人教版八年级下册16.1二次根式 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
16.1 二次根式
第16章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的定义
二次根式有意义的条件
二次根式的性质
代数式
知识点
二次根式的定义
知1－讲
感悟新知
1
1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式；“ ”称为二次根号.
知1－讲
感悟新知
2. 二次根式的特征
(1)必须含有二次根号“ ”， “ ”的根指数为2，即“ 2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”.
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.
(3)双重非负性：二次根式 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥ 0， ≥ 0.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
二次根式应满足两个条件：
1. 含有二次根号“ ”；
2. 被开方数是正数或0.
特别地：形如b (a ≥ 0)的式子也是二次根式，它表示b 与 的乘积；当b 是带分数时，要写成假分数.
感悟新知
知1－练
给出下列式子：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .
其中一定是二次根式的是__________ (只填序号).
例 1
①③⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣二次根式定义中“两个条件”进行识别.
感悟新知
知1－练
解：根据第1个条件“含有二次根号”，排除了②，根据第2个条件“被开方数是非负数”，排除了④和⑤.
温馨提示：识别二次根式时，被开方数一定要是非负数，而不能是“可能是非负数”，如第④个，x+y可能是非负数，所以不一定是二次根式.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
C
感悟新知
知1－练
(1)若y= + +2，则xy= ________.
9
例2
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性：“ ”进行解答.
解：由二次根式中被开方数的非负性，得
∴ x=3.
∵ y= + +2，
∴ y=2.∴ xy=32=9.
当互为相反数的两个数同时作为二次根式的被开方数时，这两个被开方数都为0.
感悟新知
知1－练
(2)[中考·泰州] 实数a，b 满足 +4a2+4ab+b2=0，则ba 的值为( )
A. 2 B. C. －2 D. －
B
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性：“ ”进行解答.
解：整理，得 +(2a+b)2=0.
由二次根式的非负性及平方的非负性，得
∴ ∴ ba=2－1=
几个非负数的和等于0，那么每个非负数都等于0.
感悟新知
知1－练
2-1. 已知a+b+c=0, 且b= + +3，则c= ________.
2-2. 已知实数x,y 满足|x－4|+ =0， 则以x,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20 或16 B.20
C.16 D. 以上都不对
－5
B
感悟新知
知1－练
2-3.[中考·黔东南州]若(2x+y－5)2+ =0，则x－y的值是________.
9
知识点
二次根式有意义的条件
知2－讲
感悟新知
2
1. 二次根式有意义的条件 被开方数(式)为非负数，反之也成立；即 有意义 a ≥ 0.
2. 求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数.
知2－讲
感悟新知
(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0.
(3)如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0.
知2－讲
感悟新知
巧记口诀
二次根式有意义，被开方数非负数；
二次根式无意义，被开方数是负数；
单个二次根式时，列出不等式求解；
复合形式的式子，列不等式组求解.
感悟新知
知2－练
当x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解题秘方：紧扣“求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法”求解.
例 3
知2－讲
感悟新知
解：(1)欲使 +(x+5)0 有意义，
则必有 ∴ x ≤－3 且x ≠－5.
(2)欲使 有意义，则必有
∴ x ＞ .
知2－讲
感悟新知
(3)欲使 有意义，则必有
∴ 2 ≤ x ≤ 5.
(4)欲使 有意义，则必有
∴ x ≥ －4 且x ≠ 2.
感悟新知
知2－练
3-1.[中考· 广州] 式子 有意义时，x 应满足的条件为( )
A. x ≠－1 B. x ≥ －1
C. x＜－1 D .x≤ －1
B
感悟新知
知2－练
3-2. 当x 取怎样的实数时，下列式子在数范围内有意义？
应用提醒
逆用公式： 若a ≥ 0，则a= ( )2，
注意：无论是正用，还是逆用，都要注意前提：a ≥ 0.
知识点
二次根式的性质
知3－讲
感悟新知
3
1. 二次根式的性质
(1)( )2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
知3－讲
感悟新知
(2) 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
应用提醒
逆用公式：
(以后将会学习).
注意：化简形如 的式子时，先转化为|a| 的形式，再根据a 的符号去掉绝对值符号.
知3－讲
感悟新知
2. 与( )2(a ≥ 0)的异同点
表达式 ( )2
区别 取值范围不同 a 为全体实数 a ≥ 0
运算顺序不同 是先平方后开方 ( )2是先开方后平方
运算结果不同
( )2=a(a ≥ 0)
联系 与( )2 均为非负数，当a ≥ 0 时， =( )2
感悟新知
知3－练
计算：
例4
解题秘方：紧扣“二次根式的性质的两公式”进行计算.
感悟新知
知3－练
解：
感悟新知
知3－练
4-1. 下列计算正确的有( )
①
②
③
④
A. ①② B. ③④C. ①③ D. ②④
C
感悟新知
知3－练
4-2. 已知 =1－2a， 那么a 的取值范围是( )
A.a> B.a< C.a ≥ D .a≤
D
特别提醒
●单独一个数或字母也是代数式.
●将两个代数式用关系符号(“=”“ ＞”“ ＜”等) 连接起来的式子叫做关系式，方程和不等式都是关系式. 如:3x－1=2x+3 就是关系式，不是代数式.
知识点
代数式
知4－讲
感悟新知
4
1. 代数式的定义 用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式.
知4－讲
感悟新知
2. 列代数式 把实际问题中与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.
3. 列代数式的常用方法
(1)直接法：根据问题中的语言叙述直接写出代数式；
(2)公式法：根据公式列出代数式；
(3)探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来.
感悟新知
知4－练
观察：
① ② ③
(1)根据以上规律，按顺序写出④式；
(2)用含自然数n(n ≥ 1)的式子表示你观察到的规律.
例 5
感悟新知
知4－练
解题秘方：紧扣“式子中各数字与序号间的关系”，用从特殊到一般的思想找规律解答.
感悟新知
知4－练
解：经观察可知，等号左边根号内包含两项：整数和分数，整数是从1 开始的连续整数，分数是从 开始的分母依次增加1 的分数；等号右边根号外的因数是从2 开始的连续整数，根号内的分数与等号左边根号内的分数相同.
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
5-1. 列代数式：
(1)把a 个苹果平均分给若干名学生, 若每人分5 个，还余3 个，则学生人数为 __________；
感悟新知
知4－练
(2)如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案， 则第n 个图案中阴影正三角形的个数是_______ (用含n 的代数式表示).
4n－2
课堂小结
二次根式
二次根式
≥ 0
a ≥ 0
( )2=a(a ≥ 0)
=|a|