导数与切线间的关系专题练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 导数与切线间的关系专题练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 69.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-21 14:24:43 | ||
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文档简介
导数与切线间的关系
例1．已知正数m，n，满足mn=，则曲线f（x）=x3+n2x在点（m，f（m））处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[，π） B．[，） C．[，] D．[，）
例2．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x+2y在D上的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
例3．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象是曲线C，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．[，+∞） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
例4．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C．1 D．2
例5．已知函数f（x）=2lnx﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是 ．
例6．P为曲线C1：y=ex上一点，Q为曲线C2：y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为 ．
例7．已知函数f（x）=3xlnx+2
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）对任意的x＞1，都有f（x）≤x2﹣cx，求实数c的取值范围．
例8．设函数，已知曲线y=f（x）在x=0处的切线l方程为y=kx+b，且k≥b．
（1）求m的取值范围；
（2）当x≥﹣2时，f（x）≥0，求m的最大值．
例9．已知函数，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（II）当a=1时，试问曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
例10．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）在点f（x）（e，f（e））的切线方程；
（2）若对 x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
例11．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
例12．设函数f（x）=2xlnx﹣1．
（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．已知正数m，n，满足mn=，则曲线f（x）=x3+n2x在点（m，f（m））处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[，π） B．[，） C．[，] D．[，）
解：f（x）=x3+n2x的导数为f′（x）=x2+n2，
可得f（x）在点（m，f（m））处的切线的斜率为k=m2+n2，
由正数m，n，满足mn=，
可得k=m2+n2≥2mn=，
则倾斜角的范围是[，）．
故选：D．
2．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x+2y在D上的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
解：∵，f'（1）=1，
∴曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1．
∴由x轴和曲线y=f（x）及y=x﹣1围成的封闭区域为三角形．
z=x+2y在点（1，0）处取得最大值1．
故选：D．
3．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象是曲线C，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．[，+∞） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
解：函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，
设切点为（s，t），即有切线的斜率为es﹣m，
若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，
则关于s的方程es﹣m=﹣无实数解，
由于es＞0，即有m﹣≤0，
解得m≤．
故选：D．
4．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C．1 D．2
解：由题意得y′=﹣2，则在点M（1，﹣2）处的切线斜率k=﹣1，
故切线方程为：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，
令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，
∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，
故选A．
二．填空题（共2小题）
5．已知函数f（x）=2lnx﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是 x﹣y﹣2=0 ．
解：f′（x）=2ln x﹣xf′（1），
由题意可知，曲线在（1，f（1））处切线方程的斜率k=f′（1），
则f′（1）=2﹣f′（1），解得f′（1）=1，
则f（1）=﹣1，所以切点（1，﹣1），
所以切线方程为：y+1=x﹣1，化简得x﹣y﹣2=0
故答案为：x﹣y﹣2=0．
6．P为曲线C1：y=ex上一点，Q为曲线C2：y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为 ．
解：∵曲线y=ex与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，
故可先求点P到直线y=x的最近距离d，
设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=ex，由ex=1，得x=0，
故切点坐标为（0，1），即b=1，
∴d==，
∴丨PQ丨的最小值为2d=2×=．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
7．已知函数f（x）=3xlnx+2
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）对任意的x＞1，都有f（x）≤x2﹣cx，求实数c的取值范围．
解：（1）函数f（x）=3xlnx+2
导数f′（x）=3lnx+3，
函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率k为f′（1）=3+3ln1=3，
又因为f（1）=2，即切点坐标为（1，2），
所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1），
即3x﹣y﹣1=0；
（2）任意的x＞1，都有f（x）≤x2﹣cx，即3xlnx+2≤x2﹣cx，
可得c≤=x﹣3lnx﹣，
设h（x）=x﹣3lnx﹣，
则h′（x）=1﹣+=，
当x＜1时，h′（x）＞0，1＜x＜2时，h′（x）＜0，x＞2时，h′（x）＞0，
即h（x）的增区间为（﹣∞，1）和（2，+∞），减区间为（1，2），
所以当x＞1时，函数h（x）有最小值h（2）=1﹣3ln2，
c≤h（x）恒成立，即c≤1﹣3ln2．
8．设函数，已知曲线y=f（x）在x=0处的切线l方程为y=kx+b，且k≥b．
（1）求m的取值范围；
（2）当x≥﹣2时，f（x）≥0，求m的最大值．
解：（1）f'（x）=（x+2）（mex﹣1）．
因为f（0）=m﹣1，f'（0）=2（m﹣1），
所以切线l方程为y=2（m﹣1）x+m﹣1．
由2（m﹣1）≥m﹣1，得m的取值范围为[1，+∞）．…（5分）
（2）令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=﹣lnm．
若1≤m＜e2，则﹣2＜x2≤0．从而当x∈（﹣2，x2）时，f'（x）＜0；
当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0．
即f（x）在（﹣2，x2）单调递减，在（x2，+∞）单调递增．
故f（x）在[﹣2，+∞）的最小值为f（x2）．
而，故当x≥﹣2时，f（x）≥0．
若m=e2，f'（x）=e2（x+2）（ex﹣e﹣2）．
当x≥﹣2时，f'（x）＞0．即f（x）在[﹣2，+∞）单调递增．
故当x≥﹣2时，f（x）≥f（﹣2）=0．
若m＞e2，则f（﹣2）=﹣me﹣2+1=﹣e﹣2（m﹣e2）＜0．
从而当x≥﹣2时，f（x）≥0不恒成立．
综上m的最大值为e2．…（12分）
9．已知函数，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（II）当a=1时，试问曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
解：（I）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，（2分）
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1（15分）
（II）当a=1时，，x∈（0，+∞）
令，
（7分）
当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）单调递减；
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）在（0，1）单调递增．（10分）
又g（1）=0，所以g（x）在（0，1）∪（1，+∞）恒负
因此，曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3仅有一个公共点，公共点为（1，﹣1）．（13分）
10．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）在点f（x）（e，f（e））的切线方程；
（2）若对 x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当a=0时，f（x）=﹣x2+2lnx，
∴，f（e）=﹣e2+2，
故在点（e，f（e））的切线方程为y﹣f（e）=f′（e）（x﹣e），
化简得y=．
（2）g（x）=f（x）﹣2ax=（a﹣1）x2﹣2ax+2lnx，
则g（x）的定义域为（0，+∞）．
g′（x）=（2a﹣2）x﹣2a+==
①若a＞1，令g′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即1＜a＜2时，
在（0，1）上有g′（x）＞0，在（1，x2）上有g′（x）＜0，
在（x2，+∞）上有g′（x）＞0，
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2≤x1=1，即a＞2时，
同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上恒有g′（x）＞0，
g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤1，则有2a﹣2≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，
只须满足g（1）=a﹣1﹣2a≤0即可，可得a≥﹣1，
∴a的范围是[﹣1，1]．
综合①②可知，当a∈[﹣1，1]时，
对 x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立．
11．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
（1）解：∵f（x）=alnx+bx，
∴f′（x）=+b．
∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为0.5，且过点（1，﹣0.5），…（1分）
∴f（1）=﹣0.5，f′（1）=0.5
解得a=1，b=﹣0.5．…（3分）
（2）解：由（1）得f（x）=lnx﹣0.5x．
当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，等价于k＜0.5x2﹣xlnx．…（4分）
令g（x）=0.5x2﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．…（5分）
令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=，
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（1）=0…（6分）
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=0.5．…（7分）
∴k≤0.5．…（9分）
12．设函数f（x）=2xlnx﹣1．
（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数f（x）=2xlnx﹣1的导数为f′（x）=2（lnx+1），
当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=取得极小值，也为最小值，且为﹣﹣1；
可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=2，
切点为（1，﹣1），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），
即为2x﹣y﹣3=0；
（2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，
可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，
h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）max=﹣2，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围：[﹣2，+∞）．
例1．已知正数m，n，满足mn=，则曲线f（x）=x3+n2x在点（m，f（m））处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[，π） B．[，） C．[，] D．[，）
例2．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x+2y在D上的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
例3．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象是曲线C，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．[，+∞） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
例4．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C．1 D．2
例5．已知函数f（x）=2lnx﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是 ．
例6．P为曲线C1：y=ex上一点，Q为曲线C2：y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为 ．
例7．已知函数f（x）=3xlnx+2
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）对任意的x＞1，都有f（x）≤x2﹣cx，求实数c的取值范围．
例8．设函数，已知曲线y=f（x）在x=0处的切线l方程为y=kx+b，且k≥b．
（1）求m的取值范围；
（2）当x≥﹣2时，f（x）≥0，求m的最大值．
例9．已知函数，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（II）当a=1时，试问曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
例10．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）在点f（x）（e，f（e））的切线方程；
（2）若对 x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
例11．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
例12．设函数f（x）=2xlnx﹣1．
（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．已知正数m，n，满足mn=，则曲线f（x）=x3+n2x在点（m，f（m））处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[，π） B．[，） C．[，] D．[，）
解：f（x）=x3+n2x的导数为f′（x）=x2+n2，
可得f（x）在点（m，f（m））处的切线的斜率为k=m2+n2，
由正数m，n，满足mn=，
可得k=m2+n2≥2mn=，
则倾斜角的范围是[，）．
故选：D．
2．设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x+2y在D上的最大值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
解：∵，f'（1）=1，
∴曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1．
∴由x轴和曲线y=f（x）及y=x﹣1围成的封闭区域为三角形．
z=x+2y在点（1，0）处取得最大值1．
故选：D．
3．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象是曲线C，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．[，+∞） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
解：函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，
设切点为（s，t），即有切线的斜率为es﹣m，
若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，
则关于s的方程es﹣m=﹣无实数解，
由于es＞0，即有m﹣≤0，
解得m≤．
故选：D．
4．曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C．1 D．2
解：由题意得y′=﹣2，则在点M（1，﹣2）处的切线斜率k=﹣1，
故切线方程为：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，
令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，
∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==，
故选A．
二．填空题（共2小题）
5．已知函数f（x）=2lnx﹣xf′（1），则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是 x﹣y﹣2=0 ．
解：f′（x）=2ln x﹣xf′（1），
由题意可知，曲线在（1，f（1））处切线方程的斜率k=f′（1），
则f′（1）=2﹣f′（1），解得f′（1）=1，
则f（1）=﹣1，所以切点（1，﹣1），
所以切线方程为：y+1=x﹣1，化简得x﹣y﹣2=0
故答案为：x﹣y﹣2=0．
6．P为曲线C1：y=ex上一点，Q为曲线C2：y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为 ．
解：∵曲线y=ex与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，
故可先求点P到直线y=x的最近距离d，
设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=ex，由ex=1，得x=0，
故切点坐标为（0，1），即b=1，
∴d==，
∴丨PQ丨的最小值为2d=2×=．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
7．已知函数f（x）=3xlnx+2
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）对任意的x＞1，都有f（x）≤x2﹣cx，求实数c的取值范围．
解：（1）函数f（x）=3xlnx+2
导数f′（x）=3lnx+3，
函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率k为f′（1）=3+3ln1=3，
又因为f（1）=2，即切点坐标为（1，2），
所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1），
即3x﹣y﹣1=0；
（2）任意的x＞1，都有f（x）≤x2﹣cx，即3xlnx+2≤x2﹣cx，
可得c≤=x﹣3lnx﹣，
设h（x）=x﹣3lnx﹣，
则h′（x）=1﹣+=，
当x＜1时，h′（x）＞0，1＜x＜2时，h′（x）＜0，x＞2时，h′（x）＞0，
即h（x）的增区间为（﹣∞，1）和（2，+∞），减区间为（1，2），
所以当x＞1时，函数h（x）有最小值h（2）=1﹣3ln2，
c≤h（x）恒成立，即c≤1﹣3ln2．
8．设函数，已知曲线y=f（x）在x=0处的切线l方程为y=kx+b，且k≥b．
（1）求m的取值范围；
（2）当x≥﹣2时，f（x）≥0，求m的最大值．
解：（1）f'（x）=（x+2）（mex﹣1）．
因为f（0）=m﹣1，f'（0）=2（m﹣1），
所以切线l方程为y=2（m﹣1）x+m﹣1．
由2（m﹣1）≥m﹣1，得m的取值范围为[1，+∞）．…（5分）
（2）令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=﹣lnm．
若1≤m＜e2，则﹣2＜x2≤0．从而当x∈（﹣2，x2）时，f'（x）＜0；
当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0．
即f（x）在（﹣2，x2）单调递减，在（x2，+∞）单调递增．
故f（x）在[﹣2，+∞）的最小值为f（x2）．
而，故当x≥﹣2时，f（x）≥0．
若m=e2，f'（x）=e2（x+2）（ex﹣e﹣2）．
当x≥﹣2时，f'（x）＞0．即f（x）在[﹣2，+∞）单调递增．
故当x≥﹣2时，f（x）≥f（﹣2）=0．
若m＞e2，则f（﹣2）=﹣me﹣2+1=﹣e﹣2（m﹣e2）＜0．
从而当x≥﹣2时，f（x）≥0不恒成立．
综上m的最大值为e2．…（12分）
9．已知函数，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（II）当a=1时，试问曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
解：（I）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，（2分）
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1（15分）
（II）当a=1时，，x∈（0，+∞）
令，
（7分）
当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）单调递减；
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）在（0，1）单调递增．（10分）
又g（1）=0，所以g（x）在（0，1）∪（1，+∞）恒负
因此，曲线y=f（x）与直线y=2x﹣3仅有一个公共点，公共点为（1，﹣1）．（13分）
10．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）在点f（x）（e，f（e））的切线方程；
（2）若对 x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当a=0时，f（x）=﹣x2+2lnx，
∴，f（e）=﹣e2+2，
故在点（e，f（e））的切线方程为y﹣f（e）=f′（e）（x﹣e），
化简得y=．
（2）g（x）=f（x）﹣2ax=（a﹣1）x2﹣2ax+2lnx，
则g（x）的定义域为（0，+∞）．
g′（x）=（2a﹣2）x﹣2a+==
①若a＞1，令g′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即1＜a＜2时，
在（0，1）上有g′（x）＞0，在（1，x2）上有g′（x）＜0，
在（x2，+∞）上有g′（x）＞0，
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2≤x1=1，即a＞2时，
同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上恒有g′（x）＞0，
g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤1，则有2a﹣2≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，
只须满足g（1）=a﹣1﹣2a≤0即可，可得a≥﹣1，
∴a的范围是[﹣1，1]．
综合①②可知，当a∈[﹣1，1]时，
对 x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立．
11．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
（1）解：∵f（x）=alnx+bx，
∴f′（x）=+b．
∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为0.5，且过点（1，﹣0.5），…（1分）
∴f（1）=﹣0.5，f′（1）=0.5
解得a=1，b=﹣0.5．…（3分）
（2）解：由（1）得f（x）=lnx﹣0.5x．
当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，等价于k＜0.5x2﹣xlnx．…（4分）
令g（x）=0.5x2﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．…（5分）
令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=，
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（1）=0…（6分）
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=0.5．…（7分）
∴k≤0.5．…（9分）
12．设函数f（x）=2xlnx﹣1．
（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数f（x）=2xlnx﹣1的导数为f′（x）=2（lnx+1），
当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=取得极小值，也为最小值，且为﹣﹣1；
可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=2，
切点为（1，﹣1），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），
即为2x﹣y﹣3=0；
（2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，
可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，
h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）max=﹣2，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围：[﹣2，+∞）．