第三章 圆锥曲线的方程 单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 698.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-22 07:18:42 | ||
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文档简介
第三章圆锥曲线单元检测
一、单选题
1．已知椭圆C：的焦点在y轴上，且焦距为2，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设A是函数图象上一点，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的焦点坐标为，
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线与直线的斜率之积为
D．
10．方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
11．已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．曲线经过C的一个焦点
D．C的焦点到渐近线的距离为1
12．已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（ ）
A．若A点横坐标为8，则
B．若，则的最小值为6
C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点
D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是
三、填空题
13．设P是椭圆上的动点，是左焦点，联结，则中点的轨迹方程是______．
14．已知椭圆C：中，，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆的上、下顶点，若四边形是有一个顶角为60°的菱形，则椭圆的离心率为______．
15．已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则=______.
16．已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为________．
四、解答题
17．已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.
18．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
19．动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
20．已知椭圆右焦点为，离心率．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过焦点F且倾斜角为锐角的直线l与圆相切，与椭圆E相交于M、N两点，求椭圆的弦MN的长度．
21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程：
(3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值．
22．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
答案
1．C
2．A
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．D
9．BCD
10．ABC
11．CD
12．BCD
13．
14．或
15．9
16．
17．（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组消去，得.
解得或不妨设，，则.
18．（1）设双曲线的方程为.
由，，得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.
设双曲线的方程为，则，，，
所以双曲线的方程为.
19．（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，
且该抛物线以为焦点，所以所以，
所以曲线的方程为.
（2）若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意，
若直线不垂直于轴，设，且，
因为在曲线上，所以，两式相减得，
，所以，
即，所以的方程为整理得.
20．（1）由题意可知：，解得，故，
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，由于直线l与圆相切，所以，解得，（舍去），故直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，
设,所以，
由弦长公式得
21．（1）由题可设双曲线方程为，
由双曲线的焦点为，，得，
又双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2，则，
所以，
所以双曲线方程为；
（2）设，，则，
作差可得，
即，
又为的中点，即，，
代入得，
即直线的斜率，
直线的方程为，即；
（3）由题可知，即，
所以，当且仅当在线段上时等号成立，
又，，，
所以的最小值为.
22．（1）C：即C：，
其焦点坐标为，准线方程为，
若选①，焦点为，则，得，
所以抛物线的方程为；
若选②，准线为，则，得，
所以抛物线的方程为；
若选③，与直线相交所得的弦为2，
将代入方程中，得，
即抛物线与直线相交所得的弦长为，
解得，所以抛物线的方程为；
（2）设，，，切线：，
将其与C：联立得，
由得，
故切线：，即；
同理：
又点满足切线，的方程，
即有
故弦AB所在直线方程为，其过定点．
一、单选题
1．已知椭圆C：的焦点在y轴上，且焦距为2，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设A是函数图象上一点，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的焦点坐标为，
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线与直线的斜率之积为
D．
10．方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
11．已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．曲线经过C的一个焦点
D．C的焦点到渐近线的距离为1
12．已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（ ）
A．若A点横坐标为8，则
B．若，则的最小值为6
C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点
D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是
三、填空题
13．设P是椭圆上的动点，是左焦点，联结，则中点的轨迹方程是______．
14．已知椭圆C：中，，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆的上、下顶点，若四边形是有一个顶角为60°的菱形，则椭圆的离心率为______．
15．已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则=______.
16．已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为________．
四、解答题
17．已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.
18．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
19．动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
20．已知椭圆右焦点为，离心率．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过焦点F且倾斜角为锐角的直线l与圆相切，与椭圆E相交于M、N两点，求椭圆的弦MN的长度．
21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程：
(3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值．
22．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
答案
1．C
2．A
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．D
9．BCD
10．ABC
11．CD
12．BCD
13．
14．或
15．9
16．
17．（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组消去，得.
解得或不妨设，，则.
18．（1）设双曲线的方程为.
由，，得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.
设双曲线的方程为，则，，，
所以双曲线的方程为.
19．（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，
且该抛物线以为焦点，所以所以，
所以曲线的方程为.
（2）若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意，
若直线不垂直于轴，设，且，
因为在曲线上，所以，两式相减得，
，所以，
即，所以的方程为整理得.
20．（1）由题意可知：，解得，故，
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，由于直线l与圆相切，所以，解得，（舍去），故直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，
设,所以，
由弦长公式得
21．（1）由题可设双曲线方程为，
由双曲线的焦点为，，得，
又双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2，则，
所以，
所以双曲线方程为；
（2）设，，则，
作差可得，
即，
又为的中点，即，，
代入得，
即直线的斜率，
直线的方程为，即；
（3）由题可知，即，
所以，当且仅当在线段上时等号成立，
又，，，
所以的最小值为.
22．（1）C：即C：，
其焦点坐标为，准线方程为，
若选①，焦点为，则，得，
所以抛物线的方程为；
若选②，准线为，则，得，
所以抛物线的方程为；
若选③，与直线相交所得的弦为2，
将代入方程中，得，
即抛物线与直线相交所得的弦长为，
解得，所以抛物线的方程为；
（2）设，，，切线：，
将其与C：联立得，
由得，
故切线：，即；
同理：
又点满足切线，的方程，
即有
故弦AB所在直线方程为，其过定点．