高二数学开学考试模拟答案
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：D
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】或，因此是的既不充分也不必要条件，
故选：D．
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
，即，
，
因此，
故选：B
4．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性求解．
【详解】对任意，都有成立，即时，恒成立，
∴是增函数，
∴，解得,
故选：B．
5．在中，若，则（ ）
A．25 B．5 C．4 D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理直接求解.
【详解】在中，若，，，
由余弦定理得.
故选：B
6．已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正弦函数的图象性质，由于在上恰有3个极大值点，则可列不等式，即可求得的取值范围.
【详解】解：，
因为在上恰有3个极大值点，由，得，
又函数的极大值点满足，
所以，解得.
故选：C.
7．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可
【详解】解：对于A，若，则或，故A不正确；
对于B，若，则或，故B不正确；
对于C，若，则或，故C不正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
8．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得.
【详解】由双曲线：可得渐近线方程为，
因为，为的中点，
所以，，
所以，又， ，
所以即，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．幂函数的图象都过点
B．函数与是同一函数
C．函数的最小正周期为
D．若为三角形的一个内角，且，则
【答案】ACD
【分析】根据幂函数性质判断A；根据函数的三要素判断B；求出函数的周期判断C；根据三角形内角范围结合正切函数性质判断D.
【详解】由幂函数的性质可知幂函数的图象都过点，A正确；
函数的定义域是R，的定义域为，
二者定义域不同，故不是同一函数，B错误；
函数的最小正周期为，C正确；
为三角形的一个内角，且，即，故，D正确，
故选：ACD
10．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．公差 B．
C．的最大值为 D．满足的的最小值为16
【答案】AC
【分析】根据求出与公差的关系即可判断AB；再根据等差数列前项和公式即可判断CD.
【详解】因为，
则，即，
则，故A正确；
，故B错误；
由，得，
,
因为，
所以数列是递减数列，且当时，，当时，，
所以的最大值为，故C正确；
，
令，解得，
所以满足的的最小值为，故D错误.
故选：AC.
11．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据基本不等式，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于A，因为，所以，所以，当且仅当取等号，故A正确；
对于B，因为，当且仅当取等号，故B不正确；
对于C，因为，当且仅当取等号，故C不正确；
对于D，因为，当且仅当取等号，故D正确．
故选:AD．
12．某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
A．该校约有一半学生成绩高于70分 B．该校不及格人数比例估计为25%
C．估计该校学生成绩的中位数为70分 D．估计该校学生的平均成绩超过了70分
【答案】ABC
【分析】由频率分布直方图求得分数在和的频率，然后确定分数高于70分的频率，低于60分的频率，从而可判断ABC，由频率分布直方图计算均值判断D．
【详解】由频率分布直方图知分数在和的频率为,
因此成绩高于70分的频率为，A正确；
不及格人数即分数低于60分的频率为，B正确；
由选项A的计算知C正确；
平均成绩为，D错误，
故选：ABC．
三、填空题
13．复数______．
【答案】
【分析】由复数的除法进行运算求解即可.
【详解】.
故答案为：.
14．已知下列各组事件：
①掷一次骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数；
②掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：两次正面都朝上；
③从10男10女中选两个人分别担任正副班长，事件A：正班长是男的，事件B：副班长是男的；
④掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是独立事件的序号是______.
【答案】④
【分析】若事件与相互独立，则必须满足，根据此公式对选项逐一判断即可得出结果．
【详解】对于①，因为，而，此时，所以事件与不独立；
对于②，掷两次硬币，可能的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
则，而，此时，所以事件与不独立；
对于③，因为，而，
此时，所以事件与不独立；
对于④，掷两次硬币，可能的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
则，而，此时，所以事件与相互独立，
综上可知，A、B是独立事件的序号为④．
故答案为：④．
15．圆与圆的公共弦所在直线的方程为________．
【答案】
【分析】利用两圆的一般方程相减即可得出结果.
【详解】联立两圆的方程得，
两式相减并化简，得，
所以两圆公共弦所在直线的方程为．
故答案为：.
16．过抛物线的焦点的直线l交C于，两点，若，则线段AB中点的横坐标为_________．
【答案】3
【分析】分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，过AB的中点M作准线的垂线于，则，再根据求得.
【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，
则有，
过AB的中点M作准线的垂线，垂足为，
则为直角梯形中位线，
则，
即，所以M的横坐标为3．
故答案为：3．
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数，的值域.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式，余弦的两角差的公式，正弦的两角和的公式化简，结合函数定义域求解增区间即可；
（2）结合正弦函数的相关性质直接求解即可.
【详解】（1），由题意知，定义域为，即，
所以
，
令，则，
又因为，所以，，
所以函数的单调递增区间为，
（2）因为，，
因为，所以，所以，
所以，则，
即函数，的值域为.
18．在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理即可求解；
（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，即，
因为，所以.
（2），所以，
由余弦定理得，
所以的周长为．
19．已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.
(1)求公差的值；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列定义可得，利用表示出已知的等量关系，解方程组即可求得结果；
（2）利用等差数列求和公式可直接得到结果.
【详解】（1）成等比数列，，
由得：，解得：，
公差.
（2）由（1）得：.
20．已知四棱锥中，，，，，，
(1)求证：
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面垂直，从而得到线线垂直；（2）利用几何法找到线面所成角进而求解或者利用空间向量求解.
【详解】（1）在梯形ABCD中，，，，，
可算得，,
所以,所以，
在中，，，满足，所以，
又平面PBD，平面PBD，且，
所以平面PBD，又因为平面PBD，
所以；
（2）由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，取BD中点O，连OP，OC，
因为，所以，而平面ABCD，且平面平面，
平面PBD，
所以就是PC与平面PBD所成的角，
在中，易得，
在中，，，计算可得，
所以，
所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
解法由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，
通过计算可得，
建立以，为x轴，y轴的正方向，
以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
显然z轴再平面PBD中且垂直于BD，
则，，，，
所以，，，
设平面PBD的法向量为，
则，即
取，
设直线PC与平面PBD所成角为，则
，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
21．为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 ，乙同学晋级的概率为，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相互对立事件的乘法计算公式即可求解，
（2）根据相互对立事件的乘法公式以及对立事件的概率即可求解.
【详解】（1）设“甲晋级”为事件，“乙晋级”为事件，
设“甲、乙两人同时晋级”为事件，
则 ；
（2）设“甲、乙两人中至少有一人晋级”为事件，
由题事件，相互独立，则，也相互独立，
所以 ，
则 .
22．已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆定义列方程求得参数a，由a、b、c关系求得b.
（2）写出直线方程，联立椭圆与直线方程，由弦长公式及点线距离求得高，即可求得面积.
【详解】（1）由椭圆定义得，∴，又，得，
∴椭圆E的标准方程为：；
（2）过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线方程为，
由，得．
设，，有，，
∴，
又点P到直线AB的距离，∴面积．高二数学开学考试练习
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A． B．C． D．
4．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则（ ）
A．25 B．5 C．4 D．
6．已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．幂函数的图象都过点B．函数与是同一函数
C．函数的最小正周期为D．若为三角形的一个内角，且，则
10．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．公差B．C．的最大值为 D．满足的的最小值为16
11．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
A．该校约有一半学生成绩高于70分 B．该校不及格人数比例估计为25%
C．估计该校学生成绩的中位数为70分 D．估计该校学生的平均成绩超过了70分
三、填空题
13．复数______．
14．已知下列各组事件：
①掷一次骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数；
②掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：两次正面都朝上；
③从10男10女中选两个人分别担任正副班长，事件A：正班长是男的，事件B：副班长是男的；
④掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是独立事件的序号是______.
15．圆与圆的公共弦所在直线的方程为________．
16．过抛物线的焦点的直线l交C于，两点，若，则线段AB中点的横坐标为_________．
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数，的值域.
18．在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
19．已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.
(1)求公差的值；
(2)求.
20．已知四棱锥中，，，，，，
(1)求证：
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
21．为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 ，乙同学晋级的概率为，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
22．已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求的面积．
