学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高一 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 平面向量的概念及运算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 通过实例，掌握向量加、减法及数乘运算，并理解其几何意义； 了解平面向量的基本定理及其意义，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解平面向量数量积的含义及其物理意义，能够利用坐标进行数量积运算； 利用数量积求解两个向量的夹角问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
(
体系搭建
) (
知识梳理
) 一、向量的有关概念 1．向量： 既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度)． 2．向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：用一条有向线段表示向量．如，等． （3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=． 3．相等向量： 长度相等且方向相同的向量．向量可以自由平移，平移前后的向量相等．两向量与相等，记为． 4．零向量： 长度为零的向量叫零向量．零向量只有一个，其方向是任意的． 5．单位向量： 长度等于1个单位的向量．单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量． 6．共线向量： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量．任一组共线向量都可以移到同一直线上．规定：与任一向量共线． 注：共线向量又称为平行向量． 7．相反向量： 长度相等且方向相反的向量． 二、向量的运算 1．运算定义 运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+= =记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1)+=实数与向量的乘积 记=(x，y) 则两个向量的数量积记 则=x1x2+y1y2
2．运算律 加法： ①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积： ①； ②；③ 两个向量的数量积： ①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· 3．运算性质及重要结论 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0． (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 (4)两个向量数量积的重要性质： ① 即 (求线段的长度)； ②(垂直的判断)； ③ (求角度)． (
典例分析
) 题型1：平面向量的概念 1．下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段 C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等 2．下列说法正确的是（ ） A．若向量，满足||＞||，且与同向，则＞ B．若∥且∥，则∥ C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 D．非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反 3．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在： （1）是共线向量的有 ；（2）是相反向量的为 ；（3）相等向量的 ； （4）模相等的向量 ． 题型2：平面向量的加法运算 4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（ ） A． B． C． D． （多选）5．设向量 ＝，是任一非零向量，下列结论中正确的有 （ ） A．∥ B．+＝ C．|+|＝||+|| D．＝0 6．已知P是△ABC所在平面内一点，满足，则P是△ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 7．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝，＝，＝，那么|++|的大小为 ． 题型3：平面向量的减法运算 （多选）8．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A． B． C． D． （多选）9．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则下列结论中不正确的是（ ） A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在AB边所在的直线上 D．P在△ABC的外部 10．已知||＝6，||＝9，求||的取值范围． 题型4：向量模长问题 11．已知，与的夹角为，如图所示，若，，且D为BC的中点，则＝（ ） A． B． C．7 D．8 12．已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 13．若菱形ABCD的边长为2，则＝ ． 14．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若＝4，，则＝ ． 15．已知单位向量和，且 ＝，若向量满足（﹣） （﹣）＝，则||的取值范围是 题型5：向量的数乘运算 （多选）16．已知实数m，n和向量，，下列说法中正确的是（ ） A．m（+）＝m+m B．（m﹣n） ＝m﹣n C．若m＝m，则＝ D．若m＝n（≠），则m＝n 17．化简下列各式： （1）（2﹣）﹣（﹣2）； （2）[3（2+8）﹣6（4﹣2）]． 题型6：向量共线定理的应用 18．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A． B． C． D． 19．设向量，不平行，向量与平行，则实数t的值为 ． 20．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足，，则λ+μ＝ ． 21．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且3a，则a：b：c＝ ． 22．已知两个非零向量a，b不共线，＝a+b，＝a+2b，＝a+3b． （1）证明A，B，C三点共线； （2）试确定实数k，使ka+b与a+kb共线． 题型7：向量的数量积 23．已知边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足，则的值是（ ） A． B． C． D． 24．已知，是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ） A． B． C． D． 25．已知向量的夹角为，且，，则＝ ． 26．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是线段BC上的动点，若，则的取值范围是 ． 题型8：向量数量积与垂直关系 27．||＝||＝1，⊥且（2+3）⊥（k﹣4），则k的值为（ ） A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3 28．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．π 29．已知||＝4，||＝8，与夹角是120°． （1）求的值及||的值； （2）当k为何值时，？ 30．设平面内两向量与互相垂直，且||＝2，||＝1，又k与t是两个不同时为零的实数． （1）若＝+（t﹣3）与＝﹣k+t垂直，试求k关于t的函数关系式k＝f（t）； （2）求函数k＝f（t）的最小值． 题型9：平面向量的基本定理 31．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ＝（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 32．若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A．﹣，﹣ B．2﹣，﹣ C．+，﹣ D．2﹣3，6﹣4 33．如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为（ ） A． B． C． D．6 34．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ+μ的值为 ． 35．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M、N在过点P的直线上，若，，（m＞0，n＞0），则下列结论错误的是（ ） A．为常数 B．m+n的最小值为 C．m+2n的最小值为3 D．m、n的值可以为：，n＝2 36．如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足，若，则x2+y2的最小值为 ．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
(
重点回顾
) 1． 向量的线性运算 （1）在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； （2）向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数)．记清法则是灵活运用的前提． 2． 共线向量与三点共线问题 向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的．通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题． （1）用向量证明几何问题的一般思路： 先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明． （2）向量在几何中的应用： ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 (
学霸经验
) 本节课我学到了 我需要努力的地方是平面向量的概念及运算参考解析
题型1：平面向量的概念
1．解：零向量的方向是任意的，故A选项错误；
有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；
只有零向量的模长等于0，故C选项正确；
单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误． 故选：C．
2．解：对于A：向量，满足||＞||，且与同向，则＞，由于向量是不能比较大小的，故A错误；
对于B：若∥且∥（），则∥，故B错误；
对于C：向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线或直线AB∥直线CD，故C错误；
对于D：非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反，故D正确．
故选：D．
3．解：以的起点为坐标原点，以矩形的长与宽为x，y轴建立坐标系
则 ，
（1）∵ ；，
∴
∴
（2）；
∴是相反向量
（3）无相等向量
（4）∵，，
故模相等的向量有
题型2：平面向量的加法运算
4．解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等，方向相同，
∴， 故选：C．
5．解：因为 ＝＝＝，
则，故A正确，
，故B正确，
||＝||＝||+||，故C正确，
，故D错， 故选：ABC．
6．解：如图所示：以PA，PB为邻边作平行四边形PADB，根据向量加法的几何意义，得出
对角线交点为M，则M为AB中点，∴
又由，得＝．
所以＝，根据向量数乘的几何意义，可得C，P，M三点共线，即为AB上的中线，且||＝2||
根据三角形重心的几何性质可知，P为三角形ABC的重心． 故选：A．
7．解：矩形ABCD中，||＝4，＝，＝，＝，
所以＝＝+＝﹣+＝﹣+，
所以++＝（+）+（﹣+）＝2，
所以|++|＝|2|＝2||＝2||＝8． 故答案为：8．
题型3：平面向量的减法运算
8．解：如图示：
由菱形图象可知A错误；
这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到B正确；
把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，得到C正确；
由菱形的定义知：+＝+＝﹣，故D正确，
故选：BCD．
9．解：，根据平行四边形法则，如图所示，
则点P在△ABC外， 故选：ABC．
10．解：由向量三角形不等式可得3＝|||﹣|||≤||≤||+||＝6+9＝15，
所以||的取值范围为[3，15]．
题型4：向量模长问题
11．解：∵，与的夹角为，
∴2＝8，2＝9， ＝6
∵D为BC的中点
∴＝（+）
又∵，， ∴＝
∴2＝（）2＝（92+2﹣3 ）＝ ∴＝ 故选：B．
12．解：由﹣﹣＝＝，
由， 则||＝1，
即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，
由点与圆的有关性质得：
||的最大值＝2+1， 故选：C．
13．解：＝
＝＝＝2 故答案为：2
14．解：∵，
∴以和为邻边的平行四边形是一个矩形，
根据矩形的对角线相等且互相平分，
∴＝＝4×＝2， 故答案为：2
15．解：由题意得：，
∴，
∴，即，
解得：，
即的取值范围为． 故答案为：．
题型5：向量的数乘运算
16．解：根据向量的数乘运算的分配律，恒有m（）＝及，故选项AB正确，
当m＝0时，，但与不一定相等，故选项C错误，
由得，又因为，所以m＝n，故选项D正确，故选：ABD．
17．解：（1）（2﹣）﹣（﹣2）
＝2（+）﹣（+）
＝2﹣＝；
（2）[3（2+8）﹣6（4﹣2）]
＝（6+24﹣24+12）
＝（﹣18+36）
＝﹣+．
题型6：向量共线定理的应用
18．解：∵P是BN上的一点，
设，由，
则＝
＝＝
＝
＝ ∴m＝1﹣λ，
解得λ＝，m＝ 故选：D．
19．解：∵向量与平行，
∴存在实数m，使得＝m（），
（t﹣m）＝（3m﹣1），
∵向量，不平行，
∴t﹣m＝3m﹣1＝0，
解得：t＝．故答案为：．
20．解：由，
得，
得，
由，
得
＝（2μ﹣1）+（1﹣2μ），
∴，解得，
∴，故答案为：．
21．解：法1：已知三角形ABC中，++＝，
又因为且3a，根据平面向量基本定理得：
3a：4b：5c＝1：1：1，
∴a：b：c＝20：15：12．
法2：把＝+，代入已知条件等式化简得（3a﹣5c）＝（3a﹣4b），
显然与二向量是不共线的，
故当且仅当3a﹣5c＝3a﹣4b＝0才成立，所以可得5c＝3a＝4b，
可知a：b：c＝20：15：12．
故答案为：20：15：12．
22．解：（1）∵＝+，＝+2，＝+3，
∴＝﹣＝（+2）﹣（+）＝，
＝﹣＝（+3）﹣（+2）＝＝，
∴A，B，C三点共线，
（2）∵k+与+k共线，
∴存在实数λ，使得k+＝λ（+k），
∴，解得k＝±1．
题型7：向量的数量积
23．解：边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足，
则＝（）
＝（）
＝+﹣
＝﹣1＝．故选：D．
24．解：由题意，，cos＜＞＝．
＝．
∴（） （）
＝＝＝．
∴与数量积的最小值为．故选：B．
25．解：向量的夹角为，且，，
可得 ＝|| ||cos＝2 （﹣）＝﹣2，
则＝2﹣2 ＝2﹣2 （﹣2）＝6．故答案为：6．
26．解：由已知有：||＝||，＝，＝，（0≤λ≤1），
则＝（））＝（）（）＝﹣3，
所以＝＝，
因为0≤λ≤1，∴∈[1，10]，
因为，其中为与的夹角，θ∈（0，π），
因为cosθ∈（﹣1，1），所以＝2×2cosθ＝4cosθ∈（﹣4，4），
又，所以．故答案为：[1，4）．
题型8：向量数量积与垂直关系
27．解：依题意得 ＝0，
因为（2+3）⊥（k﹣4），所以（2+3） （k﹣4）＝0，
得2k2+（3k﹣8） ﹣122＝0，
即2k﹣12＝0，
解得k＝6． 故选：B．
28．解：∵，且，
∴＝，且，
∴，解得，
又，
∴．故选：C．
29．解：（1）＝cos120°＝＝﹣16．
||＝＝＝4．
（2）∵，∴ ＝+＝0，
∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）＝0，
化为k＝﹣7．∴当k＝﹣7值时，．
30．解：（1）∵；
∴；
又；
∴，即：
＝
＝﹣4k+0+0+t2﹣3t
＝0；∴﹣4k+t2﹣3t＝0，即k＝（t2﹣3t）；
（2）由（1）知k＝（t2﹣3t）＝；即函数的最小值为﹣．
题型9：平面向量的基本定理
31．解：如图所示，
在平行四边形ABCD中，，
又，∴λ＝﹣2．故选：D．
32．解：观察四个选项，对于选项A：﹣＝﹣（﹣），故﹣与﹣共线，所以不能作为基底；
B，2﹣＝2（﹣），故2﹣与﹣共线，所以不能作为基底；
C：若+与﹣共线，则+＝λ（﹣），可得，故不存在λ使+＝λ（﹣），故+与﹣不共线，所以能作为基底；
D，﹣2（2﹣3）＝6﹣4，故2﹣3与6﹣4共线，所以不能作为基底；
故选：C．
33．解：由题意，＝＝
＝+＝
根据平面向量基本定理，可得，∴
∴＝6 故选：D．
34．解：∵正方形ABCD中，E为DC的中点，
∴＝+＝﹣+，
∵，
∴，μ＝1，
∴λ+μ＝﹣＝． 故答案为：．
35．解：如下图所示：
由，可得，∴，
若，
则，
∴，
∵M、P、N三点共线， ∴，∴，故A正确；
所以时，也满足，则D选项正确；
∵，
当且仅当m＝n时，等号成立，C选项成立；
∵，
当且仅当时，即时等号成立，故B选项错误．故选：B．
36．解：不妨设＝λ，0＜λ＜1，
∴＝＝（）＝+＝+（）＝+，
∵，
∴x＝，y＝，
∴x2+y2＝+＝＝，
当λ＝时，x2+y2有最小值，最小值为，
故答案为：．
