2022-2023学年沪科版九年级数学下册24.3 圆周角 课时培优练习（含解析）

沪科版九年级下册 24.3 圆周角 课时培优练习
一、单选题
1．如图⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=35°，则∠ COB的度数是（　　）
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．如图，在 中，半径 于点H，若 ，则 的度数等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
4．如图， 是⊙O直径，C，D是圆上的点，若 ， ，则⊙O半径是（　　）
A． B． C． D．
5．如图⊙P经过点A（0， ）、O（0，0）、B（1，0），点C在第一象限的 上，则∠BCO的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图， 是圆内接四边形 的一条对角线，点 关于 的对称点 在边 上，连接 .若 ，则 的度数为（　　）
A．106° B．116° C．126° D．136°
7．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED； ②FG=2；③tan∠E= ； ④S△DEF=4 ，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
9． 如图，将 沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧 上一点，则 的度数为
A． B． C． D．
10．如图， 是 的直径， 是 的弦， ，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，为的弦，点C为上一点，，则　 　°．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上位于AB 两侧的点，若∠BAC=58°，则∠D=　 　°.
13．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，且AB＝5，AC＝4 ，AD＝4，则⊙O的直径的长度是　 　．
14．如图，A，B，C三点都在⊙O上，已知∠AOC＝138°，则∠OAB+∠OCB＝　 　°．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是　 　．
16．如图， 中， ， ， .以 为边作正方形 .点M是边 上一动点，连接 ，过O作 的垂线，垂足为N，连接 .则线段 的最小值是　 　.
17．如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC=80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连接PC，则∠APC的度数是　 　度(写出一个即可).
18．在 中，圆心 到弦 的距离等于弦 的一半，则弦 所对的圆周角的度数是　 　．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数.
20．如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点E，AE=CE，求证：BE=DE．
21．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB.
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积.
22．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC.求证：AH＝CH.
23．如图所示， 的直径 为 弦 为 的平分线交于 于点 求 的长.
24．如图， 为等边三角形，将 边绕点 顺时针旋转 ，得到线段 连接 ，求 的度数﹒
25．（在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α．
（1）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；
（2）设直线AA′与直线BB′相交于点M．
①如图②，当α＝90°时，求点M的坐标；
②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值．（直接写出结果即可）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径是AB，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sin∠CBA= ，
∴∠CBA=30°，
∴∠A=∠D=60°，
故答案为：C.
【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠BAC=35°，
∴∠COB＝ ∠BAC＝ ，
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∴∠O＝90° ∠OAB＝90° 40°＝50°，
∴∠ABC＝ ∠O＝25°．
故答案为B．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解： 是⊙O直径，
,
,
,
,
,
⊙O半径是 ,
故答案为：C．
【分析】根据圆周角得到，再利用30度角的直角三角形的性质求半径即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】连接AB，
∵tan∠OAB= ，
∴∠OAB=30°，
∴∠OCB=∠OAB=30°（圆周角定理）．
故答案为：B．
【分析】连接AB，在Rt△AOB中，由tan∠OAB= ，可得∠OAB=30°，根据圆周角定理即可求出结论.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠D=180°-∠ABC=180°-64°=116°，
∵点D关于 的对称点 在边 上，
∴∠D=∠AEC=116°，
故答案为B.
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，得出∠D的度数，再由轴对称的性质得出∠AEC的度数即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解： ①直径是圆中最长的弦，正确；
②在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，错误；
③圆中90°的圆周角所对的弦是直径，错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，错误；
综上，正确的有1个，
故答案为：A.
【分析】直径是圆中最长的弦；在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；圆中90°的圆周角所对的弦是直径；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
8．【答案】B
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CG=DG， ，∠AGF=∠AGD=90°，
∴∠ADF=∠E，
又∵∠DAF=∠EAD，
∴△ADF∽△AED，
∴①正确；
∵ ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∵CG=DG，
∴CG=DG=4，
∴FG=2，
∴②正确；
∵AF EF=CF FD，
即3EF=2×6，
∴EF=4，
∴AE=7，
∵△ADF∽△AED，
∴ ，
∴AD2=AE×AF=7×3=21，
在Rt△ADG中，AG= ，
∴tan∠E=tan∠ADF= ，
∴③错误；
作EM⊥CD于M，如图所示：
则EM∥AB，
∴△EFM∽△AFG，
∴ ，
∴ME= ，
∴S△DEF= FD ME= ×6× =4 ，
∴④正确；
故答案为：B．
【分析】①由垂径定理可得弧AD=弧AC，于是由圆周角定理可得∠ADF=∠E，结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADF∽△AED，；
②由CF：FD=1：3易求得FD的值，则CD=FD+CF可求解，再由垂径定理可求得CG的值，则FG=CG-CF可求解；
③在Rt△ADG中，用勾股定理可求得AG的长，则tan∠E=tan∠ADF= 可求解；
④作EM⊥CD于M，根据平行三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△EFM∽△AFG，从而可得比例式求得ME的值，S△DEF= FD ME可求解。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：作半径 于D，连结OA、OB，如图，
将 沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
，
，
，
又 ，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】作半径 于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得 ，则 ，根据含30度的直角三角形三边的关系得到 ，接着根据三角形内角和定理可计算出 ，然后根据圆周角定理计算 的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，A、B不符合题意，
在Rt△ADB中，BD= AD=3，AB=2AD=2 ，C符合题意，选项D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得∠ADB=90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠BAD=90°-∠B=60°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BD= AD=3，AB=2AD，据此逐一判断即可.
11．【答案】110
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：110．
【分析】根据圆周角的性质可得。
12．【答案】32
【解析】【解答】 AB是圆O的直径
故答案为：32.
【分析】先根据圆周角定理得出 ，再根据直角三角形的性质可得 ，然后根据圆周角定理即可得.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，
∵AD⊥BC，且AC＝4 ，AD＝4，
∴CD＝ ＝4
∴CD＝AD，
∴∠ACB＝45°，
∵∠AOB＝2∠ACB
∴∠AOB＝90°
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AO＝BO＝
∴⊙O的直径的长度是5
故答案为：5
【分析】由勾股定理可求AD＝CD，即可得∠ACB＝45°，由圆的有关性质可得∠AOB＝90°，由勾股定理可求AO的长，即可得⊙O的直径的长度．
14．【答案】111
【解析】【解答】解：连接AD，CD，
∵，
∴∠D=∠AOC=69°，
∵四边形ABCD内接与圆O，
∴∠B=180°-∠D=180°-69°=111°，
∴∠OAB+∠OCB=360°-∠B-∠AOC=360°-111°-138°=111°
故答案为：111°
【分析】连接AD，CD，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠D的度数；再利用圆内接四边形的性质可求出∠B的度数；然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠OAB+∠OCB的度数.
15．【答案】
【解析】【解答】∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图：点N在以AO为直径的圆Q上，连接CQ与圆Q的交点即为N点，此时线段CN最短
∠ABO=90°，AB=4，BO=2，
，
∴ ，
过Q作QH∥AB，交OB于H，
∴QH= AB=2，BH= OB=1，
∴
∴CN=CQ-QN=
则线段CN的最小值是
故答案为： .
【分析】点N在以AO为直径的圆Q上，连接CQ与圆Q的交点即为N点，此时线段CN最短，利用勾股定理求出AO的长，由此可求出QN的长；过Q作QH∥AB，交OB于H，可求出QH，BH，CH的长，利用勾股定理求出CQ的长，从而可求出CN的长.
17．【答案】30(答案不唯一)
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ABC
∴∠ABC=80°÷2=40°
∵∠ABC＞∠APC
∴0°＜∠APC＜40°
故∠APC可以取30°
故答案为：30°
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠APC的取值范围，即可得出∠APC的度数。
18．【答案】 或
【解析】【解答】因为圆心 到弦 的距离等于弦 的一半，过圆心 做AB的垂线交AB于点C，则OC=AC=BC, = = ,所以弦AB的圆心角 = 或 ，所以弦AB所对应的圆周角为圆心角的 为 或 .
【分析】根据圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，以及垂径定理的逆运用：平分弦的直径垂直于弦即可解题.
19．【答案】解：∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°.
【解析】【分析】由∠BOD=88°，根据“圆周角定理”可得∠BAD的度数；由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠BAD+∠BCD=180°，由此即可解得∠BCD的度数.
20．【答案】证明：∵∠A=∠C，∠D=∠B ，AE=CE，
∴ △AED≌△CEB，
∴ BE=DE．
【解析】【分析】由∠A=∠C，∠D=∠B ，AE=CE，即可得出 △AED≌△CEB，从而得出BE=DE．
21．【答案】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P直径，
即P为AB中点；
（2）解：∵P为 （x＞0）上的点，
设点P的坐标为（m，n），则mn＝12，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），
且OM＝m，ON＝n，
∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA＝2 m；
N为OB中点，OB＝2 n，
∴S△AOB＝ OA O B＝2mn＝24.
【解析】【分析】（1）根据同圆的半径相等得出PA=PB，故点 P为AB中点；
（2） 设点P的坐标为（m，n）， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点，得出 mn＝12， 过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N， 根据点的坐标与图形的性质得出 M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n）， 故 OM＝m，ON＝n， 根据垂径定理得出 OA＝2 m， OB＝2 n，从而根据 S△AOB＝ OA O B＝2mn 即可得出答案。
22．【答案】证明：∵AB＝CD，
∴，即，
∴，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH.
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得 ，则 ，根据等弧所对的弦相等得AD=BC，根据等弧所对的圆周角相等得∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C， 从而利用ASA判断出 △ADH≌△CBH ，根据全等三角形的对应边相等得AH=CH.
23．【答案】解： 是直径，
，
在 中， ， ， ，
.
，
又 平分 ，
，
，
，
又在 中， ，
，
.
【解析】【分析】由圆周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，由勾股定理求BC，由角平分线定义得∠ACD=∠BCD，推出AD=BD，接下来在Rt△ABD中，应用勾股定理就可求出AD的值.
24．【答案】解： 为等边三角形，
，
将 边绕点 顾时针旋转 ，
，
， ，
，
．
【解析】【分析】本题的关键是证出点A、B、D再以点C为圆心AC为半径的圆上，再利用圆周角的性质求解即可。
25．【答案】（1）解：记A′B′与x轴交于点H．
∵∠HOA′＝α＝30°，
∴∠OHA′＝90°，
∴OH＝OA′ cos30°＝ ，B′H＝OB′ cos30°＝ ，
∴B′（ ， ）．
（2）解：①∵OA＝OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB＝OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
显然△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，
∵OB′＝OA+AB′＝1+2AN＝ ，
∴MN＝AN＝ ，
∴M（ ， ）．
②如图③中，
∵∠AOA′＝∠BOB′，OA＝OA′，OB＝OB′，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝∠OBB′＝∠OB′B，
∵∠OAA′+∠OAM＝180°，
∴∠OBB′+∠OAM＝180°，
∴∠AOB+∠AMB＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，
当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值＝CO′﹣ AB＝ ﹣1．
【解析】【分析】（1）记A′B′与x轴交于点H，利用旋转的性质求出∠HOA′＝α＝30°，由此可求出∠OHA′的度数，再利用解直角三角形求出OH，B′H，即可得到点B′的坐标。
（2）①利用已知条件易证OA＝OA′，由此可证得Rt△OAA′是等腰直角三角形，Rt△OBB′和△AMB′也是等腰直角三角形，作MN⊥OA于N，就可求出OB′及MN的长，然后可得到点M的坐标；②如图③中，点M的运动轨迹是以AB为直径的圆O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，然后求出CO′的值即可。