6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理专项练习解析版
一、单选题
1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理即可求解.
【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).
故选：C
2．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．64种 C．96种 D．144种
【答案】C
【分析】先给中间涂色，再给外边每个涂色，利用分步乘法计算原理求解即可.
【详解】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示，
先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色，
因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方法．
故选：C.
3．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（ ）
A．32 B．23
C．43 D．24
【答案】B
【分析】由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案
【详解】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，
则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．
故选：B.
4．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格 的染色方法种数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【分析】根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果．
【详解】依题意，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6．
故①当1，3，5号格子为黑色时：有23＝8种；
②当1，3号为黑色且5号为白色时：若2号为黑色则有22＝4种，若2号为白色，则4号为黑色有2种，故此时共有4+2＝6种；
③当1号为黑色，3号为白色时：2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1×1×2＝2种，若4号为黑色，则有1×1×1×1×2×2＝4种，故此时共有2+4＝6种；
综上，共有8+6+6＝20种．
故选：D．
【点睛】本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于对1，3，5号格子的颜色进行讨论求解.
5．某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）
A．288 B．336 C．576 D．1680
【答案】B
【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种,
第二步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种，
根据分步计数原理,共有种,
故选：B
6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ）．
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个
【答案】B
【分析】首位数字是2，则后三位数字之和为4，然后分类排列即可求解.
【详解】由题知后三位数字之和为4，
当一个位置为4时有004，040，400，共3个；
当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个；
当三个位置和为4时112，121，211，共3个，
所以一共有15个.
故选：B
二、多选题
7．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A． B． C． D．6×5×4×3×2
【答案】BCD
【分析】根据题意，每位同学都有5种选择，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，每位同学都有5种选择，共有（种）不同的选法，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：BCD.
8．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则下列选项中恰有8种不同站法的是（ ）
A．甲、乙都不与老师相邻 B．甲、乙都与老师相邻
C．甲与老师不相邻，乙与老师相邻 D．甲、乙相邻
【答案】CD
【分析】根据题意，依次分析四个选项各有几种不同的站法，即可选出答案.
【详解】对于A，甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，
丙、丁在老师相邻两边，有2种站法，
所以有种站法，不符合；
对于B，同A一样，有4种站法，不符合；
对于C，甲站两端，有2种站法，乙与老师相邻，有2种站法，
丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有种站法，C符合；
对于D，甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，
且甲、乙还可以相互交换，有种站法，
丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有种站法，D符合．
故选：CD.
三、填空题
9. 从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)
【解析】一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个)．
若二次函数为偶函数，则b＝0，a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个)．
10．从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______．
【答案】
【分析】根据分类加法计数原理，即可得出结果.
【详解】解：选出人作为主持人，可分选出女主持人和男主持人两类，
则选出人作为女主持人，有种不同的选法，
选出人作为男主持人，有种不同的选法，
所以共有种不同的选法.
故答案为：.
11．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成______种不同的信号．
【答案】39
【分析】根据给定条件分成每次升1面、升2面、升3面旗3类，求出各类表示的信号数，再将各类信号数相加即得.
【详解】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成种不同的信号；每次升3面旗可组成种不同的信号，
根据分类加法计数原理，共可组成种不同的信号．
故答案为：39
12．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有________种．
【答案】14
【分析】根据题意，用间接法分析，先计算“将4人安排到2个文明实践站”的方法，排除其中“都安排在同一个文明实践站”的方法，计算可得答案.
【详解】根据题意，将4人安排到2个文明实践站，每人有2种安排方法，则有2×2×2×2=16种安排方法，其中都安排在同一个文明实践站的方法有2种，则有16-2=14种不同的安排方法.
故答案为：14.
四、解答题
13．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？
【答案】125种
【分析】由百位、十位和个位上的数字均有5种选法，结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】由题意，百位、十位和个位上的数字均有5种选法，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成个三位数.
14．已知集合，点在直角坐标平面上，且．
(1)平面上共有多少个满足条件的点P？
(2)有多少个点P在第二象限内？
(3)有多少个点P不在直线上？
【答案】(1)36
(2)6
(3)30
【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理即可求解，
（3）先求出在直线上的点的个数，用全部个数去掉在直线上的点，即可求解.
【详解】（1）第一步，先安排横坐标，，所以有6种选择，第二步，安排纵坐标，，所以有6种选择，所以一共有个满足条件的点，
（2）在第二象限，则，故可从这3个数字中选择1个，有3种选择，可从这2个数字中选择1个，有2种选择，故总共有个满足条件的点，
（3）在直线上点满足，此时有点共有6个，所有不在直线上点有个.
15．从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数作分母，组成一个分数，这样能组成多少个值不相等的分数？写出这些分数．
【答案】11个；具体分数见解析.
【分析】由分步乘法计数原理可得组成分数的个数，其中，减去1个值相等的分数即可得值不同的分数的个数，再一一写出即可.
【详解】解：从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数作分母，组成的分数个数为，
其中，所以组成值不相等的分数个数为，
它们是、、、、、、、、、、．6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理专项练习
一、单选题
1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
2．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．64种 C．96种 D．144种
3．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（ ）
A．32 B．23
C．43 D．24
4．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格 的染色方法种数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
5．某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）
A．288 B．336 C．576 D．1680
6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ）．
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个
二、多选题
7．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A． B． C． D．6×5×4×3×2
8．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则下列选项中恰有8种不同站法的是（ ）
A．甲、乙都不与老师相邻 B．甲、乙都与老师相邻
C．甲与老师不相邻，乙与老师相邻 D．甲、乙相邻
三、填空题
9.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)
10．从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______．
11．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成______种不同的信号．
12．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有________种．
四、解答题
13．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？
14．已知集合，点在直角坐标平面上，且．
(1)平面上共有多少个满足条件的点P？
(2)有多少个点P在第二象限内？
(3)有多少个点P不在直线上？
15．从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数作分母，组成一个分数，这样能组成多少个值不相等的分数？写出这些分数．
