恒成立问题
分离参数法
已知函数在上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
如果，不等式恒成立，则实数的取值可以是
A．2 B． C．1 D．
最值法（含参讨论）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
设函数，若对于，都有成立，则实数的取值为__________．
数形结合法
设函数，当时，恒成立，则的取值范围是 ．
已知函数，则__________；若，则实数的取值范围是__________．
构造函数法
已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________．
任意存在型
设函数，，则函数的最大值为__________；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
对点练习
已知函数．
（1）当时，的极小值为 ；
（2）若在上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
已知对任意x，都有，则实数a的取值范围是__________．
设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
设函数在定义域上是单调函数，对，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________．
若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
已知函数，若恒成立，则a的取值范围是 ．
若对任意实数，恒成立，则 ．
已知函数．
（1）若，求函数的单调区间
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
（分离参数法）已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时恒成立，求实数的取值范围；
（分离参数法）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
（借助第一问信息，双最值法）已知函数．
（1）求的最大值；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
已知函数．
（1）若，讨论的单调性﹔
（2）若对任意恒有不等式成立，求实数的值．
已知函数．
（1）若时求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
已知函数．
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．恒成立问题
分离参数法
已知函数在上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上恒成立，等价于在上恒成立，
只需即可．令，故可得，则，当，恒成立，故单调递减，
故，故单调递减．故可得．
故只需，即．故选D．
（多选）如果，不等式恒成立，则实数的取值可以是
A．2 B． C．1 D．
【答案】CD
【解析】，不等式恒成立，即在上恒成立，设，则，
设，则，
所以在上单调递增，且，，
所以存在，使得，即，则，
所以当时， ，则，则单调递减．
所以当时， ，则，则单调递增．
所以当时，有最小值，
即，所以，故选CD．
方法二：同构+放缩 ，
∴
最值法（含参讨论）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）函数定义域为，
由题意，
当时，在时，恒成立，在上单调递增，
当时，的解为，的解为，
在上递增，在上递减．
（2）由（1）知时，在上递增，在上递减．
所以，恒成立，则，
即，由于时，，不等式不成立，
所以，解得．
设函数，若对于，都有成立，则实数的取值为__________．
【答案】
【解析】因为函数，所以，，
令，得和，
（1）当时，此时，此时，即有单调递减，
故时，；时，，所以对于，都有成立，满足题意；
（2）当时，有，从而时，，即单调递增，
而，故可知对时，均有．不合题意；
（3）当，有，时，单调递增，
而，故可知对于任意时，均有．不合题意．
综上：．故答案为．
数形结合法
设函数，当时，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数，．对于一次函数，．，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图象如下图所示．由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率．而，所以．故答案为
已知函数，则__________；若，则实数的取值范围是__________．
【答案】-15 [-2，0]
【解析】（1），；
（2）函数，则，
画出函数的图象，如图所示；
当时，，；令，求得；
结合图象知，若，则的取值范围是．故答案为；[-2，0]．
构造函数法
已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，当时，恒成立，
即，构造函数，则，
所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则．
，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．
所以，函数的最小值为，．
因此，实数的取值范围是．故选D．
已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】设，因为，
变形为，即，
等价于，因为，令()，则，即．
设()，则．当时恒成立，故在上单调递增，．所以，k的最大值为0．故选B．
已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
，令，，
所以在上单调递增．因为，，
所以，所以恒成立，
令，只需，，所以单调递增，所以单调递减，时，的最大值为，
所以，所以的最小值为．故答案为．
任意存在型
设函数，，则函数的最大值为__________；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，，
由可得，此时函数为增函数；
由可得，此时函数为减函数；的最大值为；
若对任意，，不等式恒成立，则等价为恒成立，，当且仅当即时等号成立，
即的最小值为，且的最大值为，则的最大值为，
则由，得，即，故答案为；．
对点练习
已知函数．
（1）当时，的极小值为 ；
（2）若在上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】1
【解析】（1）时，，，，，
故在单调递增，而（1），故时，，单调递减，时，，单调递增，故极小值（1）；
（2）若在上恒成立，即在恒成立，
①即时，，，，故在恒成立，②即时，即为在恒成立，
即，只需求出的最大值即可，，
，令，解得，令，解得，
故在单调递增，在，单调递减，故，
故，综上，，．故答案为1，，．
已知对任意x，都有，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意可知，，由，可得恒成立，令，则，
现证明恒成立，设，，当时，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，函数取得最小值，，所以，即恒成立，，
所以，即．所以实数的取值范围是．故答案为
设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为当时，，构造函数，当时，，即在上单调递减，因为，所以当，，，，当，，，，因为为奇函数，所以当时，，由，得 或，
解得，选择C.
设函数在定义域上是单调函数，对，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为在定义域上是单调函数，故且为常数．
所以，又，故即，所以，
又等价于，故对任意的恒成立，令，则，
若即时，恒成立，故在上为增函数，
故，故符合．若即，令得，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
由题设可得，故，
所以，综上．故答案为．
若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 （1），
令，因为，所以，
则不等式化为，
设，，，当时，单调递减，
当时，单调递增，因此当时，，
而，因此当时，，因此，
设，，因此要想在上恒成立，只需，，因为，所以，因此在时单调递减，所以，因此．故答案为.
已知函数，若恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若，则，当时，显然成立；
当时，则，因为当时，，
所以只需满足即可，令（），则，
则时，，所以在上递减，当时，，则在上递增，所以，所以，令（），
则，令，得（舍）或，则当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，故，
综上所述：．故答案为．
若对任意实数，恒成立，则 ．
【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理）
【答案】
【解析】设，则．
当，即时，，则在上单调递减，
故，解得，所以不符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则．因为，所以．
令，不等式可转化为，设，
则，令，得；令，得，
则在上单调递减，在上单调递增；当时，有最小值0，
即．因为，所以，此时，故．
已知函数．
（1）若，求函数的单调区间
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）．
【解析】（1）当时，，，
令，得．令，得：令，得．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）对任意的恒成立，即，
设﹐则，显然当时恒成立．
在单调递增，，
，所以．
（分离参数法）已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
切线方程为，即
（2）当时，即，
令，()，成立，
设，；，，所以，所以当，，单调递减，当，，单调递增，故，所以
（分离参数法）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．
【解析】（1） 由，得，定义域为，
，
令，得（或舍去），列表：
单减 极小值 单增
所以的极小值为，无极大值．
（2）由，得，问题转化为在上恒成立，记，即在上恒成立，
则，
令，则，
由，知，即，
所以在上单调递增，，
即，所以在上单调递增，，
由在上恒成立，所以．
（借助第一问信息，双最值法）已知函数．
（1）求的最大值；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）对求导并分析导函数的分子，将导函数的分子看成新函数，分析其单调性和取值情况从而得到的取值情况，从而的单调性可知则最大值可求；
（2）先分析的情况，然后分析的情况：将不等式变形，转变为两个函数最值的关系，从而求解出的取值范围．
【解析】（1）因为，所以 ，
设，所以，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以；
（2）因为，所以，所以当时，且，
所以恒成立，
当时，若恒成立，则恒成立（*），
设，所以，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
因为由（1）知且 ，
所以若（*）成立，只需要，所以，综上可知．
已知函数．
（1）若，讨论的单调性﹔
（2）若对任意恒有不等式成立，求实数的值．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）．
【解析】（1）
当时，
当时，可得，单调递增，
当时，，，可得，单调递减，
综上所述：在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知
当时，恒成立，此时单调递增，
的值域为，不符合题意；当时，则，也不符合题意．
当时，令可得，即，
令，则，
所以在单调递增，设存在使得，两边同时取对数可得，则时，，，
当时，，，
所以当时，，
故只需即可，令，，
由可得，由可得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
从而，所以，
因为，所以，
由以上证明可知，所以，故满足条件的实数的值为．
已知函数．
（1）若时求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）由已知，当时， ，所以，
当，，则．当，，则．
所以在时，函数单调递减；在时函数单调递增．
所以有极小值，没有极大值．
（2）由题知，则，
因为，所以，则，
令，则 ，当时，则．
当时，则．
则的单调递增区间为，单调递减区间为．
所以的最小值为 ，
因为在时恒成立，则在时恒成立，
所以，所以．则
已知函数．
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【解析】（1）由已知得，所以．
①当时，，在上单调递增．
②当时，令，则；
令，则．所以在上单调递减，上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），，令，得，
设，则，当时，，在上单调递增，
所以的值域是．
当时，没有实根，，在上单调递增，
所以，符合题意；当时，，
所以有唯一实根，即有唯一实根，
当时，，在上单调递减，
所以，不符合题意，综上所述，，
即的取值范围是．
