2023年2月份第4周 数学好题推荐（含答案）

2023年2月份第4周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若集合，，则中元素的个数为( )
A.0 B.4 C.2 D.3
2、已知向量.若向量与向量b垂直，则x的值为( )
A.-3 B.0 C. D.
3、已知纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.0
4、已知平面直角坐标系中，点，，其中点B在第一象限.若，且，则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
5、已知，，，则( )
A. B. C. D.
6、若，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7、设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
8、已知F是抛物线的焦点，C的准线与直线交于点M，若线段FM与C交于点N，且，则( )
A. B. C. D.
9、若平面向量满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、已知，，则( )
A. B. C. D.
11、若正实数a，b满足，则b的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.
12、已知抛物线的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M,N两点(),作,垂足为K,则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
13、如图是函数的导数的图像，对于下列四个结论，其中正确的是( )
A.在上是增函数
B.当时，取得极小值
C.在上是增函数，在上是减函数
D.当时，取得极小值
14、在正方体中，下列选项中说法正确的是( )
A. B.与BD所成的角为60°
C.二面角的平面角为45° D.与平面ABCD所成的角为45°
15、已知等比数列的公比为q，前n项和为，且满足，则下列说法正确的是( )
A.为单调递增数列 B.
C.成等比数列 D.
16、有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是( )
A.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B.横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
C.横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）
17、已知函数的定义域为，导函数为，且,则( )
A. B.在处取得极大值
C. D.在上单调递增
三、填空题
18、已知是定义在R上的奇函数，当时，，则__________.
19、已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
20、如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得.已知山高，则山高__________m.
21、已知是定义域为R的奇函数，且对任意的x满足，若时，有，则______.
22、的展开式中的系数为______（用数字作答）.
23、已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，则球O的体积的最小值为_________.
24、已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，，且5，则___________.
四、解答题
25、已知数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，记数列的前n项和为，求证：.
26、如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，，
（1）求证：平面平面BCF.
（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.
27、某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐.每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐则获得1分，若出现两次音乐则获得2分，若出现三次音乐则获得5分，若没有出现音乐则扣15分（即获得-15分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立，记每盘游戏获得的分数为X.
（1）求X的分布列；
（2）玩三盘此游戏，求至少有一盘出现音乐的概率；
（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了，试分析得分减少的原因.
28、已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当时，的面积为，求此双曲线的方程.
29、已知函数.
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则.
30、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求b的值；
（2）若，求的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：，，，中元素的个数为3.故选D.
2、答案：D
解析：向量.又与向量b垂直，，解得.故选D.
3、答案：B
解析：因为为纯虚数，
故，则，解得.
故选：B.
4、答案：C
解析：由，得，即.由于点B在第一象限，因而，故，即.如图，设，则，所以，故选C.
5、答案：B
解析：，，，即，，故选B.
6、答案：D
解析：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6.
7、答案：D
解析：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
8、答案：B
解析：由题意得，C的准线方程为，易得.
过点N作 垂直抛物线的准线于点，则.
因为，所以，
所以.设C的准线与x轴交于点P，则中，，解得(负值舍去)，故选B.
9、答案：A
解析：因为，，所以，
令，则.令，
则由，得，
.因为，所以，
所以.故选A.
10、答案：B
解析：本题考查二倍角的正弦公式.由，，得，所以.
11、答案：C
解析：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以.
因为，所以，解得，
所以b的最大值为.
12、答案：D
解析：由题得焦点,则直线MN的方程为,联立解得,则点K的坐标为,,同理可得.由抛物线定义可知,所以为等边三角形,所以外接圆的半径,所以外接圆的面积,故选D.
13、答案：BC
解析：根据题中图像知当和时，，函数单调递减；
当和时，，函数单调递增，故A错误，C正确；
当时，取得极小值，B正确；
当时，不能取得极小值，D错误.
故选BC.
14、答案：ABC
解析：对于A，连接AC，则.，，故A正确.对于B，连接，，即为与BD所成的角.为等边三角形，与BD所成的角为60°，故B正确.对于C，平面，平面，.，是二面角的平面角.是等腰直角三角形，，故C正确.对于D，平面ABCD，是与平面ABCD所成的角.，，故D错误.故选ABC.
15、答案：BD
解析：本题考查等比数列的通项公式、性质及前n项和.由，可得，解得.当首项时，为单调递减数列，故A错误；，故B正确；假设成等比数列，则，即，等式不成立，则不成等比数列，故C错误；，故D正确.故选BD.
16、答案：AB
解析：按A选项中的变换方式变换后，的图象变为的图象；按B选项中的变换方式变换后,的图象变为的图象；按C选项中的变换方式变换后，的图象变为的图象；按D选项中的变换方式变换后，的图象变为的图象.故选AB.
17、答案：ACD
解析：函数的定义域为，导函数为，，即满是.
.
可设（b为常数），.
,解得.
.
,满足C正确.
,且仅有,
B错误，A,D正确.故选ACD.
18、答案：-3
解析：因为函数是定义在R上的奇函数，当时，，
所以.
19、答案：
解析：作出图形如下图所示.设分别是的中点.点在平面内的投影是的外心,由于上的任意一点到的距离相等,则球心在上.因为,所以,于是是的中垂线,所以球心是的交点,且是等腰的垂心.记三棱锥的外接圆的半径为,由,得.又因为,所以.而,所以,所以三棱锥的外接球的表面积为.
20、答案：150
解析：在中，，，，，
在中，，，，
由正弦定理可得，即，解得，
在中，.
故答案为150.
21、答案：-5
解析：因为，是定义域为R的奇函数，
所以
因为当时，有，所以
所以
故答案为：
22、答案：-800
解析：由题意知，在的展开式中取第4项，即，
的展开式中取第2项，即，
故的系数为.
故答案为：-800.
23、答案：
解析：本题考查空间几何体的体积.由题意得，三棱锥的体积，则，当球O的体积最小时，外接圆的半径最小，即最小，在中，由余弦定理和基本不等式得，当且仅当取等号，则，此时外接圆的直径，球O的半径，故球O的体积的最小值为.
24、答案：
解析：，得，所以，即.
25、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)，
当时，，
，
，
为从第二项开始的等比数列，公比为，
又，，，
时也满足上式，.
(2)，
，①
，②
①-②得，，
，
，
，，.
26、
（1）答案：见解析
解析：如图，矩形ABCD中，，
平面平面
平面平面ABEF，
所以平面ABEF
又平面ABEF
，又AB为圆O的直径，
则
，BC，平面BCF，
所以平面BCF，且平面ADF
所以平面平面BCF.
（2）答案：6
解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H
平面平面ABEF，平面ABCD
则，，
所以.
27、答案：（1）见解析
（2）
（3）见解析
解析：（1）X的所有可能取值为1，2，5，-15，
则，
，
，
.
所以X的分布列为
X 1 2 5 -15
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，结合（1）知，
所以玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率为.
（3）由（1）知，随机变量X的数学期望，
即每盘游戏获得的分数X的均值为负数，
所以多次玩此款游戏后，得分减少的可能性更大.
28、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题易得，双曲线的渐近线方程为，
则点到渐近线的距离为（其中c是双曲线的半焦距），
所以由题意知，因为，
所以，故所求双曲线的渐近线方程是.
（2）因为，
所以由余弦定理得，
即①，
由双曲线的定义得，，
平方得，②，
①-②得，，
根据三角形的面积公式得，
所以，由（1）中得，
故所求双曲线方程是.
29、答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知函数的定义域为.
由，
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，所以，解得，
所以a的取值范围为.
（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.
令，
则.
令，
则，
所以当时，，
所以当时，，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
即在上.
又，所以，即.
由（1）可知，函数在上单调递增，
所以，即.
解法二（同构构造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.
由，得，
即.
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又，
所以在上单调递减，
所以，即.
30、答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
应用正、余弦定理，可得，
化简得.
（2），
，即.
，，.
，则.
又，，，
.