2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5.3导数在研究函数中的应用 作业（含解析）

5.3导数在研究函数中的应用
一、概念形成
1.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2.函数的最小值为( ).
A.3 B. C. D.
3.函数的单调递减区间是( ).
A. B. C. D.
4.已知函数的极小值点,则( )
A. B. C.4 D.2
5.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.若直线与曲线相切，则的最大值为( )
A. B. C.e D.
7.已知函数，若存在使得成立，则实数b的最值情况是( )
A.有最大值1 B.有最大值-3 C.有最小值1 D.有最小值-3
8.（多选）对于函数，c，，下列说法正确的是( ).
A.存在c，d使得函数的图象关于原点对称
B.是单调函数的充要条件是
C.若，为函数的两个极值点，则
D.若，则过点作曲线的切线有且仅有2条
9.（多选）已知函数，则( ).
A.的极大值为-1
B.的极大值为
C.曲线在点处的切线方程为
D.曲线在点处的切线方程为
10.（多选）已知是的导函数，且，则( ).
A.
B.
C.的图象在处的切线的斜率为0
D.在上的最小值为1
11.函数的单调递增区间为_____________.
12.已知函数，则函数的极大值为__________________.
13.若函数的最大值为，则实数a的取值范围为_____________.
14.已知函数.
(1)求的单调递减区间;
(2)若在区间上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
15.已知是函数的一个零点.
（1）求的极小值；
（2）设，当时，求证：.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，
所以实数a的取值范围是.
故选A.
2.答案：A
解析：令，则，，
令，则，
当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，故函数的最小值为3.故选A.
3.答案：D
解析：函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减，故选D.
4.答案：D
解析：,令得或,易得在上单调递减,在上单调递增,故极小值为,由已知得,故选D.
5.答案：A
解析：易知函数的导数，令，得，即.设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示.由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.
6.答案：D
解析：设直线与曲线相切于点，
，，
可得切线的斜率为，则，所以，
又切点也在直线上，则，
，
，
设，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得的最大值为，
即的最大值为.
故选D.
7.答案：A
解析：解法一 由题意知，其图象的对称轴为直线，当时，解得，当时，无解，所以b有最大值1，故选A.
解法二 由题意知，且存在使得成立，因为的图象是开口向上的抛物线，所以或，解得或，综上可得，所以b有最大值1，故选A.
8.答案：BC
解析：若存在c，d使得函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，因为，所以，对于任意的x，并不满足，故函数不为奇函数，故A错误；
由得，要使是单调函数，必满足，解得，故B正确；
若函数有两个极值点，则必须满足，即，此时则，
所以，因为，所以，故，故C正确；
耇，则，，画出函数的大致图象，如图所示，
三条虚线代表三条相切的切线，故D错误.故选BC.
9.答案：BD
解析：因为，所以，所以当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；
因为，，所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确.故选BD.
10.答案：BC
解析：，，令，则，
，故B正确；
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.
11.答案：，
解析：.
设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，，则当时，.故的单调递增区间为，.
12.答案：
解析：，故，解得，所以，，
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为.
13.答案：
解析：时，，时，，即恒成立.令，则，时，，时，，不合题意.时，恒成立.时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.综上，.
14.答案：(1) (2)
解析：(1).
令,解得或,
所以函数的单调递减区间为.
(2)因为,所以.
又因为在上单调递减,在上单调递增,
所以和分别是在区间上的最大值和最小值,于是有,解得.
所以,所以,
即函数在区间上的最小值为.
15.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）是的一个零点，
，即，解得，
，定义域为，
，
①当时，，在上是增函数，故无极值；
②当时，当时，，是减函数；
当时，，是增函数，
的极小值为.
（2）证明：当时，.设，则，，.
由（1）知，在上是减函数，
在上是增函数，
则，则，
则.
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