构造法在导数中的应用
导数关系构造函数的一些常见结构
1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).
2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).
特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.
3.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x).
4.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝.
5.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x).
6.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x).
7.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x).
一、利用f(x)与ex构造可导型函数
例1 f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是( )
A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0)
C.f(a)＜ D.f(a)＞
解：令g(x)＝，则g′(x)＝＝＞0.
∴g(x)在R上为增函数，又a＞0，
∴g(a)＞g(0)，即＞.
故f(a)＞eaf(0).
总结 (1)出现f′(x)－f(x)的形式，构造函数F(x)＝；
(2)出现f′(x)＋f(x)的形式，构造函数F(x)＝f(x)ex.
二、利用f(x)与xn构造可导型函数
例2 已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
解：构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1).
总结 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
三、利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数
例3 (多选)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A.f＞f
B.f＞f
C.f＞f
D.f＞f
解：根据题意，令g(x)＝，x∈，则其导数g′(x)＝，又由x∈，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0，则有g′(x)＜0，即函数g(x)为减函数.由＜，则有g＞g，即＞，分析可得f＞f；又由＜，则有g＞g，即＞，分析可得f＞f.
总结 f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；F(x)＝，
F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；F(x)＝，
F′(x)＝.
四、构造具体函数
例4若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则( )
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
解：依题意，ln x－＜ln y－，令f(t)＝t－(t≠0).则f′(t)＝1＋＞0，所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，又ln x－＜ln y－.则f(ln x)＜f(ln y).又f(t)在(0，＋∞)上单调递增.则ln x＜ln y，∴1＜x＜y，即y－x＞0，所以ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又y－x－1无法确定与0的关系，故C、D不正确.
总结 不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.
跟踪训练
1、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为( D )
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
解：令g(x)＝f(x)－3x－6，
则g′(x)＝f′(x)－3＜0，
所以函数g(x)在R上单调递减，
g(－2)＝f(－2)－3×(－2)－6＝0，
由g(x)＜0 g(x)＜g(－2)，则x＞－2.
2、已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则( )
A．c
C．a解：由题意得0令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，
当01时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
因为ae5＝5ea，所以＝，
即f(5)＝f(a)，而0故0因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，
所以03、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则( A )
A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)
解：根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，由题意可知，当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)4、函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋f(x)＞0，则不等式＜的解集为( )
A．{x|x＞－2 020}
B．{x|x＜－2 020}
C．{x|－2 023＜x＜0}
D．{x|－2 023＜x＜－2 020}
解：根据题意，设g(x)＝x2f(x)(x＞0)，
则导函数g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)．函数f(x)在区间(0，＋∞)上，满足f′(x)＋f(x)＞0，
则有x2f′(x)＋2xf(x)＞0，
所以g′(x)＞0，即函数g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．
＜ (x＋2 023)2·f(x＋2 023)＜32f(3) g(x＋2 023)＜g(3)，
则有0＜x＋2 023＜3，
解得－2 023＜x＜－2 020，
即此不等式的解集为{x|－2 023＜x＜－2 020}．
5、已知f(x)为R上的可导函数，且 x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有( D )
A．e2 023f(－2 023)e2 023f(0)
B．e2 023f(－2 023)C．e2 023f(－2 023)＞f(0)，f(2 023)>e2 023f(0)
D．e2 023f(－2 023)＞f(0)，f(2 023)＜e2 023f(0)
解：构造函数h(x)＝，则h′(x)＝<0，即h(x)在R上单调递减，故h(－2 023)>h(0)，即> e2 023f(－2 023)>f(0)；同理，h(2 023)6、函数f(x)的导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是( C )
A．x>1 B．0C．x>ln 2 D．0由题意，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，
即f′(x)－f(x)>0，令g(x)＝，
则g′(x)＝＝>0，所以函数g(x)为单调递增函数，
又因为不等式f(x)>ex，即g(x)>1，因为f(ln 2)＝2，所以g(ln 2)＝1，
所以不等式的解集为x>ln 2，故选C．
7、f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，下列式子成立的是( B )
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)< D．f(a)>
令g(x)＝，
∴g′(x)＝＝>0.
∴g(x)在R上为增函数．又∵a>0，
∴g(a)>g(0)，即>，即f(a)>eaf(0)．故选B．
8、已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋>0，则对于任意的a，b∈(0，＋∞)，当a>b时，有( B )
A．af(a)bf(b)
C．af(b)>bf(a) D．af(b)解：f′(x)＋>0 >0 >0，即[xf(x)]′x>0.∵x>0，∴[xf(x)]′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，由a，b∈(0，＋∞)且a>b，得af(a)>bf(b)，故选B．
9、已知正数α，β满足eα＋>eβ＋，则( C )
A．2α－β＋1<2 B．ln α＋αC．＋> D．＋>＋
解：由题意，得eα－>eβ－，
构造函数f(x)＝ex－，x>0，
令g(x)＝2x＋sin x，则g′(x)＝2＋cos x>0恒成立，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知－在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，
由f(α)>f(β)，可得α>β>0，
对于A，由α>β，可得α－β＋1>1，所以2α－β＋1>2，故A错误；
对于B，由α>β>0，可得ln α>ln β，则ln α＋α>ln β＋β，故B错误；
对于C，(α＋β)＝2＋＋>2＋2＝4，所以＋>，故C正确；
对于D，由α>β>0，可得eα>eβ>0，<，所以<，所以＋<＋，故D错误．
10、已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为( C )
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
解：设f(x)＝，则f′(x)＝，
当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
则当x＝e时，f(x)max＝＝，
即b＞a，b＞c；
a－c＝－＝＝＜0，则c＞a，所以b＞c＞a.
11、已知a，b∈(0，3)，且4ln a＝aln 4，4ln b＝bln 2，c＝log0.30.06，则( C )
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
解：由已知得＝＝，＝＝，可以构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又f(a)＝f(2)＝f(4)＞f(b)＝f(16)，结合a，b∈(0，3)，所以b＜a＝2，又c＝log0.30.06＝log0.3(0.2×0.3)＝log0.30.2＋1＞1＋log0.30.3＝2，所以b＜a＜c.
12、若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为_(2，＋∞)__.
解：令g(x)＝f(x)－x，
∴g′(x)＝f′(x)－1.
由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．
∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．
13、已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是____c＜a＜b____.
解 设g(x)＝，
则g′(x)＝，
又当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0，
所以g′(x)＜0，即函数g(x)在区间(－∞，0)内单调递减.因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)内单调递减.由0＜ln 2＜e＜3，可得g(3)＜g(e)＜g(ln 2)，即c＜a＜b.
14、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是_(－∞，－1)∪(0，1).
_______.
解：因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，
所以f(1)＝－f(－1)＝0.
当x≠0时，令g(x)＝，
则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.
则当x＞0时，g′(x)＝′
＝＜0，
故g(x)在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.
所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0，得＞0，所以f(x)＞0；
在(－∞，0)上，当x＜－1时，由g(x)＜g(－1)＝0，得＜0，所以f(x)＞0.
综上知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).
15、 定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(x2)>的解集为_____________.
解：构造函数g(x)＝f(x)－x＋c(c为常数)，则g′(x)＝f′(x)－<0，即函数g(x)在R上单调递减，且g(1)＝f(1)－＋c＝＋c.f(x2)>＝x2＋，
即f(x2)－x2＋c>＋c，
即g(x2)>g(1)，
所以x2<1，解得－1导数关系构造函数的一些常见结构
1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).
2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).
特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.
3.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x).
4.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝.
5.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x).
6.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x).
7.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x).
一、利用f(x)与ex构造可导型函数
例1 f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是( )
A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0)
C.f(a)＜ D.f(a)＞
总结 (1)出现f′(x)－f(x)的形式，构造函数F(x)＝；
(2)出现f′(x)＋f(x)的形式，构造函数F(x)＝f(x)ex.
二、利用f(x)与xn构造可导型函数
例2 已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
总结 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
三、利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数
例3 (多选)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A.f＞f
B.f＞f
C.f＞f
D.f＞f
总结 f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；F(x)＝，
F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；F(x)＝，
F′(x)＝.
四、构造具体函数
例4若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则( )
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
总结 不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.
跟踪训练
1、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为( )
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
2、已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则( )
A．cC．a3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则( )
A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)
4、函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋f(x)＞0，则不等式＜的解集为( )
A．{x|x＞－2 020}
B．{x|x＜－2 020}
C．{x|－2 023＜x＜0}
D．{x|－2 023＜x＜－2 020}
5、已知f(x)为R上的可导函数，且 x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有( )
A．e2 023f(－2 023)e2 023f(0)
B．e2 023f(－2 023)C．e2 023f(－2 023)＞f(0)，f(2 023)>e2 023f(0)
D．e2 023f(－2 023)＞f(0)，f(2 023)＜e2 023f(0)
6、函数f(x)的导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是( )
A．x>1 B．0C．x>ln 2 D．07、f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，下列式子成立的是( )
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)< D．f(a)>
8、已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋>0，则对于任意的a，b∈(0，＋∞)，当a>b时，有( )
A．af(a)bf(b)
C．af(b)>bf(a) D．af(b)9、已知正数α，β满足eα＋>eβ＋，则( )
A．2α－β＋1<2 B．ln α＋αC．＋> D．＋>＋
10、已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为( )
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
11、已知a，b∈(0，3)，且4ln a＝aln 4，4ln b＝bln 2，c＝log0.30.06，则( )
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
12、若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为_________.
13、已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
14、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
15、 定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(x2)>的解集为_____________.