第五章 一元函数的导数及应用 章末检测（一）（答案）
一、单项选择
1、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是( C )
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
2、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝( C )
A．2 B．4
C．6 D．8
3、函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( C )
A.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0
C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0
4、已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( A )
A． B．
C． D．
5、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( D )
(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
6、f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是( D )
A．1＋ B．1
e＋1 D．e－1
7、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为( D )
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
8、若函数f(x)＝ex－(m＋1)·ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为( D )
A．(－e2，－e) B．
C． D．(－∞，－e－1)
二、多项选择题
9、下列导数的运算中正确的是( ABD )
A.(3x)′＝3xln 3
B.(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝
D.(sin xcos x)′＝cos 2x
10、已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( BD )
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.f＞
D.f＜
11、已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( ACD )
A.ln 2＞ B.ln 3＜
C.ln π＞ D.＜
12、已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( ABC )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
三、填空题
13、过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为___y＝0或27x－4y＝0_____.
14、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
15、已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋1在x＝1处的切线的斜率为1，则实数a＝____－ ____，此时函数y＝f(x)在[0，1]上的最小值为________．
16、f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为__(－∞，－4)∪(0，4)_____．
四、解答题
17、已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.
所以a的取值范围为
∪.
18、已知函数f(x)＝x－.
(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解：(1)f′(x)＝1＋，
设切点为(x0，y0)，
则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，
因为切线过点(0，－3)，
所以－3－＝·(－x0)，
解得x0＝2，
所以y0＝，
所以所求切线方程为y－＝(x－2)，
即y＝x－3.
(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为y－n＝(x－m)，
即y－＝(x－m)，
令x＝0，得y＝－，从而切线与直线x＝0的交点为，
令y＝x，得y＝x＝2m，
从而切线与直线y＝x的交点为(2m，2m)，
所以点P(m，n)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝··|2m|＝6，为定值．
19、函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
解 (1)f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)·e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，
∴f′(0)＝a－b，又f(0)＝b，
∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－b＝(a－b)x，
即(a－b)x－y＋b＝0，
∴解得
(2)∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，x∈R，
∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x
＝－(x＋2)(x－3)e－x，
当x＜－2或x＞3时，f′(x)＜0；
当－2＜x＜3时，f′(x)＞0，
故f(x)的单调递增区间是(－2，3)，
单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞).
20、已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a＞0时，f(x)在x＝处取得极大值且为最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，g′(a)＝＋1＞0，
则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；
当a＞1时，g(a)＞0.
所以a的取值范围是(0，1)．
21、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ln 2－1 ?
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
22、已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋>ln(n＋1)成立．
解：(1)因为f′(x)＝－2x－1，
又因为x＝0为f(x)的极值点，
所以f′(0)＝－1＝0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.
函数定义域为(－1，＋∞)．
因为f′(x)＝－2x－1＝－.
令f′(x)＝0得x＝0.
当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表.
x (－1,0) 0 (0，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以f(x)≤f(0)＝0，即ln(x＋1)≤x2＋x(当且仅当x＝0时取等号)．
令x＝，则ln<2＋，即ln<，
所以ln ＋ln ＋…＋ln <2＋＋…＋.
即2＋＋＋…＋>ln(n＋1)．第五章 一元函数的导数及应用 章末检测（一）
一、单项选择
1、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是( )
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
2、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3、函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0
C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0
4、已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
6、f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是( )
A．1＋ B．1
e＋1 D．e－1
7、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为( )
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
8、若函数f(x)＝ex－(m＋1)·ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为( )
A．(－e2，－e) B．
C． D．(－∞，－e－1)
二、多项选择题
9、下列导数的运算中正确的是( )
A.(3x)′＝3xln 3
B.(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝
D.(sin xcos x)′＝cos 2x
10、已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.f＞
D.f＜
11、已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( )
A.ln 2＞ B.ln 3＜
C.ln π＞ D.＜
12、已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
三、填空题
13、过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为________.
14、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
15、已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋1在x＝1处的切线的斜率为1，则实数a＝_______，此时函数y＝f(x)在[0，1]上的最小值为________．
16、f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为_______．
四、解答题
17、已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
18、已知函数f(x)＝x－.
(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
19、函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
20、已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
21、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
22、已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋>ln(n＋1)成立．
