6.1平面向量的概念专项练习解析版
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，
故未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.
故选：B.
2．下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】B
【分析】根据单位向量、共线向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；
根据单位向量的知识可知，B选项正确；
方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量，
因此是平行向量，所以两向量为共线向量，故C错误；
根据位移的定义可知，向量表示这个人从A点到B点的位移，所以D错误.
故选：B
3．下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】对于①，根据共线向量的定义，由向量为自由向量，可得答案；
对于②，由零向量的定义和性质，可得答案；
对于③，根据向量的数量积的性质，可得答案；
对于④，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.
【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；
②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；
④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.
故选：B.
4．下列说法中，错误的个数为（ ）
①向量的长度与向量的长度相等；②两个非零向量与平行，则过与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量一定是共线向量；④共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；⑤平行向量就是向量所在直线平行
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本概念逐项进行判断，由此确定出错误的说法个数.
【详解】①与互为相反向量，长度相同方向相反，故正确；
②非零向量平行，则两非零向量方向相同或相反，故正确；
③终点相同，起点不同的非零向量不是共线向量，故错误；
④向量共线时，根据向量的可平移性可将两向量平移至同一条直线；
⑤平行向量指方向相同或相反的非零向量，因此向量所在直线可以共线，故错误，
所以错误的说法有个，
故选：A.
5．已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据单位向量的概念进行分析即可.
【详解】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，
故选：C．
6．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【答案】B
【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
7．下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】①错误，只有速度，位移是向量．
②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．
③错误，
④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．
故选：A.
二、多选题
8．下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】ABCD
【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.
【详解】根据向量的定义可得，模为的向量为单位向量，模为的向量为零向量，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD均正确，
故选：ABCD．
9．下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查学生对题目所给信息的掌握以及向量的相关性质的理解，主要考查向量的投影、向量的数量积以及向量的运算的相关性质，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
三、填空题
10．下列各量中，是向量的是___________.（填序号）
①密度；②体积；③重力；④质量.
【答案】③
【分析】由向量的概念判断即可.
【详解】向量指具有大小和方向的量.①②④仅有大小，没有方向；③既有大小又有方向.
故答案为：③.
11．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有_______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有________；
（3）与向量共线，且模相等的向量有________.
【答案】 ， ，，，， ，，，，
【解析】（1）在图形中找出与向量相等的向量，即找出和已知向量大小相等，方向相同的向量．
（2）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
（3）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
【详解】解：解：（1）与向量相等的向量是，；
（2）与向量共线且模相等的向量是，，，， ，
（3）与向量共线且模相等的向量，，，，
故答案为：（1），；
（2），，，，；
（3），，，，.
【点睛】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合．
12．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有______个元素．
【答案】12
【分析】根据题中关于集合的定义，应用枚举法，列出符合条件的元素个数即可.
【详解】由已知得，，且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）：
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：
综上所述，集合T有12个元素.
故答案为：12
13．设，是非零向量，则是成立的________条件．
【答案】必要不充分
【分析】正向推导分同向时，反向时讨论，反向推导时利用向量共线定理即可得到.
【详解】，是非零向量
当同向时，，
当反向时，，
故前者无法推出后者，
若 ，即，则，
故后者可以推出前者，
故是成立的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分.
四、解答题
14．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．
(1)共线向量？
(2)相反向量？
(3)相同的向量？
(4)模相等的向量？
【答案】(1)与共线，与共线；(2)与；(3)无相同向量；(4)
【分析】（1）利用共线向量的定义判断，
（2）利用相反向量的定义判断，
（3）利用相同向量的定义判断，
（4）求出各个向量的模进行判断
(1)与共线，与共线
(2)与是相反向量
(3)图中无方向相同的向量，所以向量，，，，中无相同的向量
(4)由图可知，
所以模相等的向量为
15．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3）与.
【分析】（1）利用共线向量的定义，结合中位线的性质，得到答案；（2）利用中位线的性质结合点是的中点，得到答案；（3）结合相等向量的定义，得到答案.
【详解】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以.所以与共线的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，，，，；
（3）与相等的向量有：与.
16.已知飞机从A地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【答案】答案见解析.
【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形(中线、高线合一用全等推等腰)，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．
【答案】答案见解析.
【解析】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，
则向量，和如下所示：6.1平面向量的概念专项练习
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
2．下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
3．下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列说法中，错误的个数为（ ）
①向量的长度与向量的长度相等；②两个非零向量与平行，则过与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量一定是共线向量；④共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；⑤平行向量就是向量所在直线平行
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
7．下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
8．下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
9．下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
三、填空题
10．下列各量中，是向量的是___________.（填序号）
①密度；②体积；③重力；④质量.
11．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有_______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有________；
（3）与向量共线，且模相等的向量有________.
12．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有______个元素．
13．设，是非零向量，则是成立的________条件．
四、解答题
14．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．
(1)共线向量？
(2)相反向量？
(3)相同的向量？
(4)模相等的向量？
15．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
16.已知飞机从A地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．
