6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习解析版
一、单选题
1．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案.
【详解】由题意得，即.
故选：C
2．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
又因为，设 与的夹角为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
3．在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合平面向量模长的坐标计算公式即可求出结果.
【详解】设，且，则,
所以，解得，
则，
故选：B.
4．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
【点睛】平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
5．已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由，，
所以，，，，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.
6．如图所示，在中，，，若，，则（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
7．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三点共线求出，然后把当基底表示出和，从而求的值.
【详解】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又,
所以
.
故选：C.
8．在平行四边形中，，则（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
【答案】A
【分析】根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】，，
，，
，
，
故选：A
二、多选题
9．（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ）
A．－2 B． C．1 D．－1
【答案】ABD
【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．
【详解】因为，
．
假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.
故选：ABD．
10．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；
【详解】解：对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，显然，
当时，，，此时，故D错误；
故选：AB
11．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是上的点，且，，与交于点O，则（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
【答案】BD
【解析】可证明，结合平面向量线性运算法则可判断A；由结合平面向量数量积的定义可判断B；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C；由投影的计算公式可判断D.
【详解】因为是边长为2的等边三角形，，
所以为的中点，且，以为原点如图建立直角坐标系，
则，，，，
由可得，则，
取的中点，连接，易得且，
所以≌，，则，
对于A，，故A错误；
对于B，由可得，故B正确；
对于C，，，，，
所以，所以，故C错误；
对于D，，，
所以在方向上的投影为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
12．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时
所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即，
结合选项可知ABC符合，D不符合
故选：ABC
三、填空题
13．点，，，点的坐标为______．
【答案】
【分析】设,由已知条件，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】由已知得，设,由已知得,
,
故答案为：(.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属基础题.关键掌握向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.
14．在中，P是BC上一点，若，则___________.
【答案】##
【分析】根据给定条件，用向量表示向量，再利用平面向量基本定理求解作答.
【详解】在中，，则，
又，且不共线，则，所以.
故答案为：
15．已知，，，且，则点M的坐标为______.
【答案】
【分析】根据A，B，C的坐标，结合，求得的坐标求解.
【详解】解：由题意得，
所以.
设，
则，
∴解得
故点M的坐标为.
故答案为：
16．已知向量．若，则________．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
四、解答题
17．已知.
（1）当为何值时，与共线？
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当为何值时，与的夹角为锐角？
【答案】（1）；（2）；（3）且.
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.
（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.
【详解】解：（1）.
与平行，，解得.
（2）与垂直，
，即，
（3）由题意可得且不共线，解得且.
18．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；
（2）若，求实数t的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；
（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.
【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．
∵，
∴，
∴
（2）∵，
∴
∵，，共线，
由平面向量共线基本定理可知满足，
解得．
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.
19．已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用向量共线坐标表示即求；
（2）利用数量积的坐标表示可得，进而可得，再利用夹角公式即求.
(1)
∵，，，，
∴，，
∴，
当，，三点共线时，有，
，
解得．
(2)
∵，，
∴
，
∴当时，取得最小值，此时，
∴，，，，
∴．
20．若，，是同一平面内的三个向量，其中（3，）．
(1)若，且∥，求的坐标；
(2)若且与垂直，求与的夹角．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，则由∥可得，再由，得，解方程组可求出，从而可求出的坐标；
（2）由与垂直，可得化简可求得，从而得，进而可求出
(1)
设，，∴，
又，．
解得：或．
∴或
(2)
∵且与垂直，
∴，即．
又，代入上式解得，
∴
∴，
又，∴．6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习
一、单选题
1．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在中，，，若，，则（ ）
/
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
8．在平行四边形中，，则（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
二、多选题
9．（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ）
A．－2 B． C．1 D．－1
10．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
11．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是上的点，且，，与交于点O，则（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
12．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．点，，，点的坐标为______．
14．在中，P是BC上一点，若，则___________.
15．已知，，，且，则点M的坐标为______.
16．已知向量．若，则________．
四、解答题
17．已知.
（1）当为何值时，与共线？
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当为何值时，与的夹角为锐角？
18．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；
（2）若，求实数t的值．
19．已知坐标平面内，，，，．
(1)当，，三点共线时，求的值；
(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．
20．若，，是同一平面内的三个向量，其中（3，）．
(1)若，且∥，求的坐标；
(2)若且与垂直，求与的夹角．
