，解得，，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
四、解答题
17．在中，，点在边上且，，
(1)若，求的长；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理得到，，求出，进而利用余弦定理求出；（2）利用向量基本定理得到，，利用向量数量积运算法则求出，变形得到.
【详解】（1）由余弦定理得：，
因为，所以，所以，
且，
在三角形ABE中，由余弦定理得：，
因为，所以
（2），
，
则，
即，
，
化简得：，
18．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
【答案】
【分析】由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.
【详解】如图所示：
因为，
所以，
所以，
即，
所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），
又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，
设，
则，
，
因为，
所以，
则，解得，
所以t的值是.
19．已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？
【答案】.
【分析】根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.
【详解】因为，， 与的夹角为，
所以，
若，则，
即，所以，
所以，可得：.
20．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，
（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）因为，，
所以，，得，
所以
（2）因为，
，
所以，
因为，
所以，
即与的夹角为6.2平面向量的运算专项练习
一、单选题
1．在中，若，则－定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．已知平面向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．在正方形中，（ ）
A． B． C． D．
8．已知是的边上的中点，则向量（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
10．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，则 D．若，则且
11．下列说法中错误的是（ ）.
A．若，，，则
B．若且，则
C．若，非零向量且，则
D．若，则有且只有一个实数，使得
12．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
三、填空题
13．若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.
14．已知向量，满足，，，则_________.
15．若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.
16．在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______．
四、解答题
17．在中，，点在边上且，，
(1)若，求的长；
(2)若，求的值.
18．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
19．已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？
20．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
