学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 导数在研究函数中的应用（二）-极值与最值
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 ①掌握函数极值的定义; ②了解函数的极值点的必要条件和充分条件; ③会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值; ④会求给定闭区间上函数的最值。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
(
体系搭建
) 知识框架 (
函数极值的定义
) (
函数极值点条件
) (
函数的极值
) (
求函数极值
) (
函数的极值和最值
) (
函数在闭区间上的最大值和最小值
) 函数的极值 函数的极值的定义:一般地，设函数在点及其附近有定义， 1、若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； 2、若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作. 极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.求函数极值的的基本步骤： 确定函数的定义域； 求导数； 3、求方程的根； 4、检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 函数的最大值与最小值定理：若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如. 易错点： 1、函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得； 2、函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： 1、求函数在内的导数； 2、求方程在内的根； 3、求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； 4、比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值. (
典例分析
) 考点一:利用导数解决函数的极值等问题 例1、已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程； 【解析】 因为处取得极值， 所以 所以。 又， 所以在点处的切线方程 即. 例2、已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值 （1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值； （2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程 【解析】（1）f′（x）=3ax2+2bx－3， 依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即 解得a=1，b=0 ∴f（x）=x3－3x，f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1） 令f′（x）=0，得x=－1，x=1 若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，故 f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上也是增函数 若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数 所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值 （2）曲线方程为y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03－3x0 因f′（x0）=3（x02－1），故切线的方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0） 注意到点A（0，16）在切线上，有 16－（x03－3x0）=3（x02－1）（0－x0），化简得x03=－8，解得x0=－2 所以切点为M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0 例3、设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 【解析】（1）由知． 令，得．于是当变化时，的变化情况如下表： －0+单调递减单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是， 处取得极小值，极小值为 (2)证明：设， 于是， 由(1)知当时，最小值为 于是对任意，都有，所以在R内单调递增． 于是当时，对任意，都有． 而，从而对任意． 即，故． 考点二：利用导数解决函数的最值问题 例1、已知函数其中。 （1）若函数存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。 【解析】（1）因为函数存在零点，则有实根， ，即 （2）当时，函数定义域为 由，则 由，则 由，则 列表如下： +0-0+增极大值减极小值增
所以在，上单调增，在上单调减。 又知当时，；时，； 而，所以存在最小值. 例2、已知函数(),. (1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; (2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. 【解析】(1)由为公共切点可得:, 则,, ,则,, ① 又,, ,即, 代入①式可得:. (2), 设 则,令, 解得:,; ,, 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ①若,即时,最大值为; ②若,即时,最大值为 ③若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 例3、设函数求的最小值; 【解析】函数f（x）的定义域为（0，1） 令 当时，, ∴在区间是减函数； 当时，, ∴在区间是增函数. ∴在时取得最小值且最小值为. 例4、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。 【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b 由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2 f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 函数f（x）的单调区间如下表： x（－，－）－（－，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值
所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1） （2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕， 当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2。 考点三：综合应用 例1、利用导数求和： （1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠0,n∈N *） （2）Sn=C+2C+3C+…+nC （n∈N *） 【解析】（1）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n= （n+1）, 当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=, 两边对x求导，得 Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=()= （2）∵（1+x）n=1+Cx+C x2+…+C xn, 两边对x求导，得 n（1+x）n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nC x n－1 令x=1,得n·2n－1=C +2C+3C+…+nC, 即Sn=C+2C +3C +…+nC=n·2n－1
P(Practice-Oriented)——实战演练
(
实战演练
) 课堂狙击 1、设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则 ( ) A．a<－1 B．a>－1 C．a>－ D．a<－ 【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.故选A. 2、函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是 ( ) A．－2 B．0 C．2 D．4 【解析】∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.故选C. 3、函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． 【解析】∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]， ∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)． 令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. ∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根． 即Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2或a<－1. 4、设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________． 【解析】f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－， 又f(1)＝，f(－)＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，∴a<. 5、已知函数f(x)＝＋ln x．求函数f(x)的极值和单调区间． 【解析】因为f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)?极小值?
所以x＝1时，f(x)的极小值为1. f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 6、设． （Ⅰ）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （Ⅱ）当时，在[1，4]上的最小值为，求在该区间上的最大值． 【解析】（Ⅰ）由． 当时，的最大值为； 令，得，所以，当时，在上存在单调递增区间． （Ⅱ）令，得两根，． 所以在，上单调递减，在上单调递增． 当时，有， 所以在[1，4]上的最大值为． 又，即， 所以在[1，4]上的最小值为， 得，，从而在[1，4]上的最大值为． 7、某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元． (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的． 【解析】(1)设容器的容积为V， 由题意知，又， 故． 由于，因此． 所以建造费用， 因此，． (2)由(1)得，． 由于，所以， 当时，． 令，则m＞0， 所以． ①当即时， 当时，； 当时，； 当时，， 所以是函数y的极小值点，也是最小值点． ②当即时，当时，函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当时，建造费用最小时，当时，建造费用最小时． 课后反击 1、函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。 2、已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 【解析】当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0. ∴x＝1不是f(x)的极值点． 当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2) 显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0， x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C. 3、函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【解析】当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点， 比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0， 但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点． 由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0. 综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件． 4、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( ) 【解析】分两种情况讨论． 当a＝0时，函数为y＝－x与y＝x，图象为D，故D有可能． 当a≠0时，函数y＝ax2－x＋的对称轴为x＝，对函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a，求导得y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，则x1＝，x2＝.所以对称轴x＝介于两个极值点x1＝，x2＝之间，A、C满足，B不满足，所以B是不可能的．故选B. 5、设变量a，b满足约束条件z＝|a－3b|的最大值为m，则函数f(x)＝x3－x2－2x＋2的极小值等于( ) A．－ B．－ C．2 D. 【解析】据线性规划可得(a－3b)min＝－8， (a－3b)max＝－2，故2≤|a－3b|≤8，即m＝8， 此时f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)·(x＋1)， 可得当x≤－1时f′(x)>0， 当－1
0， 故当x＝2时函数取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－. 6、已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0. (1)求a的取值范围． (2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值． 【解析】(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1， 则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex， 依题意对于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0. 当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上， 而f′(0)＝－a<0，所以需f′(1)＝(a－1)e<0，即00，f(x)不符合条件． 故a的取值范围为0≤a≤1. (2)因g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex， ①当a＝0时，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e. ②当a＝1时，对于任意x∈[0,1]有g′(x)＝－2xex≤0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2， 在x＝1处取得最小值g(1)＝0. ③当00. 若≥1，即00，g(x)在x＝1处取得最小值g(1)＝(1－a)e. 7、已知函数f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)的极值点； (2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)． 【解析】(1)f′(x)＝ln x＋1，x>0， 由f′(x)＝0得x＝，所以f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增． 所以，x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在． (2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a， 由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以，在区间(0，ea－1)上，g(x)为递减函数， 在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)为递增函数． 当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝0. 当1战术指导
) 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤： 第一步：求函数f(x)的导数f′(x)； 第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范． (
直击高考
) 1、【全国Ⅰ卷 理】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【解析】∵f（x）=ax3﹣3x2+1， ∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立； ②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点； 而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值； 故f（）=﹣3 +1＞0；故a＜﹣2； 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D． 2、【全国Ⅰ卷 理】已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【解析】设 则g′（x）= ∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数 ∴g（x）＜g（0）=0 ∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C， 又f（x）=中，，能排除D．故选 B 3、【全国Ⅰ卷 理】设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ） A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D． 【解析】∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称， 函数上的点到直线y=x的距离为， 设g（x）=（x＞0），则， 由≥0可得x≥ln2， 由＜0可得0＜x＜ln2， ∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增， ∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，， 由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B． 4、【全国Ⅰ卷 理】设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ） A．[） B．[） C．[） D．[） 【解析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a， 由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方， ∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1）， ∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0， ∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2， 当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0， 直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a， 故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a， 解得≤a＜1 故选：D 5、【全国Ⅰ卷 理】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx （i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线； （ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{ f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数． 【解析】（i）f′（x）=3x2+a． 设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0， ∴，解得，a=． 因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线； （ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0， ∴函数h（x）=min{ f（x），g（x）}≤g（x）＜0， 故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点． 当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0， ∴h（x）=min{ f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点； 若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min{ f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点； 当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可． ①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调， 而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点， 当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点． ②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=． 若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点． 若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点． 若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+， ∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点． 综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点； 当a=或时，h（x）有两个零点； 当时，函数h（x）有三个零点．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
(
重点回顾
) 考点一:利用导数解决函数的极值等问题 考点二：利用导数解决函数的最值问题 考点三：综合应用 (
名师点拨
) 方法与技巧： 1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分． 2、求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 3、在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 失误与防范： 1、注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行． 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． 3、解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点． 本节课我学到了 我需要努力的地方是学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 导数在研究函数中的应用（二）-极值与最值
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 ①掌握函数极值的定义; ②了解函数的极值点的必要条件和充分条件; ③会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值; ④会求给定闭区间上函数的最值。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
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体系搭建
) 知识框架 (
函数极值的定义
) (
函数极值点条件
) (
函数的极值
) (
求函数极值
) (
函数的极值和最值
) (
函数在闭区间上的最大值和最小值
) 函数的极值 函数的极值的定义:一般地，设函数在点及其附近有定义， 1、若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； 2、若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作. 极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 求函数极值的的基本步骤： 确定函数的定义域； 求导数； 3、求方程的根； 4、检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 函数的最大值与最小值定理：若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如. 易错点： 1、函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得； 2、函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： 1、求函数在内的导数； 2、求方程在内的根； 3、求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； 4、比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值. (
典例分析
) 考点一:利用导数解决函数的极值等问题 例1、已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程； 例2、已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值 （1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值； （2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程 例3、设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 考点二：利用导数解决函数的最值问题 例1、已知函数其中。 （1）若函数存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。 例2、已知函数(),. (1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; (2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. 例3、设函数求的最小值; 例4、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。 考点三：综合应用 例1、利用导数求和： （1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠0,n∈N *） （2）Sn=C+2C+3C+…+nC （n∈N *）
P(Practice-Oriented)——实战演练
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实战演练
) 课堂狙击 1、设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则 ( ) A．a<－1 B．a>－1 C．a>－ D．a<－ 2、函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是 ( ) A．－2 B．0 C．2 D．4 3、函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． 4、设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________． 5、已知函数f(x)＝＋ln x．求函数f(x)的极值和单调区间． 6、设． （Ⅰ）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （Ⅱ）当时，在[1，4]上的最小值为，求在该区间上的最大值． 7、某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元． (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的． 课后反击 1、函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 3、函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 4、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( ) 5、设变量a，b满足约束条件z＝|a－3b|的最大值为m，则函数f(x)＝x3－x2－2x＋2的极小值等于( ) A．－ B．－ C．2 D. 6、已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0. (1)求a的取值范围． (2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值． 7、已知函数f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)的极值点； (2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)． (
战术指导
) 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤： 第一步：求函数f(x)的导数f′(x)； 第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范． (
直击高考
) 1、【全国Ⅰ卷 理】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 2、【全国Ⅰ卷 理】已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3、【全国Ⅰ卷 理】设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ） A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D． 4、【全国Ⅰ卷 理】设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ） A．[） B．[） C．[） D．[） 5、【全国Ⅰ卷 理】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx （i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线； （ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{ f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
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重点回顾
) 考点一:利用导数解决函数的极值等问题 考点二：利用导数解决函数的最值问题 考点三：综合应用 (
名师点拨
) 方法与技巧： 1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分． 2、求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 3、在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 失误与防范： 1、注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行． 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． 3、解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点． 本节课我学到了 我需要努力的地方是