高二数学开学考试模拟练习
一、单选题(共0分)
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，化简集合，再求交集.
【详解】，所以.
故选：C
2．下列命题中是真命题的是（ ）
A．“”是“”的必要非充分条件
B．的最小值是2
C．在中，“”是“”的充要条件
D．“若，则成等比数列”的逆否命题
【答案】C
【分析】解不等式，根据充分条件与必要条件的定义可判断A；令，根据对勾函数的性质可判断B；根据正弦定理可判断C；取，可得原命题为假命题，根据原命题与其逆否命题的真假性相同可判断D.
【详解】对于A，解，可得或，
解，可得或,
故“”是“”的充分非必要条件，故A错误；
对于B，令，因为，所以.
因为在上单调递减，故,故B错误；
对于C，中, ,其中为外接圆的半径，故C正确；
对于D，取，满足，但不成等比数列，
故命题“若，则成等比数列”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故D错误.
故选：C.
3．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果.
【详解】因为为奇函数，且当时，，
所以当时，，
所以.
故选：C
4．函数是定义在上的减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用减函数的定义求得的范围，再根据充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得，
所以是的必要不充分条件，
是的充分不必要条件，
，是的既不充分也不必要条件.
故选：B
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．
【详解】由函数定义域为,,故为奇函数，
故它的图像关于原点对称，可以排除C和D；
又函数在时,函数，可以排除B，所以只有A符合．
故选:A．
6．已知α，β是两个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【分析】分别利用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判断即可.
【详解】对于,若，，则或，故错误，
对于,若，，时，可能与相交，但不垂直，即不一定，故错误，
对于,由平面与平面垂直的性质定理可知，若，，，时，则，若时，直线与平面不垂直，故错误，
对于C. 若，则两平面的法向量互相垂直，因为，，所以，正确
故选：C.
7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答.
【详解】在中，由正弦定理得：，因此，
则，而，即有是正三角形，
所以的面积.
故选：B
8．直线过双曲线）的右焦点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为原点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得，进而结合双曲线的性质和已知条件得，，，再根据，，得，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线为双曲线的两条渐近线，
则直线的方程分别为，，
因为，所以，即，
因为，直线的方程分别为，即，
所以到直线的距离为，
所以，在直角三角形中，
因为，所以，
所以，，
所以，在直角三角形中，，
因为直线的方程分别为，所以，
由双曲线渐近线的对称性，，
所以，即，
整理得，
所以，双曲线的离心率为
故选：D
二、多选题(共0分)
9．关于函数，下列命题正确的是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的表达式可改写为
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
【答案】BC
【分析】利用余弦函数的图象和性质判断ACD，利用诱导公式判断B即可.
【详解】的最小正周期，A错误；
，B正确；
因为，所以的图象关于点对称，C正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，D错误；
故选：BC
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则A与B也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
【答案】BCD
【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.
【详解】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，
但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BCD．
11．下列推导过程，其中正确的是（ ）
A．因为为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以，当且仅当时，等号成立
【答案】AD
【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的条件，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确；
对于B，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，B错误；
对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误；
对于D，，则，且，
又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确.
故选：AD
12．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若不低于80分的人数是35人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．该班的学生人数是50 B．成绩在的学生人数是12
C．估计该班成绩的平均分为85 D．成绩的众数一定落在区间内
【答案】AC
【分析】根据频率之和为1可求出，再结合相关概念逐项分析运算即可判断.
【详解】对A：由题图可知，解得，
则不低于80分的频率为，所以该班的学生人数是，所以A项正确；
对B：成绩在的频率为，所以成绩在的学生人数是，所以B选项不正确；
对C：因为，所以C选项正确；
对D：因为在区间内的数据尽管频率最大，但也可能数据分散，众数不一定在区间内，所以D选项不正确.
故选：AC.
三、填空题(共0分)
13．若复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是______．
【答案】##
【分析】化简得，再求出即得解.
【详解】，
所以．因此．
所以的虚部是．
故答案为：
14．已知等差数列的前项和为，且，则_______.
【答案】
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，求出.
【详解】设公差为，则，解得：，
故.
故答案为：-6
15．已知数列满足，，则的值是______.
【答案】61
【分析】由条件可知，数列是以为公比的等比数列，将公比代入，求出的值，用等比数列前项和公式计算即可.
【详解】因为，所以，即数列是以为公比的等比数列，，所以，.
故答案为：61
16．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则______.
【答案】##3.5
【分析】由题意列出方程，求出.
【详解】由题知：，故由焦半径公式得：.
故答案为：.
四、解答题(共0分)
17．已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值和最小值分别为，
【分析】（1）对化简得，则，，解出即可；
（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.
【详解】（1）依题意得：
，
由，，
得，
所以的单调递增区间为．
（2）由（1）知，，
当时，，
则当，即时，，
当，即时，，
所以在时的最大值和最小值分别为：，．
18．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．
(1)若，求A的大小；
(2)当取得最大值时，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)为直角三角形
【分析】（1）根据题意利用正弦定理、余弦定理进行边化角结合三角恒等变换化简整理可得，运算求解即可得结果；
（2）根据题意结合化简整理得，再利用基本不等式运算求解.
【详解】（1）∵，即，则，可得，
故，则，
∴，
当时，则，
又∵，∴．
（2）由（1）知，，∴，
，
当且仅当，即当，时，等号成立，
∴的最大值为，
又∵，则的最大值为，此时，
∴．
∴为直角三角形．
19．记为的等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时的值．
【答案】(1)
(2)当时，的最小值为
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和的基本量列方程组求解；
（2）求出数列的前项和根据二次函数的特点求出最值.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，即，又因为
，
故
（2）
当时，的最小值为
20．在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面.
(1)证明：⊥平面；
(2)若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到，结合，得到线面垂直；
（2）在第一问的基础上，得到直线与平面所成的角为，故，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面，平面平面，
∴平面，又平面，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
又，平面，
∴⊥平面；
（2）设，由（1）可知，平面，则直线在面内的射影为，
故直线与平面所成的角为，
∴，
和均为边长为2的等边三角形，
以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，如下图：
由⊥平面，可得平面的法向量为，而，，，
∴，，
设平面的法向量，则，
取，可得，故，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
21．某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取了名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于至单位分钟之间．现将数据分组，并制成右图所示的频率分布直方图．为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”．
(1)求图中的值，并估计该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值；
(2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？
(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过分钟的概率．
【答案】(1)，均值为
(2)人，人
(3)
【分析】（1）由各组概率之和为1求出图中的值，再由频率分布直方图中均值的计算公式即可得出答案；
（2）由频率分布直方图求出样本“精生涯生”和“泛生涯生”的频率，求解即可；
（3）先求出人中选取人的所有基本事件和这两名学生一周学习《生涯规划》的学习时间差不超过分钟所含的基本事件，由古典概率的计算公式代入即可得出答案.
【详解】（1）由直方图可得，解得；
由直方图可得样本均值为：
，
所以，该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值为
（2）由频率分布直方图可知，样本“精生涯生”的频率为，
所以估计该年级学生中“精生涯生”的数量为人，
该年级学生中“泛生涯生”的数量为人
（3）在这名学生样本中有名“泛生涯生”，分别记为；
有名“精生涯生”，分别记为，，
从这人中选取人的所有基本事件有，，，
，，，，共个.
这两名学生一周学习《生涯规划》的学习时间差不超过分钟所含的基本事件为：
，，，共个，
故所求概率
22．已知椭圆，A、F分别为的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与交于M点（第二象限），．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)若，直线，l交于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，．
（ⅰ）若l过F，求的值；
（ⅱ）若l不过原点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据所给条件求得点M坐标，带入椭圆方程结合离心率的定义，进行求解即可；
（2）设，，坐标分别为，，
（ⅰ）根据题意求得直线l的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理直接求即可；
（ⅱ）设直线l的方程为，（）与椭圆方程联立得，利用韦达定理得，，由即可得解.
【详解】（1）由己知点M是以AO为直径的圆上的点，
∴，又∵，，∴，，
∴，又∵点M在椭圆上，∴，整理得，
∴
（2）设，，
（ⅰ）由，，∴椭圆的方程为：，
在中，∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为，与椭圆方程联立得，
整理得：，∴，，
∴，
（ⅱ）设直线l的方程为，与椭圆方程联立得，
消去x整理得：，当得，
∴，，
∴
∴当且仅当时，有最大值，此时最大值是
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.高二数学开学考试模拟练习
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中是真命题的是（ ）
A．“”是“”的必要非充分条件
B．的最小值是2
C．在中，“”是“”的充要条件
D．“若，则成等比数列”的逆否命题
3．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．5 D．7
4．函数是定义在上的减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知α，β是两个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．直线过双曲线）的右焦点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为原点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于函数，下列命题正确的是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的表达式可改写为
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则A与B也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
11．下列推导过程，其中正确的是（ ）
A．因为为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以，当且仅当时，等号成立
12．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若不低于80分的人数是35人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．该班的学生人数是50 B．成绩在的学生人数是12
C．估计该班成绩的平均分为85 D．成绩的众数一定落在区间内
三、填空题
13．若复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是______．
14．已知等差数列的前项和为，且，则_______.
15．已知数列满足，，则的值是______.
16．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则______.
四、解答题
17．已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的最大值和最小值．
18．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．
(1)若，求A的大小；
(2)当取得最大值时，试判断的形状．
19．记为的等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时的值．
20．在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面.
(1)证明：⊥平面；
(2)若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成角的余弦值.
21．某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取了名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于至单位分钟之间．现将数据分组，并制成右图所示的频率分布直方图．为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”．
(1)求图中的值，并估计该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值；
(2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？
(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过分钟的概率．
22．已知椭圆，A、F分别为的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与交于M点（第二象限），．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)若，直线，l交于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，．
（ⅰ）若l过F，求的值；（ⅱ）若l不过原点，求的最大值．
