5.3.1函数的单调性强化训练答案
一、单选题
1、如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( C )
A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(1,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递增
2、函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增( B )
A． B．(π，2π)
C． D．(2π，3π)
3、函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( A )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
4、已知函数f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是( D )
A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)
5、若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( C )
A． B．
C． D．
6、 已知f(x)＝2(x＋1)－cos x，则不等式f(ln x－1)<1的解集为( A )
A．(0，e) B．(1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．(1，e)
7、若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( D )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
8、已知偶函数f(x)是定义在{x∈R|x≠0}上的可导函数，其导函数为f′(x)．当x<0时，f′(x)>恒成立．设m>1，记a＝，b＝2f(2)，c＝(m＋1)·f，则a，b，c的大小关系为( A )
A．a
b>c
C．ba>c
二、多选题
9、已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( CD )
A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e)
C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e)
10、定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有( CD )
A．f>f B．f>f
C．f>f D．f>f
11、已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( BD )
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.f＞
D.f＜
12、已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( ACD )
A.ln 2＞ B.ln 3＜
C.ln π＞ D.＜
三、填空题
13、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
14、已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为___∪[2，＋∞)_____．
15、已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是_(0,1)__.
16、已知g(x)＝＋x2＋2aln x在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
四、解答题
17、已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)，讨论f(x)的单调性．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，
令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，
①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
②若01，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0当a>1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
18、 已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
解 (1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0)，
g′(x)＝2＋＋(x>0).
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，
∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋＋≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，
所以a≥－3.
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞).
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，
则g′(x)＞0在[1，2]上有解，
即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，
∴a＞(－2x2－x)min，
又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.
19、设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝2a2x＋a－＝
＝.
∵a>0，x>0，∴>0，
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上没有零点，
由(1)可得函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)min＝f＝3－3ln ＝3＋3ln a>0，∴ln a>－1，解得a>，
故实数a的取值范围是.
20、已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；
当a＝0时， f(x)为常数函数，没有单调区间．
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
所以f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
所以g(x)＝x3＋x2－2x，
所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，
即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，所以
当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意的t∈[1，2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9；
由g′(3)>0，即m>－.所以－即实数m的取值范围是.5.3.1函数的单调性强化训练
一、单选题
1、如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(1,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递增
2、函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增( )
A． B．(π，2π)
C． D．(2π，3π)
3、函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
4、已知函数f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是( )
A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)
5、若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6、 已知f(x)＝2(x＋1)－cos x，则不等式f(ln x－1)<1的解集为( )
A．(0，e) B．(1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．(1，e)
7、若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
8、已知偶函数f(x)是定义在{x∈R|x≠0}上的可导函数，其导函数为f′(x)．当x<0时，f′(x)>恒成立．设m>1，记a＝，b＝2f(2)，c＝(m＋1)·f，则a，b，c的大小关系为( )
A．ab>c
C．ba>c
二、多选题
9、已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e)
C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e)
10、定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有( )
A．f>f B．f>f
C．f>f D．f>f
11、已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.f＞
D.f＜
12、已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( )
A.ln 2＞ B.ln 3＜
C.ln π＞ D.＜
三、填空题
13、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
14、已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________．
15、已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是_______．
16、已知g(x)＝＋x2＋2aln x在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为_______．
四、解答题
17、已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)，讨论f(x)的单调性．
18、 已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
19、设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
20、已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围．