第五章 一元函数的导数及应用 章末检测（二）（答案）
一、单项选择
1、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是( D )
A．[x1，x2] B．[x2，x3]
C．[x1，x3] D．[x3，x4]
2、设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为( B )
A．e2 B．e
C． D．ln 2
3、已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( B )
4、已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( D )
A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
5、已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是( D )
A.a>－ B.0
C.a>或－
6、函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( A )
A. B.e2 C. D.2e
7、已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为( C )
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
8、若函数f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝( C )
A．－ B．2
C．－2 D．
二、多项选择题
9、已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( BCD )
A.f′(3)＞f′(2)
B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3)
D.f(3)－f(2)＜f′(2)
10、已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( ABC )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
11、对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是( ACD )
A.x＝3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C.f(x)在区间(1，2)上单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
12、定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有( CD )
A．f>f B．f>f
C．f>f D．f>f
三、填空题
13、曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____2x－y＝0____.
14、已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为___－_____.
15、若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是_____ _____.
16、设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为__(－∞，－3)∪(0，3)______.
四、解答题
17、求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
18、已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；
当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－.
因为直线l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
19、已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
解 (1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0)，
g′(x)＝2＋＋(x>0).
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，
∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋＋≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，
所以a≥－3.
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞).
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，
则g′(x)＞0在[1，2]上有解，
即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，
∴a＞(－2x2－x)min，
又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.
20、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[JB([]＋10(x－6)2
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值42 ↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21、设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值.
解 (1)因为a＝b＝c，
所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3.
因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.
(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b)·.
令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.
因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，
且a≠b，
所以＝1，a＝3，b＝－3.
此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1).
令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.
当x变化时，f′(x)变化如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
22、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
因为－e2<－，所以a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.第五章 一元函数的导数及应用 章末检测（二）
一、单项选择
1、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是( )
A．[x1，x2] B．[x2，x3]
C．[x1，x3] D．[x3，x4]
2、设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为( )
A．e2 B．e
C． D．ln 2
3、已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
4、已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
5、已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是( )
A.a>－ B.0C.a>或－
6、函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( )
A. B.e2 C. D.2e
7、已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为( )
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
8、若函数f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝( )
A．－ B．2
C．－2 D．
二、多项选择题
9、已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A.f′(3)＞f′(2)
B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3)
D.f(3)－f(2)＜f′(2)
10、已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
11、对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是( )
A.x＝3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C.f(x)在区间(1，2)上单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
12、定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有( )
A．f>f B．f>f
C．f>f D．f>f
三、填空题
13、曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
14、已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为________.
15、若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是__________.
16、设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为________.
四、解答题
17、求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
18、已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
19、已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
20、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21、设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值.
22、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．