第六章 平面向量及其应用章末检测
一、单项选择题
1、设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
2、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A.－ B.0 C.3 D.
3、在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是( )
A.1 B. C. D.
4、设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
5、已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6、若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
7、若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
8、如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是( )
A．[－6，1] B．[1，5]
C．[－5，5] D．[5，9]
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( )
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
10、设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
11、已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )
A.|a＋b|＝2 B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为 D.|a－b|＝1
12、在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( )
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
三、填空题
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝__
______.
14、若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
15、如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝_______.
16、已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
四、解答题
16、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
19、已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
21、已知向量a＝(sin x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
22、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.第六章 平面向量及其应用章末检测（答案）
一、单项选择题
1、设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( B )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
2、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( C )
A.－ B.0 C.3 D.
3、在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是( C )
A.1 B. C. D.
4、设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( C )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
5、已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( A )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6、若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( B )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
7、若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( A )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
8、如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是( C )
A．[－6，1] B．[1，5]
C．[－5，5] D．[5，9]
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( ABC )
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
10、设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( AB )
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
11、已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( BC )
A.|a＋b|＝2 B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为 D.|a－b|＝1
12、在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( BD )
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
三、填空题
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝__－
______.
14、若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝___3_____.
15、如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.
16、已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
四、解答题
16、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一 ∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二 ＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
解 (1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
19、已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，
b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
21、已知向量a＝(sin x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
解：(1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋sin xcos x＋－2＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin，
则－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)．
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)f(A)＝sin＝1，
∵A∈，∴2A－∈，
∴2A－＝，∴A＝.
又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b＝2，
从而S＝bcsin A＝.
22、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
解 (1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝＋，
所以t＝时，|＋|最小，
最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，
m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，
即θ＝时，sin取得最大值1，
即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
