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2 实际问题与反比例函数
实际问题中的反比例函数
第二十六章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
教学目标
1. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题 。
2. 经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.
3. 运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣。
教学重、难点
重点:掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题
难点:经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力
学习过程
一、复习导入： 反比例函数的性质
当k＞0时，双曲线的两支分别在第 象限，在每一个象限内，y随x的 ；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第 象限，在每一个象限内，y随x的 ．
双曲线不经过 且与两坐标轴永不相交，但无限靠近x轴、y轴.
反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是 ，有 对称轴.
二 、新知探究
知识点1 实际问题与反比例函数
1 、市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系
公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深
当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)
2、码头工人以每天40吨的速度往一艘轮船上装载货物, 把轮船上的货物装载完毕恰好用了9天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v（单位: 吨/天）与卸货时间t（单位:天）之间有怎样的函数关系
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过6天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
知识点2 反比例函数在力学中的应用
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:
3、小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少
知识点3 反比例函数与电学的结合
4、一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
(2) 这个用电器功率的范围是多少
三、学习检测
例1:如果某蓄水池的进水管每小时进水8m3，那么6小时可将空水池蓄满水．1）求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数表达式；2）如果准备在5小时内将空水池蓄满水，那么每小时的进水量至少为多少？
例2：一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70千米／时的平均速度用6小时达到目的地.
（1）甲、乙两地相距多少千米？
（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（3）如果该司机必须在5小时内回到甲地，则返程时的平均速度不能低于多少？
（4）已知汽车的平均速度最大可达120千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？
例3：在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ (单位：kg/m3) 是体积 V (单位： m3) 的反比例函数，它的图象如图所示，当 V =10m3 时，气体的密度是 .
四、尝试应用
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( )
2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积 S (单位：)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系
(2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为多少 ？
(3) 如果漏斗口的面积为 60 ，则漏斗的深为多少
3、某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(㎡)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2㎡时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，0木板面积至少要多大？
(4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
五、自主总结
本节课你有哪些收获？
六、达标测试
1.某种汽车可装油400L，若汽车每小时的用油量为（L）.（1）用油量与每小时的用油量（L）的函数关系式为 ；（2）若每小时的用油量为20L，则这些油可用的时间为 ；（3）若要使汽车继续行驶40不需供油，则每小时用油量的范围是 .
2.甲、乙两地相距250千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间（小时），表示为汽车的平均速度为（千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是（ ）.
3.如果等腰三角形的底边长为.底边上的高为，则它的面积为定植S时，则与的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
4. 用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（ ）
为定值，与成反比例 B．为定值，与成反比例
C．为定值，与成正比例 D．为定值，与成正比例
5.一定质量的二氧化碳，其体积V（是密度的反比例函数，请你根据图中的已知条件，下出反比例函数的关系式 ，当V=1.9时，= .
6、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（四面条的粗细（横截面积）S（的反比例函数，其图象如图所示.
（1）写出与S的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6时，面条的总长度是多少米？
7.蓄电池的电压为定植，使用此电源时，电流I（）和电阻R（成反比例函数关系，且当I=4A，R=5.
（1）蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的表达式.
（2）当电流喂A时，电阻是多少？
（3）当电阻是10.时，电流是多少？
（4）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10A，那么用电器的可变电阻应该控制在什么范围内？
参考答案
1.（1）2.D，提示：由题意，得，故选D；3.C，提示：根据面积公式S=；
4.B
5.V=，提示：设V=；
6.解：（1）由于一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（是面条的粗细（横截面积）S（的反比例函数，
所以可设，
由图象知双曲线过点（4，32），可得，
即与S的函数关系式为
（2）当面条粗1.6时，即当S=1.6时，
当面条粗1.6时，面条的总长度为80米.
7.（1）U=IR=4×5=20V，函数关系式是：I=
（2）当I=1.5时，R=4.；
（3）当R=10时，I=2A；
（4）因为电流不超过10A，由I=可得，可变电阻应该大于等于2..
ρ/(kg/m3)
5
O
4
3
2
1
6
V/m3
5
4
3
2
1
x
y
1
O
4
1
4
D.
x
y
1
O
4
C.
x
y
4
O
4
B.
A.
x
y
1
O
2
第5踢图
第6题图
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第二十六章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
复习回顾 反比例函数的性质
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交，但无限靠近x轴、y轴.
反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是原点，有两条对称轴.
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 实际问题与反比例函数
1 、市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)
有怎样的函数关系
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104
∴ S 关于d 的函数解析式为
讲授新知
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向下掘进多深
解得 d = 20.
如果把储存室的底面积定为 500 m ，施工时应
向地下掘进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)
解得 S≈666.67.
当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m .
解：根据题意，把 d =15 代入 ，得
讲授新知
第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？
【反思小结】第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
想一想：
讲授新知
范例应用
例1:如果某蓄水池的进水管每小时进水8m3，那么6小时可将空水池蓄满水．1）求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数表达式；2）如果准备在5小时内将空水池蓄满水，那么每小时的进水量至少为多少？
解：（1）由题意可得，
即将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数表达式是
（2）当y=5时， 解得：x=9.6
即每小时进水量至少9.6m
讲授新知
2、 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：
吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系
提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式.
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得
k =30×8=240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为
讲授新知
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨
解：把 t =5 代入 ，得
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.
方法总结：在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答 .
例2：一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70千米／时的平均速度用6小时达到目的地.
（1）甲、乙两地相距多少千米？
（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（3）如果该司机必须在5小时内回到甲地，则返程时的平均速度不能低于多少？
（4）已知汽车的平均速度最大可达120千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？
70×6=420（千米）
范例应用
讲授新知
在周星驰的电影《西游·降魔篇》中，村民们为了制服水妖而合力大战. 观看完影片片段，你能说说他们是如何制服水妖的吗？ 这个方法的原理是什么？
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:
阻力×阻力臂 = 动力×动力臂
讲授新知
知识点2 反比例函数在力学中的应用
讲授新知
3、小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力.
∴ F 关于l 的函数解析式为
当 l=1.5m 时，
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少
3－1.5 =1.5 (m).
讲授新知
解：当F=400× =200 时，由200 = 得l=3
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.
提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小.
因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能
确定动力臂 l 至少应加长的量.
在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？
想一想：
讲授新知
讲授新知
知识点3 反比例函数与电学的结合
4、一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
U
~
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
(2) 这个用电器功率的范围是多少
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440 W.
讲授新知
点拨
范例应用
例3：在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ (单位：kg/m3) 是体积 V (单位： m3) 的反比例函数，它的图象如图所示，当 V =10m3 时，气体的密度是 .
1 kg/m3
2
1
3
4
5
V/m3
ρ/(kg/m3)
5
O
6
3
2
4
1
当堂训练
叁
当堂训练
解析
解析式 ,过点（1,4），且函数图象无限靠近x轴、y轴，所以D选项错误，应选C。
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( )
A.
x
y
1
O
2
x
y
4
O
4
B.
x
y
1
O
4
C.
x
y
1
O
4
1
4
D.
C
当堂训练
2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升
(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系
d
(2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？
解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少
解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得d =5.所以漏斗的深为 5 dm.
解：
当堂训练
3、某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
解：由 得
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
解：当S＝0.2m2时，p＝ ＝3000(Pa)
(3)如果要求压强不超过6000Pa，0木板面积至少要多大？
当堂训练
(4) 在直角坐标系中，
作出相应的函数图象．
图象如下
0.1
0.5
0.6
0.3
O
0.2
0.4
1000
3000
4000
2000
5000
6000
p/Pa
S/
解：当 p≤6000 Pa时， ，S≥0.1m2．
课堂小结
肆
课堂小结
实际问题中的反比例函数
1 实际问题与反比例函数
4 体会数学建模的思想
2 反比例函数在力学中的应用
3 反比例函数与电学的结合
课后作业
基础题：1.课后习题 练习册。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
