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安徽省十校联盟2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·安徽开学考）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解不等式得：，即，而，
所以．
故答案为：B
【分析】求出集合A，然后进行交集的运算即可得答案.
2．（2023高三下·安徽开学考）疫情期间，部分小区实行封控管理，志愿者的服务态度成为了影响居民生活质量的重要因素之一，因此对志愿者的管理也成为疫情期间必不可少的环节之一．为了解志愿者服务的相关情况，调研人员现要求A小区居民对志愿者的服务态度进行打分，所得分数统计如下图所示，据此可以估计，A小区志愿者服务态度的平均分为（ ）．
A．85 B．82.5 C．80 D．75
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】依题意，所得分数在各个小组内的频率依次为：，
所以所求平均分为.
故答案为：C
【分析】根据组中值与对应频率之积的和即为平均数，可得答案.
3．（2023高三下·安徽开学考）已知向量，，，若，则实数（ ）．
A．1或 B．或4 C．0或8 D．0或
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由题意得，，
∴，解得或-8．
故答案为：D．
【分析】根据平面向量加法、减法以及数乘的坐标运算法则求出向量的坐标，再根据平面向量的模的坐标表示，化简方程 ，即可求解出的值.
4．（2023高三下·安徽开学考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得，，，
．
故答案为：A．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小，可得答案.
5．（2023高三下·安徽开学考）已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】记圆锥的底面半径为r，则，解得，
∴圆锥的高，
∴该圆锥的体积为．
故答案为：D．
【分析】由侧面展开图求得圆锥底面半径、高，然后由体积公式计算可得答案.
6．（2023高三下·安徽开学考）若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为，
由，
得，
则①，
由题意得：，
联立①可得，，
故答案为：C．
【分析】根据题意设出切点坐标为，由导数的几何意义得到切线的斜率，进而求得曲线在点处的切线方程，与直线 对应，建立方程组即可求解出a的值.
7．（2023高三下·安徽开学考）已知是定义在R上的函数，且为奇函数．若函数与函数图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为，，，，，则（ ）．
A．0 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】∵为奇函数，函数图象关于原点对称，且是由向左平移1个单位长度得到，
∴的图像关于点对称，
对于函数，定义域为R，
有，
∴函数为奇函数，其图像关于原点对称，
∴函数的图像关于点对称，
∴，，，∴．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件可得的图像关于点对称，根据奇偶函数的定义可判断出函数为奇函数，其图像关于原点对称，进而得函数的图像关于点对称，进而求出，，，可得答案.
8．（2023高三下·安徽开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是E右支上一点，，O是坐标原点，，则E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵，，∽，
∴，∴．
在中，由余弦定理得，
即，解得，
又，∴，
解得，即E的离心率为．
故答案为：A．
【分析】通过三角形相似结合余弦定理求出2a，2c，然后根据双曲线的离心率公式可得答案.
二、多选题
9．（2023高三下·安徽开学考）若复数，，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
C．的实部为13
D．的虚部为
【答案】A,B,C
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由题意得，，A符合题意；
在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，B符合题意；
∵，
∴的实部为13，虚部为11，C符合题意，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】由复数模的公式可判断选项A；由复数的几何意义，复数与复平面上的点的坐标是一一对应的，即可判断选项B；由复数乘法的运算法则及复数z= a+ bi(a∈R，b∈R)的定义即可判断选项C、D.
10．（2023高三下·安徽开学考）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，
∴其准线为.
故答案为：BD．
【分析】由题意得，点在抛物线上或其内部，得到关于p的不等式，求解可得p的范围，进而可得答案.
11．（2023高三下·安徽开学考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数的最小正周期为
B．为函数图像的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意得：
，
所以。
∴的最小正周期，A不符合题意；
，B符合题意；
∵，∴，
∴函数在上单调递减，C符合题意；
令，
即，
因为，所以
令，则，所以D的问题转化为
与的交点个数问题，
如图所示：
观察可知，有2个零点，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】由已知结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式对f (x)进行化简，然后结合余弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
12．（2023高三下·安徽开学考）已知正方体的棱长为2，过棱，的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（ ）．
A．该正方体外接球的表面积是
B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直
C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值为
D．若截面过点，则截面周长为
【答案】B,D
【知识点】球的体积和表面积；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】对于A，外接球的半径为，故外接球的表面积为，A不符合题意；
对于B，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设的中点为G，则，，，，，
∴，，，
∴，，
则，，即，，
又，，正六边形截面，
∴正六边形截面，B符合题意；
对于C，如图1，易得，为正六边形截面的一个法向量，
设直线与截面所成的角为，
则，C不符合题意；
对于D，如图2，延长，与的延长线交于点K，与的延长线交于点L，连接交于点M，连接交于点N，则截面为平面．
因此有，M为的三等分点，N为的三等分点，
于是．
∵，，，
故截面的周长为，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积可判断A；建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可得直线与截面垂直，可判断B；求出正六边形截面的一个法向量，利用向量法可求出直线与截面所成角的正弦值，可判断C；根据勾股定理求出ME，D1M，可得截面的周长，可判断D.
三、填空题
13．（2023高三下·安徽开学考）已知直线与圆相切，则实数 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得，圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离，
又，所以解得，
故答案为：
【分析】求出圆心和半径，根据直线和圆的位置关系列出等式，可求出k的值.
14．（2023高三下·安徽开学考）若的展开式中的系数为9，则实数 ．
【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为：，
则，，
所以展开式中的系数为，
解得．
故答案为：1
【分析】根据题意，由二项式定理可得的展开式的通项，据此求出，，进而由多项式的乘法计算可得答案.
15．（2023高三下·安徽开学考）数字中暗藏着一些潜在的规律，古希腊毕达哥拉斯学派通过石子的排列发现了三角形数、正方形数等；有时将数字进行拆分后也能够发现新的规律，现将一组数据拆分如下：
，
，，
，，，
，，，，
……
观察可知，这组数据中的第8个数为，则是该组数据的第 个数．
【答案】4953
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由题意得，在第100行，前99行共有个数，
故是该组数据的第4953个数．
故答案为：4953.
【分析】 观察数据规律，知在第100行的第3个数，求出前99行所有数的个数后可得答案.
16．（2023高三下·安徽开学考）若不等式对恒成立，则正数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】，，
令，则原问题可化为对成立，
而函数在上单调递增，因此，，
令，求导得，由，得，由，得，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以正数的取值范围为.
故答案为：
【分析】令，则原问题可化为对成立，然后由求导，根据导数的符号可得函数的单调性，进而求出，即可求出正数的取值范围.
四、解答题
17．（2023高三下·安徽开学考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求．
【答案】（1）解：由，
得，
则，即．
∵，∴，
又，∴．
（2）解：在中，，
由余弦定理得，
∵，∴，
∴．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简可得 ，又 ，可得C的值；
（2）由余弦定理可求出．
18．（2023高三下·安徽开学考）已知数列的前n项和为，，且．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，即，
又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知，则，∴，
则，
∴，
两式相减，可得，
故．
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用递推公式可得 ，又 ， 可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知，则， ，利用错位相减法可求出数列的前n项和．
19．（2023高三下·安徽开学考）某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为，，，，面试笫二轮通过的概率分别为，，，，且4人的面试结果相互独立．
（1）求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
（2）记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意得，甲被录用的概率为，
乙被录用的概率为，
丙被录用的概率为，
丁被录用的概率为；
事件“至少有1人被录用”与事件“没有人被录用”互为对立事件，
没有人被录用的概率为
设甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用为事件M，
则，
即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率为
（2）解：由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
∴，
，
，
，
，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴期望值．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意分别计算出甲、乙、丙、丁4名同学参加面试通过的概率，利用对立事件的概率公式可知“至少有1人被录用的概率”与“没有人被录用的概率”之和为1，即可计算出甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)写出X的所有可能取值，再根据积事件与和事件的概率公式分别求的其概率即可列出分布列，进而求得期望值.
20．（2023高三下·安徽开学考）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，为正三角形，，，O为的中点．
（1）求证；平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点E，连接，，如图所示，
则，．
∵，，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴，
又，平面，∴平面．
（2）解：连接，∵为正三角形，∴，
∵平面，∴，，两两垂直，
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
∴，，，
由可得，
∴，，．
设平面的法向量为，
则，
令，则，得．
设平面的法向量为，
则，
令，则，得，
则，
由图可知，二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取的中点E，连接， ，可得四边形为平行四边形，得，，再根据线面垂直的判定定理可得平面；
（2）以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值．
21．（2023高三下·安徽开学考）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．
（1）求E的方程；
（2）设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．
【答案】（1）解：∵，∴，∴，
又，，∴，，
∴椭圆E的方程为．
（2）证明：∵直线与的倾斜角互补，且交于点，
∴直线与关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．
设，，则，，
∴直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，，
∴直线与交于点．
设直线的方程为，
与椭圆E的方程联立得，
由题意得，，解得，
又，，
∴，
∴直线与交于定点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知求得a， b， c得椭圆E的方程；
(2)由题意得A与D， B与C分别关于x轴对称， 设，，则，，利用直线方程求得AC与BD的交点坐标(用x1，y1，x2， y2表示)， 设直线的方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得 ，， 把它代入AC与BD的交点坐标得常数，从而证得结论.
22．（2023高三下·安徽开学考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：．
【答案】（1）解：由题意知的定义城为R，
，令，
当时，；
当时，，
∴的单调递增区间是，
单调递减区间是．
（2）证明：将两边同时除以，
得，即，
∴．
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，．
设，则，
令，
则，
由，得，
∴，∴，
∴在上单调递增．
又，
∴，
当时，，
即，
即，
又，
∴．
又，，
在上单调递减，
∴，即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的符号可得 的单调区间；
（2）设，则，令，求导可得 在上单调递增，进而得在上单调递减， 可得 ．
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安徽省十校联盟2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·安徽开学考）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023高三下·安徽开学考）疫情期间，部分小区实行封控管理，志愿者的服务态度成为了影响居民生活质量的重要因素之一，因此对志愿者的管理也成为疫情期间必不可少的环节之一．为了解志愿者服务的相关情况，调研人员现要求A小区居民对志愿者的服务态度进行打分，所得分数统计如下图所示，据此可以估计，A小区志愿者服务态度的平均分为（ ）．
A．85 B．82.5 C．80 D．75
3．（2023高三下·安徽开学考）已知向量，，，若，则实数（ ）．
A．1或 B．或4 C．0或8 D．0或
4．（2023高三下·安徽开学考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023高三下·安徽开学考）已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023高三下·安徽开学考）若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
7．（2023高三下·安徽开学考）已知是定义在R上的函数，且为奇函数．若函数与函数图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为，，，，，则（ ）．
A．0 B．5 C．6 D．10
8．（2023高三下·安徽开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是E右支上一点，，O是坐标原点，，则E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高三下·安徽开学考）若复数，，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
C．的实部为13
D．的虚部为
10．（2023高三下·安徽开学考）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（ ）．
A． B． C． D．
11．（2023高三下·安徽开学考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数的最小正周期为
B．为函数图像的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
12．（2023高三下·安徽开学考）已知正方体的棱长为2，过棱，的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（ ）．
A．该正方体外接球的表面积是
B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直
C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值为
D．若截面过点，则截面周长为
三、填空题
13．（2023高三下·安徽开学考）已知直线与圆相切，则实数 ．
14．（2023高三下·安徽开学考）若的展开式中的系数为9，则实数 ．
15．（2023高三下·安徽开学考）数字中暗藏着一些潜在的规律，古希腊毕达哥拉斯学派通过石子的排列发现了三角形数、正方形数等；有时将数字进行拆分后也能够发现新的规律，现将一组数据拆分如下：
，
，，
，，，
，，，，
……
观察可知，这组数据中的第8个数为，则是该组数据的第 个数．
16．（2023高三下·安徽开学考）若不等式对恒成立，则正数的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2023高三下·安徽开学考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求．
18．（2023高三下·安徽开学考）已知数列的前n项和为，，且．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前n项和．
19．（2023高三下·安徽开学考）某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为，，，，面试笫二轮通过的概率分别为，，，，且4人的面试结果相互独立．
（1）求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
（2）记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
20．（2023高三下·安徽开学考）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，为正三角形，，，O为的中点．
（1）求证；平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．（2023高三下·安徽开学考）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．
（1）求E的方程；
（2）设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．
22．（2023高三下·安徽开学考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解不等式得：，即，而，
所以．
故答案为：B
【分析】求出集合A，然后进行交集的运算即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】依题意，所得分数在各个小组内的频率依次为：，
所以所求平均分为.
故答案为：C
【分析】根据组中值与对应频率之积的和即为平均数，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由题意得，，
∴，解得或-8．
故答案为：D．
【分析】根据平面向量加法、减法以及数乘的坐标运算法则求出向量的坐标，再根据平面向量的模的坐标表示，化简方程 ，即可求解出的值.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得，，，
．
故答案为：A．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】记圆锥的底面半径为r，则，解得，
∴圆锥的高，
∴该圆锥的体积为．
故答案为：D．
【分析】由侧面展开图求得圆锥底面半径、高，然后由体积公式计算可得答案.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为，
由，
得，
则①，
由题意得：，
联立①可得，，
故答案为：C．
【分析】根据题意设出切点坐标为，由导数的几何意义得到切线的斜率，进而求得曲线在点处的切线方程，与直线 对应，建立方程组即可求解出a的值.
7．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】∵为奇函数，函数图象关于原点对称，且是由向左平移1个单位长度得到，
∴的图像关于点对称，
对于函数，定义域为R，
有，
∴函数为奇函数，其图像关于原点对称，
∴函数的图像关于点对称，
∴，，，∴．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件可得的图像关于点对称，根据奇偶函数的定义可判断出函数为奇函数，其图像关于原点对称，进而得函数的图像关于点对称，进而求出，，，可得答案.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵，，∽，
∴，∴．
在中，由余弦定理得，
即，解得，
又，∴，
解得，即E的离心率为．
故答案为：A．
【分析】通过三角形相似结合余弦定理求出2a，2c，然后根据双曲线的离心率公式可得答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由题意得，，A符合题意；
在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，B符合题意；
∵，
∴的实部为13，虚部为11，C符合题意，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】由复数模的公式可判断选项A；由复数的几何意义，复数与复平面上的点的坐标是一一对应的，即可判断选项B；由复数乘法的运算法则及复数z= a+ bi(a∈R，b∈R)的定义即可判断选项C、D.
10．【答案】B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，
∴其准线为.
故答案为：BD．
【分析】由题意得，点在抛物线上或其内部，得到关于p的不等式，求解可得p的范围，进而可得答案.
11．【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意得：
，
所以。
∴的最小正周期，A不符合题意；
，B符合题意；
∵，∴，
∴函数在上单调递减，C符合题意；
令，
即，
因为，所以
令，则，所以D的问题转化为
与的交点个数问题，
如图所示：
观察可知，有2个零点，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】由已知结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式对f (x)进行化简，然后结合余弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】B,D
【知识点】球的体积和表面积；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】对于A，外接球的半径为，故外接球的表面积为，A不符合题意；
对于B，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设的中点为G，则，，，，，
∴，，，
∴，，
则，，即，，
又，，正六边形截面，
∴正六边形截面，B符合题意；
对于C，如图1，易得，为正六边形截面的一个法向量，
设直线与截面所成的角为，
则，C不符合题意；
对于D，如图2，延长，与的延长线交于点K，与的延长线交于点L，连接交于点M，连接交于点N，则截面为平面．
因此有，M为的三等分点，N为的三等分点，
于是．
∵，，，
故截面的周长为，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积可判断A；建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可得直线与截面垂直，可判断B；求出正六边形截面的一个法向量，利用向量法可求出直线与截面所成角的正弦值，可判断C；根据勾股定理求出ME，D1M，可得截面的周长，可判断D.
13．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意得，圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离，
又，所以解得，
故答案为：
【分析】求出圆心和半径，根据直线和圆的位置关系列出等式，可求出k的值.
14．【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为：，
则，，
所以展开式中的系数为，
解得．
故答案为：1
【分析】根据题意，由二项式定理可得的展开式的通项，据此求出，，进而由多项式的乘法计算可得答案.
15．【答案】4953
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由题意得，在第100行，前99行共有个数，
故是该组数据的第4953个数．
故答案为：4953.
【分析】 观察数据规律，知在第100行的第3个数，求出前99行所有数的个数后可得答案.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】，，
令，则原问题可化为对成立，
而函数在上单调递增，因此，，
令，求导得，由，得，由，得，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以正数的取值范围为.
故答案为：
【分析】令，则原问题可化为对成立，然后由求导，根据导数的符号可得函数的单调性，进而求出，即可求出正数的取值范围.
17．【答案】（1）解：由，
得，
则，即．
∵，∴，
又，∴．
（2）解：在中，，
由余弦定理得，
∵，∴，
∴．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简可得 ，又 ，可得C的值；
（2）由余弦定理可求出．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，即，
又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知，则，∴，
则，
∴，
两式相减，可得，
故．
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用递推公式可得 ，又 ， 可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知，则， ，利用错位相减法可求出数列的前n项和．
19．【答案】（1）解：由题意得，甲被录用的概率为，
乙被录用的概率为，
丙被录用的概率为，
丁被录用的概率为；
事件“至少有1人被录用”与事件“没有人被录用”互为对立事件，
没有人被录用的概率为
设甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用为事件M，
则，
即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率为
（2）解：由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
∴，
，
，
，
，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴期望值．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意分别计算出甲、乙、丙、丁4名同学参加面试通过的概率，利用对立事件的概率公式可知“至少有1人被录用的概率”与“没有人被录用的概率”之和为1，即可计算出甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)写出X的所有可能取值，再根据积事件与和事件的概率公式分别求的其概率即可列出分布列，进而求得期望值.
20．【答案】（1）证明：取的中点E，连接，，如图所示，
则，．
∵，，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴，
又，平面，∴平面．
（2）解：连接，∵为正三角形，∴，
∵平面，∴，，两两垂直，
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
∴，，，
由可得，
∴，，．
设平面的法向量为，
则，
令，则，得．
设平面的法向量为，
则，
令，则，得，
则，
由图可知，二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取的中点E，连接， ，可得四边形为平行四边形，得，，再根据线面垂直的判定定理可得平面；
（2）以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值．
21．【答案】（1）解：∵，∴，∴，
又，，∴，，
∴椭圆E的方程为．
（2）证明：∵直线与的倾斜角互补，且交于点，
∴直线与关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．
设，，则，，
∴直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，，
∴直线与交于点．
设直线的方程为，
与椭圆E的方程联立得，
由题意得，，解得，
又，，
∴，
∴直线与交于定点．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知求得a， b， c得椭圆E的方程；
(2)由题意得A与D， B与C分别关于x轴对称， 设，，则，，利用直线方程求得AC与BD的交点坐标(用x1，y1，x2， y2表示)， 设直线的方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得 ，， 把它代入AC与BD的交点坐标得常数，从而证得结论.
22．【答案】（1）解：由题意知的定义城为R，
，令，
当时，；
当时，，
∴的单调递增区间是，
单调递减区间是．
（2）证明：将两边同时除以，
得，即，
∴．
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，．
设，则，
令，
则，
由，得，
∴，∴，
∴在上单调递增．
又，
∴，
当时，，
即，
即，
又，
∴．
又，，
在上单调递减，
∴，即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的符号可得 的单调区间；
（2）设，则，令，求导可得 在上单调递增，进而得在上单调递减， 可得 ．
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