导数与函数单调性 专题练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 导数与函数单调性 专题练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 128.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-21 14:21:56 | ||
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文档简介
导数与函数单调性关系
例1．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
例2．若f（x）=x3+ax2+（a+3）x+b在R上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣2≤a≤6 B．a≤﹣2或a≥6 C．﹣2＜a＜6 D．a＜﹣2或a＞6
例3．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为 ．
例4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为 ．
例5．设函数f（x）=mx2﹣（2m+1）x+lnx，m∈R．
（1）当m=3时，求f（x）的极值；
（2）设m＞0，讨论函数f（x）的单调性．
例6．已知二次函数h（x）=ax2+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
例7．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
例8．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
例9．已知函数
（1）若f′（1）=2，求m的值；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．
例10．（1）已知函数f（x）=axekx﹣1，g（x）=lnx+kx．当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上为增函数，求实数k的值
（2）已知函数f（x）=x+﹣2lnx，a∈R，讨论函数f（x）的单调区间．
例11．已知函数f（x）=ax﹣
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．
例12．已知：三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调增，在（﹣1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，
f（x）＞x2﹣4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数，求h（x）的单调区间．
参考答案与试题解析
1．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
解：由题意设g（x）=，则g′（x）=
∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，
∴当x＞0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，
由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，
∵不等式f（x）＞0 x g（x）＞0，
∴或，
即有x＞1或﹣1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：D．
2．若f（x）=x3+ax2+（a+3）x+b在R上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣2≤a≤6 B．a≤﹣2或a≥6 C．﹣2＜a＜6 D．a＜﹣2或a＞6
解：f′（x）=x2+ax+（a+3），
∵若函数f（x）在R上不是单调函数，
∴f′（x）有两个不等的根，
∴△=a2﹣4（a+3）＞0则a＞6或a＜﹣2，
故选：D．
3．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为 [1，+∞） ．
解：∵函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴≥0，化为．
令g（x）=，=﹣，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．
因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1．
∴m≥1．
故答案为[1，+∞）．
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（0，2） ．
解：因为当x＞0时，有 恒成立，即[]′＜0恒成立，
所以 在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
5．设函数f（x）=mx2﹣（2m+1）x+lnx，m∈R．
（1）当m=3时，求f（x）的极值；
（2）设m＞0，讨论函数f（x）的单调性．
解：（1）当m=3时，f（x）=3x2﹣7x+lnx，
∴，
令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得，
∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，
∴f（x）的极大值为，极小值为f（1）=﹣4．
（2）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
由f'（x）=0得．
①当，即时，f'（x）≥0恒成立，
则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当，即时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或，
令f'（x）＜0，解得，
则函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，令f'（x）＞0，解得或x＞1，
令f'（x）＜0，解得，
则函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．
6．已知二次函数h（x）=ax2+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，
其图象为直线，且过（0，﹣8），（4，0）两点，
把两点坐标代入h′（x）=2ax+b，
∴，解得：，
∴h（x）=x2﹣8x+2，h′（x）=2x﹣8，
∴f（x）=6lnx+x2﹣8x+2，
（2）f′（x）=+2x﹣8，
∵x＞0，∴x，f′（x），f（x）的变化如下：
x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 递增 递减 递增
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间（1，m+）上是单调函数，
则 ，解得：＜m≤．
7．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
解：（1）f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，m＜0，
f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）
因为f（x）的增区间是（0，1）
则f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集为（0，1）
所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m﹣6（m+1）+3m+6=0
解得m=﹣2 （4分）
（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（﹣1≤x≤1）图象上任意一点
切线斜率K=f′（x）=3m﹣6（m+1）x0+（3m+6）＞3m，
即3m﹣6（m+1）x0+6＞0在x0∈[﹣1，1]，m＜0）
设g（x0）=3m﹣6（m+1）x0+6，则g（﹣1）＞0且g（1）＞0，
即3m+6（m+1）+6＞0解得m＞﹣，又3m﹣6（m+1）+6＞0解得m＜0，
∴
综上所述：m的取值范围：（﹣，0）．
8．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=﹣1③]
由①②③得：，即
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx﹣x3+x
设，则M'（x）=lnx﹣3x2+2设H（x）=M'（x）=lnx﹣3x2+2，则∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤﹣1＜0，即M'（x）＜0∴M（x）在[1，e]上递减，∴M（x）≥M（e）=2e﹣e3
于是有m＞2e﹣e3为所求．
9．已知函数
（1）若f′（1）=2，求m的值；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．
解：（1），由已知，f'（1）=m﹣2+m=2，
所以m=2；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，则在[1，+∞）上
有恒成立，或恒成立
即，或对x∈[1，+∞）恒成立，
因为，
而当x∈[1，+∞）时，∈[2，+∞），故，
所以m≥1或m≤0．
即m的取值范围是m≥1或m≤0．
10．（1）已知函数f（x）=axekx﹣1，g（x）=lnx+kx．当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上为增函数，求实数k的值
（2）已知函数f（x）=x+﹣2lnx，a∈R，讨论函数f（x）的单调区间．
解：（1）a=1时，f（x）=xekx﹣1，
∴f′（x）=（kx+1）ekx，g′（x）=+k，
f（x）在（1，+∞）上为减函数，
则 x＞1，f′（x）≤0 k≤﹣，
∴k≤﹣1；
∵g（x）在（0，1）上为增函数，
则 x∈（0，1），g′（x）≥0 k≥﹣，
∴k≥﹣1；
综上所述：k=﹣1；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=1﹣﹣=，
①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，得x2﹣2x﹣a≥0，则f′（x）≥0．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f′（x）=0得x2﹣2x﹣a=0，
解得x1=1﹣，x2=1+＞0，
（ⅰ） 若﹣1＜a≤0，则x1=1﹣≥0，∵x∈（0，+∞），
∴f（x）在（0，1﹣），（1+，+∞）递增，在（1﹣，1+）递减，
（ⅱ）若a＞0，则x1＜0，x∈（ 0，1+）时，f′（x）＜0，x∈（1+，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1﹣）上单调递减，在区间（1+，+∞）上单调递增．
11．已知函数f（x）=ax﹣
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．
解：（I）=（x＞0）．
①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
②当a＞0时，令g（x）=ax2﹣2x+a，
∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，
∴g（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴，在区间[1，+∞）上恒成立．
令u（x）=，x∈[1，+∞）．
∵u（x）=≤=1，当且仅当x=1时取等号．
∴a≥1．
∴当a≥1时，函数f（x）单调递增．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）；
（2）由（1）可知：①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
②当a≥1时，此时函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
③当0＜a＜1时，由ax2﹣2x+a=0，解得，．
∴函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．
12．已知：三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调增，在（﹣1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，
f（x）＞x2﹣4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数，求h（x）的单调区间．
解：（1）∵f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单增，（﹣1，2）上单减
∴f'（x）=3x2+2ax+b=0有两根﹣1，2
∴…2
令g′（x）=3x2﹣5x﹣2=（3x+1）（x﹣2）单调增，单调减
故
故．…5
（2）∵f′（x）=3x2﹣3x﹣6
h（x）的定义域：…6∴h（x）=x+1﹣（m+1）ln（x+m）（x＞﹣m且x≠2）…7
∴…9
①m＞﹣1时，﹣m＜1．x∈（﹣m，1）2时，h'（x）＜03；x∈（1，2）∪（2，+∞）4时，h'（x）＞05
∴h（x）在（﹣m，1）单减；在（1，2），（2，+∞）上单增；
②﹣2＜m≤﹣1时，h'（x）＞0在定义域内恒成立，h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上单增
③当m≤﹣2时，此时h（x）的定义域为：（﹣m，+∞），h（x）在（﹣m，+∞）上单增
综上：当m≤﹣2时，h（x）在（﹣m，+∞）上单增；
当﹣2＜m≤﹣1时，h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上单增；
当m＞﹣1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（﹣m，1）单减．…12
例1．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
例2．若f（x）=x3+ax2+（a+3）x+b在R上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣2≤a≤6 B．a≤﹣2或a≥6 C．﹣2＜a＜6 D．a＜﹣2或a＞6
例3．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为 ．
例4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为 ．
例5．设函数f（x）=mx2﹣（2m+1）x+lnx，m∈R．
（1）当m=3时，求f（x）的极值；
（2）设m＞0，讨论函数f（x）的单调性．
例6．已知二次函数h（x）=ax2+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
例7．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
例8．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
例9．已知函数
（1）若f′（1）=2，求m的值；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．
例10．（1）已知函数f（x）=axekx﹣1，g（x）=lnx+kx．当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上为增函数，求实数k的值
（2）已知函数f（x）=x+﹣2lnx，a∈R，讨论函数f（x）的单调区间．
例11．已知函数f（x）=ax﹣
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．
例12．已知：三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调增，在（﹣1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，
f（x）＞x2﹣4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数，求h（x）的单调区间．
参考答案与试题解析
1．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
解：由题意设g（x）=，则g′（x）=
∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，
∴当x＞0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，
由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，
∵不等式f（x）＞0 x g（x）＞0，
∴或，
即有x＞1或﹣1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：D．
2．若f（x）=x3+ax2+（a+3）x+b在R上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣2≤a≤6 B．a≤﹣2或a≥6 C．﹣2＜a＜6 D．a＜﹣2或a＞6
解：f′（x）=x2+ax+（a+3），
∵若函数f（x）在R上不是单调函数，
∴f′（x）有两个不等的根，
∴△=a2﹣4（a+3）＞0则a＞6或a＜﹣2，
故选：D．
3．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为 [1，+∞） ．
解：∵函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴≥0，化为．
令g（x）=，=﹣，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．
因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1．
∴m≥1．
故答案为[1，+∞）．
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（0，2） ．
解：因为当x＞0时，有 恒成立，即[]′＜0恒成立，
所以 在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
5．设函数f（x）=mx2﹣（2m+1）x+lnx，m∈R．
（1）当m=3时，求f（x）的极值；
（2）设m＞0，讨论函数f（x）的单调性．
解：（1）当m=3时，f（x）=3x2﹣7x+lnx，
∴，
令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得，
∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，
∴f（x）的极大值为，极小值为f（1）=﹣4．
（2）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
由f'（x）=0得．
①当，即时，f'（x）≥0恒成立，
则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当，即时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或，
令f'（x）＜0，解得，
则函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，令f'（x）＞0，解得或x＞1，
令f'（x）＜0，解得，
则函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．
6．已知二次函数h（x）=ax2+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，
其图象为直线，且过（0，﹣8），（4，0）两点，
把两点坐标代入h′（x）=2ax+b，
∴，解得：，
∴h（x）=x2﹣8x+2，h′（x）=2x﹣8，
∴f（x）=6lnx+x2﹣8x+2，
（2）f′（x）=+2x﹣8，
∵x＞0，∴x，f′（x），f（x）的变化如下：
x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 递增 递减 递增
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间（1，m+）上是单调函数，
则 ，解得：＜m≤．
7．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
解：（1）f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，m＜0，
f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）
因为f（x）的增区间是（0，1）
则f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集为（0，1）
所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m﹣6（m+1）+3m+6=0
解得m=﹣2 （4分）
（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（﹣1≤x≤1）图象上任意一点
切线斜率K=f′（x）=3m﹣6（m+1）x0+（3m+6）＞3m，
即3m﹣6（m+1）x0+6＞0在x0∈[﹣1，1]，m＜0）
设g（x0）=3m﹣6（m+1）x0+6，则g（﹣1）＞0且g（1）＞0，
即3m+6（m+1）+6＞0解得m＞﹣，又3m﹣6（m+1）+6＞0解得m＜0，
∴
综上所述：m的取值范围：（﹣，0）．
8．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx﹣，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=﹣1③]
由①②③得：，即
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx﹣x3+x
设，则M'（x）=lnx﹣3x2+2设H（x）=M'（x）=lnx﹣3x2+2，则∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤﹣1＜0，即M'（x）＜0∴M（x）在[1，e]上递减，∴M（x）≥M（e）=2e﹣e3
于是有m＞2e﹣e3为所求．
9．已知函数
（1）若f′（1）=2，求m的值；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．
解：（1），由已知，f'（1）=m﹣2+m=2，
所以m=2；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，则在[1，+∞）上
有恒成立，或恒成立
即，或对x∈[1，+∞）恒成立，
因为，
而当x∈[1，+∞）时，∈[2，+∞），故，
所以m≥1或m≤0．
即m的取值范围是m≥1或m≤0．
10．（1）已知函数f（x）=axekx﹣1，g（x）=lnx+kx．当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上为增函数，求实数k的值
（2）已知函数f（x）=x+﹣2lnx，a∈R，讨论函数f（x）的单调区间．
解：（1）a=1时，f（x）=xekx﹣1，
∴f′（x）=（kx+1）ekx，g′（x）=+k，
f（x）在（1，+∞）上为减函数，
则 x＞1，f′（x）≤0 k≤﹣，
∴k≤﹣1；
∵g（x）在（0，1）上为增函数，
则 x∈（0，1），g′（x）≥0 k≥﹣，
∴k≥﹣1；
综上所述：k=﹣1；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=1﹣﹣=，
①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，得x2﹣2x﹣a≥0，则f′（x）≥0．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f′（x）=0得x2﹣2x﹣a=0，
解得x1=1﹣，x2=1+＞0，
（ⅰ） 若﹣1＜a≤0，则x1=1﹣≥0，∵x∈（0，+∞），
∴f（x）在（0，1﹣），（1+，+∞）递增，在（1﹣，1+）递减，
（ⅱ）若a＞0，则x1＜0，x∈（ 0，1+）时，f′（x）＜0，x∈（1+，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1﹣）上单调递减，在区间（1+，+∞）上单调递增．
11．已知函数f（x）=ax﹣
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．
解：（I）=（x＞0）．
①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
②当a＞0时，令g（x）=ax2﹣2x+a，
∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，
∴g（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴，在区间[1，+∞）上恒成立．
令u（x）=，x∈[1，+∞）．
∵u（x）=≤=1，当且仅当x=1时取等号．
∴a≥1．
∴当a≥1时，函数f（x）单调递增．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）；
（2）由（1）可知：①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
②当a≥1时，此时函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
③当0＜a＜1时，由ax2﹣2x+a=0，解得，．
∴函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．
12．已知：三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调增，在（﹣1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，
f（x）＞x2﹣4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数，求h（x）的单调区间．
解：（1）∵f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单增，（﹣1，2）上单减
∴f'（x）=3x2+2ax+b=0有两根﹣1，2
∴…2
令g′（x）=3x2﹣5x﹣2=（3x+1）（x﹣2）单调增，单调减
故
故．…5
（2）∵f′（x）=3x2﹣3x﹣6
h（x）的定义域：…6∴h（x）=x+1﹣（m+1）ln（x+m）（x＞﹣m且x≠2）…7
∴…9
①m＞﹣1时，﹣m＜1．x∈（﹣m，1）2时，h'（x）＜03；x∈（1，2）∪（2，+∞）4时，h'（x）＞05
∴h（x）在（﹣m，1）单减；在（1，2），（2，+∞）上单增；
②﹣2＜m≤﹣1时，h'（x）＞0在定义域内恒成立，h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上单增
③当m≤﹣2时，此时h（x）的定义域为：（﹣m，+∞），h（x）在（﹣m，+∞）上单增
综上：当m≤﹣2时，h（x）在（﹣m，+∞）上单增；
当﹣2＜m≤﹣1时，h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上单增；
当m＞﹣1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（﹣m，1）单减．…12