6.2排列与组合专项练习
一、单选题
1．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有（ ）．
A．144种 B．90种 C．260种 D．120种
2．4对孪生兄弟排成一排，每对孪生兄弟不能分开，排法有（ ）．
A．24种 B．种 C．384种 D．96种
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
4．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
6．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
7．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶 一个有害垃圾桶 一个厨余垃圾桶 一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．某职校选出甲 乙 丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲 乙 丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（ ）
A．72种 B．36种 C．96种 D．48种
二、多选题
9．已知，则的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则抽出的3件产品中（ ）
A．至多有1件不合格品的抽法种数为
B．都是合格品的抽法种数为
C．至少有1件不合格品的抽法种数为
D．至少有1件不合格品的抽法种数为
11．下列给出的式子中正确的有（ ）.
A．
B．
C．
D．
12．5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B．60
C．72 D．
三、填空题
13．在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________.
14．第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络 场馆运行 文化展示 赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有___________种.
15．已知，则________．
16．甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
四、解答题
17．（1）星期一上午某教师要上3个班级的课，每班1节．若上午规定限排4节课，且要求3节课不能连排，则这天上午该教师的课程表有几种不同的排法？
（2）某天的课程表要排入政治、语文、数学、外语、劳技、体育6门课，每门课排1节．若第1节不能排体育课，第6节不能排数学课，则共有几种不同排法？
18．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
19．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：
（1）能组成多少个这样的七位数？
（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？
（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？
20．由0，1，2，3，4，5这6个数字，
(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数？6.2排列与组合专项练习解析版
一、单选题
1．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有（ ）．
A．144种 B．90种 C．260种 D．120种
【答案】A
【分析】按照分类分步计数原理，先排女生，再让男生去插空即可.
【详解】由3名男生不相邻知，应该先把3名女生排好，有种排法，
再让3个男生去插空，在3名女生形成的4个空中插入3个男生，共有种排法，
根据分步乘法计数原理，知总共有种排法；
故选：A．
2．4对孪生兄弟排成一排，每对孪生兄弟不能分开，排法有（ ）．
A．24种 B．种 C．384种 D．96种
【答案】C
【分析】先把每对孪生兄弟两人看成一个元素共有4个元素，进行全排列，再把每组内部进行排列即可.
【详解】每对孪生兄弟两人看成一个元素共有4个元素，全排列有种排法，
再把组内每两个人全排列一次，有种排法．根据分步乘法计数原理，
共有种排法．
故选：C．
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
4．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.
【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种
所以每位同学的不同选修方式有种，
故选：B.
5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
6．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【答案】A
【分析】先从初甲乙丙之外的3人中任选1人上第一节课，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，即可求解.
【详解】先安排第一节课，从初甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，
中间的两节课从剩下的4人中任选2人，
故甲乙两名教师不上第一节课，丙必须项最后一节课，
则不同的安排方案种数为种.
故选：A.
7．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶 一个有害垃圾桶 一个厨余垃圾桶 一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；
所以不同的摆放方法共有种，
故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：
（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有种选法；
（2）之后就相当于三个元素的一个全排；
（3）利用分步乘法计数原理求得结果.
8．某职校选出甲 乙 丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲 乙 丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（ ）
A．72种 B．36种 C．96种 D．48种
【答案】D
【分析】由题意，知甲 乙 丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可
【详解】由题意，知甲 乙 丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，
当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个，所以有种情况；
当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有种情况.
故共有种不同的情况.
故选：D.
二、多选题
9．已知，则的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【分析】将题设中的方程化为，从而可求的可能取值.
【详解】因为，所以，所以，
其中，而 ，
所以的值可能是2或3．
故选：CD．
10．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则抽出的3件产品中（ ）
A．至多有1件不合格品的抽法种数为
B．都是合格品的抽法种数为
C．至少有1件不合格品的抽法种数为
D．至少有1件不合格品的抽法种数为
【答案】CD
【分析】求出抽出的3件产品都是合格品和抽出的3件产品中有1件不合格品的种数可判断AB；求出有1件不合格品和有2件不合格品的种数可判断C；利用排除法可判断D.
【详解】对于A，分两种情况：①抽出的3件产品都是合格品，抽法种数为；②抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为，所以抽法种数为，故A错误，B错误．
对于C，分两种情况：①抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为；②抽出的3件产品中有2件不合格品，抽法种数为．所以抽法种数为．故C正确．
对于D，用“排除法”，知抽法种数为，故D正确．
故选：CD.
11．下列给出的式子中正确的有（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据组合数公式进行求解判断即可.
【详解】∵，∴A错误；
∵，∴B正确；
∵，∴C正确，
∵，∴D正确.
故选：BCD
12．5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B．60
C．72 D．
【答案】AC
【解析】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共种不同的排法，再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法，由此可得选项.
【详解】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共=3×2×1=6种不同的排法，
再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共=12种不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是=6×12=72，故选：AC．
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
三、填空题
13．在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________.
【答案】120
【分析】利用排除法结合组合数公式即得.
【详解】在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血共有选法，
选取5人全是女教师共有选法，
∴不同的选取方法有种.
故答案为：120.
14．第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络 场馆运行 文化展示 赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有___________种.
【答案】840
【分析】根据题意可知不同安排方法为种，即可求解.
【详解】根据题意，由7人选4人从事不同工作，是排列问题，
故不同的选派方案共有，
故答案为：840
15．已知，则________．
【答案】
【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质
递推关系及组合数公式即可求解
【详解】由，得，解得.
所以.
故答案为：.
16．甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
【答案】
【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.
【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同的排列方法有种.
故答案为：
四、解答题
17．（1）星期一上午某教师要上3个班级的课，每班1节．若上午规定限排4节课，且要求3节课不能连排，则这天上午该教师的课程表有几种不同的排法？
（2）某天的课程表要排入政治、语文、数学、外语、劳技、体育6门课，每门课排1节．若第1节不能排体育课，第6节不能排数学课，则共有几种不同排法？
【答案】（1）；（2）504
【分析】（1）直接排列解决减去联排情况.
（2）6节随机排列减去第1节不能排体育课的方法数为和第1节不能排体育课的方法数为再加上体育在第1节，数学在第6节的方法数.
【详解】根据题意为排列所以，三节课联排的方法数为：
所以该教师的课程表有
（2）把政治、语文、数学、外语、劳技、体育6门课随意排到节课的方法数为
第1节排体育课的方法数为，其中包括体育在第1节，数学在第6节的情况
第6节排数学课的方法数为，其中包括体育在第1节，数学在第6节的情况
又因为体育在第1节，数学在第6节的方法数为，所以第1节不能排体育课，第6节不能排数学课的方法数为
18．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
【答案】答案见解析
【分析】给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图，然后根据树形图一一列举．
【详解】解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．
由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
19．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：
（1）能组成多少个这样的七位数？
（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？
（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）先选出符合要求的数，再全排列即可；
（2）利用捆绑法计算可得；
（2）先将4个奇数排好，再3个偶数插空，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：（1）分步完成：第一步，从4个偶数中取3个，有种情况；
第二步，从5个奇数中取4个，有种情况；
第三步，将取出的3个偶数和4个奇数进行全排列，有种情况.
所以符合题意的七位数的个数为.
（2）由题意，3个偶数排在一起的七位数的个数为
（3）由题意，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空隙中，则符合题意的七位数的个数为.
20．由0，1，2，3，4，5这6个数字，
(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数？
【答案】(1)300
(2)21
【分析】（1）因为0不能排首位，故分成两类，一类是含有0，二类不含0，然后按照先特殊后一般的原则计算即可;
（2）能被25整除的数字，末两位数字为25，50之一，然后分情况讨论即可.
（1）
第一类：不含0时有个，含0时有个，所以共有120 + 180 = 300个.
（2）
由题意能被25整除的数字，末两位数字为25，50之一，
末两位为25时有个，
末两位为50时有个.
所以共有9 + 12 = 21个.
